河南省信阳市商城县各高中2025届高三下学期联考模拟（二）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省信阳市商城县各高中2025届高三下学期联考模拟（二）数学试题一、单选题1．已知集合A=2,3,4,B=3,4,5，则A∩B=A．2,3 B．3,4 C．4,5 D．2,3,4,5【答案】B【解析】因为A=2,3,4,B=3,4,5故选：B.2．已知复数z=1+3ii，则z-A．-2i B．2 C．0 D．【答案】A【解析】因为z=1+3所以z=3+所以z-z故选：A3．若双曲线x2a2-yA．12 B．55 C．2 D【答案】D【解析】因为双曲线x2a2所以ba=2，所以双曲线的离心率为故选：D.4．已知cosα+β=-12,A．-5 B．-15 C．15【答案】A【解析】由cosα+β=-12,两式相加可得：2cosαcos两式相减可得：2sinαsin故tanα故选：A.5．已知向量a=2,1,b=1,2，则A．85,45 B．45,【答案】A【解析】因为a=所以a⋅b=4则b在a上的投影向量的坐标为a⋅故选：A.6．已知等比数列an的公比q≠1，前n项和为Sn，若S3=14，3aA．2×3n-1 B．3n C．2×【答案】C【解析】设等比数列an的首项为a1a由题意可得S3所以an故选：C7．P是圆x-a22+y-a2=1上的动点，QA．2-1 B．2 C．728【答案】A【解析】由题意得，圆x-a22+y-a因为(a,a)到直线y=x+2的距离d=2所以直线与该圆相离，所以|PQ|的最小值为d-r=2故选：A.8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a=5,b=8,c=7，若P为△ABC内一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120∘，则PAA．44 B．49 C．88 D．98【答案】B【解析】cosB=25+49-642×5×7所以S由面积公式可知，12所以PA⋅PB+PB⋅PC+PA⋅PC=40，由余弦定理可知，PA2PA2故选：B二、多选题9．已知函数fx=1A．fx是奇函数 B．fC．fx有三个零点 D．f【答案】ABC【解析】因为fx=1且f-x=-13x因为f'x=x2-4，所以x<-2或x>2时，f'(x)>0，当-2<x<2时，所以2,-2分别为极小值点和极大值点，故B正确；因为f-4根据函数单调性及零点存在定理，可知fx有三个零点，故C由B选项中推理可知，fx在定义域上不是单调函数，故D错误故选：ABC10．有甲，乙两个袋子，甲袋中有大小和质地相同的2个红球，2个黑球，乙袋中有大小和质地相同的2个红球、1个黑球．现从甲、乙两个袋子中各随机一次取出2个球，设事件A1=“甲袋中取出2个红球”，A2=“甲袋中取出1个红球、1个黑球”，B1=“乙袋中取出2个红球”，B2=“乙袋中取出1个红球、1个黑球”，C=“甲、乙两个袋子中取出A．事件A1与A2是对立事件 B．事件B1C．事件A2与C相互独立 D．事件B2与【答案】BC【解析】PA1=PB1=C=“甲、乙两个袋子中取出3个红球、1个黑球”，所以C包含的基本事件为：甲袋中取出2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黑球或甲袋中取出1个红球，1个黑球，乙袋中取出2个红球，PC对于A，甲袋中取球可能为2个红球，1个红球、1个黑球或2个黑球，所以事件A1与A2不是对立事件，故对于B，乙袋中取球可能为2个红球，1个红球、1个黑球，因此B1∪B2为必然事件，所以事件B1对于C，事件A2C表示甲袋中取出1个红球，1个黑球，乙袋中取出所以PA2C=C29=23×13故C正确.对于D，事件B2C表示甲袋中取出2个红球，乙袋中取出1个红球，1所以PB2C=C19≠23×13所以D错误.故选：BC.11．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P，Q为底面ABCD内的两个动点，且满足PA=2PB．设PDA．P的轨迹是圆（部分） B．θ的最大值为πC．S0=33 D．【答案】ABD【解析】以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设P(x,y,0)，则A(0,2,0)，因为|PA|=2|PB|，所以(x-0)2即x2所以点P的轨迹为以点E0,-23,0为圆心，要使得PD1与底面ABCD所成的角最大，则此时DP=DE-4从而tanθ=DD1DP=1，所以S0=S设点Q到D1P的距离为因为S△所以点Q在以D1P为轴，半径为2的圆柱与底面又圆柱的轴D1P与底面ABCD的夹角为所以点Q的轨迹是椭圆（部分）.故选：ABD.三、填空题12．已知函数f(x)=sin2x+3cos2x【答案】π【解析】∵f∴函数f(x)的最小正周期T=故答案为π.13．甲、乙两人进行射击比赛，每次由其中一人射击，规则如下：若击中则此人继续射击，若未击中则换对方射击．无论之前射击情况如何，甲每次射击的命中率均为56，乙每次射击的命中率均34，第一次射击的人是甲、乙的概率各为12【答案】163【解析】记“第i次射击的人是甲”为事件Ai，“第i次射击的人是乙”为事件B设PAi=则PA即pi+1设pi+1+λ=712p又p1=12，则p1-3即pi-3则第i次射击的人是甲的概率为-1当i=3时，-故答案为：16328814．已知矩形ABCD四个顶点分别为A0,0,Ba,0,ca,b,D0,ba>0,b>0，一质点从线段AB上某一点M处（不包含端点），沿与AB夹角为60°的方向射到边BC上，再依次反射到边CD，【答案】3【详析】如图所示，质点由Q1出发依次经BC，CD，DA反射后到达线段AB，相当于直线Q1Q2又因为M3a,2b,N2a,2b即2b2a<3故答案为：32四、解答题15．已知函数fx（1）求曲线y=fx在0,f（2）若a=e2,x∈解：（1）由函数fx=x2可得f0=0，且所以切线的斜率为k=0，切点为0,-2，则所求切线方程为y=-2．（2）由（1）得，当a=e2时，可得当x∈1,2时，f'x<0，函数当x∈2,3时，f'x>0，函数而f1所以函数fx的值域为-216．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，AB=2,∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（1）求证：平面ABCD⊥平面BDEF；（2）求四面体ADEF的体积；（3）求直线AD与平面ABF所成角的余弦值．（1）证明：设AC与BD相交于点O，连接FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点，FA=FC，所以AC⊥FO．又FO∩BD=O,FO,BD⊂平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF．又AC⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面BDEF．（2）解：由题知DB=DF=BF=2,AO⊥平面BDEF，VA-DEF（3）解：连接DF，因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形．因为O为BD中点，所以FO⊥BD．又AC⊥FO,AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，所以FO⊥平面ABCD．故OA，OB，OF两两垂直，所以建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，因为AB=2，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，所以BD=2,AC=23．因为△DBF所以OF=3．所以A所以AD=设平面ABF的法向量为n=x,y,z令x=1，解得n=设AD与平面ABF所成角为θ，则AD与平面ABF所成角的正弦值为sinθ=cosθ=所以AD与平面ABF所成角的余弦值为10517．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若△ABC为锐角三角形，C=2A,a=2，求c的取值范围；（2）若a2+1（1）解：根据正弦定理得asin因为C=2A，化简得asin即2sinA=因为△ABC是锐角三角形，C为锐角，2A=C<πB为锐角，所以π–A-C<π2，由C=2A从而解得π6<A<π因为c=4cosA，所以（2）证明：因为a2所以12所以32b=2ccos即3acos由正弦定理得3sin所以A,C都不为直角，即tanC=318．某企业生产的系列玻璃器皿产品成功入选“一带一路十周年·国礼品牌”．其中某型号高脚杯的轴截面为抛物线C，如图1所示．往高脚杯中缓慢倒水，当杯中的水深为1cm时，水面宽度为4cm，如图2所示．以O为坐标原点建立平面直角坐标系，P，Q是抛物线C上异于点O的两点，且满足OP⋅（1）求抛物线C的方程；（2）求证：直线PQ过定点；（3）过点O作PQ的垂线，垂足为H．是否存在一个定点到点H的距离为定值?如果存在，求出该定点的坐标；如果不存在，请说明理由．（1）解：设抛物线的方程为x2由题知A1,2，代入抛物线方程，可得2解得p=2，所以，抛物线C的标准方程为x2（2）证明：设直线PQ的方程为y=mx+b，Px联立y=mx+bx2=4y，得xx1x2=-4b，因为y1因为OP⋅OQ=0，所以x1x因为PQ不经过点O，所以b=0舍去．所以直线PQ的方程为y=mx+b=mx+4，所以直线PQ过定点0,4．（3）解：存在定点，理由如下：由（2）得直线PQ过定点0,4，过点O作PQ的垂线，垂足为H．所以OH⊥PQ，定点G0,4在PQ上，即OH⊥GH故点H在以OG为直径的圆周上，圆心为OG的中点．因为00,0,C0,4，所以OG因为圆心0,2到圆周上的点H的距离等于半径1，故存在点0,2到点H的距离是定值．19．已知数列an满足a（1）求证：数列an-1为等比数列，并求数列（2）为庆祝“五一”国际劳动节，立德中学各班将要举办“致敬劳动者，礼赞新时代”的主题活动，要求有一些含学科元素的游戏或节目．某班想用（1）中的数列an组织如下游戏：让参与的同学在数列an中随机抽取10项，如果在这10项中，至少有k项的值能被（ⅰ）设随机变量X表示抽取项中能被2025整除的项的个数，求EX（ⅱ）本着开心迎五一的原则，若要求中奖概率大于90%，那么规定k=3是否符合要求