专题11直角三角形与直角三角形全等的判定4知识点6大题型4大拓展训练2025年新八年级数学讲义浙教版

“Rt△ABC”．1．在下列条件；①7A+7B=7C；②7A:7B:7C=1:2:3；③7A=7B=27C；④中，能确定△ABC为直角三角形的条件有()3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AB边上一点，CE交AD于点M，且ÐDCM=ÐMAE．求证：△AEM是直角三角形．求△EFM的周长．分别连接ME、MF、EF．6．在△ABC中，AD是BC边上的高，E、F分别为AC、BE边上的中点，且(1)求证：DF丄BE；在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三知识点4：判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边7．如图，在Rt△ABC中，上C=90°,7BAC的角平分线交BC于点D，DETAB于点8．如图，MN∥PQ，AB丄PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB9．如图，AC平分7BAD，CETAB于点E，CF丄AD于点F，且BC=CD．(1)求证：△BCE≌△DCF．10．在一个直角三角形中，有一个锐角等于30°,则另一个锐角的度数是()A．150°B．50°A．24°B．30°C．33°12．如图，在Rt△ABC中，上ACB=90°,点D在边AB上，将△CBD沿CD折叠，使点B13．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多15°,则较小锐角的度数14．已知△ABC中，上ACB=90°,CD为AB边上的高，BE平分15．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是()于点E，求证：AD=2BECD的平行线EF，则上CBF的度数为()21．如图，在四边形ABCD中，上ABC=上ADC=90°,点O是对角线AC的中点，若23．如图，在△ABC中，CE丄BA的延长线于E，BF丄CA的延长线于F，M为BC的中点，分别连接ME、MF、EF．24．如图，已知△ABC中，ADTBC，E是AB的中点，DG垂直平分CE．(1)求证：DC=BE；(2)若上B=50°,求7AEC的度数．在BC上，且AD=BD，AC=16cm，则BD的长为()于点E．若DB=10cm，则AC的值是()27．如图，△ABD和△BDC均为直角三角形，且AD=3，ÐADB=ÐC=60°,点P从点B向点C运动．在运动过程中，线段DP长的最小值为．出发，以1厘米每秒运动，点Q从点O出发以2厘米每秒运动，则△POQ为直角三角形时，延长ED和CA，交于点F．31．如图，在Rt△ABC中，上C=90°,AD平分ÐBAC交BC于(1)求证：△ADC≌△ADE．垂足为F．DE，EC，DE=EC．(1)求证：Rt△ADE≌Rt△BEC；(1)求证：△BCE≌△DCF．35．如图，点A，B分别在上MON的边OM，ON上，上MON的平分线OC与AB的垂直平分线CD交于点C，CE丄OM于点E，CF丄ON于点F．求证：AE=BF．36．如图，在△ABC中，AD丄BC于点D，E为AC上一点，且BF=(1)求证：△BDF≌△ADC；(1)求证：ABTAC；38．如图，点D为△ABC外一点，G为BC的中点，DETAB于点E，DFTAC交AC的延长线于点F，连接DG，AD，且DG丄BC，BE=CF．(1)求证：AD平分7BAC；与AD相交于点G．(1)求证：AD是EF的垂直平分线；40．如图，在Rt△ABC中，上ACB=90°,AC=BC，点D在AB上（ED丄AB，交BC的延长线于点E，连接AE，CD，以CD为底作等腰Rt△CDF（点E，F(3)用等式表示线段AE与BF的数量关系，并证明，41．如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．(3)图中①、@均是可两分三角形，请利用量角器和直尺画出①、@的两分线，并标出分成(4)已知△ABC是可两分三角形，且上A=30°,7ABC为钝角，请直接写出7ABC所有可能连结DM，作上MDN=60°交直线AC于点N．(1)如图1，当DMTAB时，求证：DM=DN；(2)如图2，当M是AB边上任意一点时，DM与DN还相等吗？若相等，若不相等，请说明(3)请写出AC、BM、NC之间的数量关系，并证明．44．已知线段AC，以AC为斜边作Rt△ABC和Rt△ADC，连接BD，M、N分别是线段AC、BD的中点，连接MN、MB．(1)如图1，Rt△ABC和Rt△ADC在线段AC的两侧．①求证：MN丄BD；45．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P.(2)求ÐBPQ的度数；(3)若BQ丄AD于Q，PQ=6，PE=2，求AD的长.46．已知上MAN=120°,AC平分ÐMAN，点B，D（1）课本上通过对两个含30°角的三角板的摆放，得到“在直角三角形中，30°角所对的直证明：如图，延长AC至点D，使CD=CA，连接BD，:BC垂直平分AD，:BA=BD……【知识应用】@如图2，若将小三角板ACD沿着射线AB方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点A沿AB方向所经过的线段长度当点D平移到大三角板ABC的边上时，直接写出相应的m接EF，交BC于点D，若ED=DF，求证：BE=CF．【类比分析】（2）如图4，在△ABC中，点E在线段AB上，D是BC的中点，连接CE，A【学以致用】的延长线上运动，过点E作ED∥AF，交AC于点N，交BC于出线段AE，CN和BC之间的数量关系．【思路启迪】述【触类旁通】以上完成了命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边（1）请补充完整它的逆命题：“在直角三角形中，如果__________，那么__________．”50．如图，在Rt△ABC中，上C=90°,边AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，AD平分ÐBAC．(3)若AC=2，点P是直线AD上的动点，求PB-PC的最大值．如图，在边长为6的等边△ABC中，E为边BC中线AD上的一动点，连接BE，在BE的下方作等边△BEF．（2）如图2，连接CF．①猜想CF与AC的位置关系，并说明理由．@当AE=2时，求点F到边BC的距离．于点D，点E是边AB的中点．点P为边CB上的一个动点．(2)当四边形ACPD为轴对称图形时，求CP的长；(4)若点M在线段CD上，连接MP，ME，直接写出MP+ME的值最小时CP的长度．(3)如图2，若点P，Q运动到终点后继续在射线AB，BC上运动，直线AQ，CP相交于点55．已知，在等边△ABC中，点M，N分别在AC，BC上，且CM=BN，连接BM与AN交于点P．561）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，上B=上过点F作FD丄FC交CA的延长线于D，过E作EG丄EC交BC于G，连接DG．若们把△ABC和△A1B1C1称为“等腰相伴”三角形，点A和点A1为对应顶点．线BC同侧使△ABC和△BCD是“等腰相伴”三角形，且点A和点B为对应顶点．若存在，(1)如图1，连接CF，求证：FC平分ÐAFE；@过点B作BG⊥CF，交CF的延长线于点G，直接写出GB+GH与AE之间的数量关系．AB，BC的延长线于点E，F，且AE=(1)求证：点D在ÐABC的平分线上；(2)连接BD，若AB=8，BC在木棒的中部P插有一只记号笔，然后移动木棒的一端，另一端也随之移动．记画出了一段圆弧．根据你所学知识，分析“木棒作弧”所运用的数学原理是()A．25°B．26°C．3062．如图，一根长5米的梯子AB斜靠在与地面OC垂直的墙上，P为一端A沿墙面AO向下移动，另一端B沿OC向右移动时，OP的长()再分别过点M，N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分ÐAOB，其作图A．SSSB．SAS过点F作EF丄BC于点E，则BE的长为()点，连结BD，以BD为边向外作等边△BDE，连结CE，在点D运动的过程中，线段CE的最小值为()园两部分组成．如图，一名轮滑学生在轮滑训练馆沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至68．如图，已知：ÐBAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG相交于点D，CD=3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．过点D作DE丄AP于点E．在点P的运动过程中，当t为时，能使DE=CD？(1)判断AB与CD的位置关系，并说明(2)若BD垂直CD于点D，求上CBD的度数．(2)ÐDAE的度数．角平分线，CD与BE交于点P．当ÐA的大小变化时，△EPC的形状也随之改变．75．如图，在△ABC中，AB=CB,上ABC=90°,F为AB延长线上一点，点E在BC上，且(1)求证：△ABE≌△CBF；76．如图，在△ABC中，AB=AC，点O为BC中点，点D在边AB上，连接OD．B，O，D都在一条直线上．至E，并在AB方向沿途插下四根标杆P，Q，R，S．(1)第一小组认为要知道池塘宽度AB，只需测量______的长度，并说明理由．(2)第二小组的方案需要选择一根标杆点与E连结，并测量出相关线段即可求出AB的长．①选择标杆______（填写P，Q，R，S测量图上线段AE=______cm，还需测量哪些②已知AE的实际长度为5m，请根据前面测量数据计算78．在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，过点D作DL丄BC于L，过点L作LF丄AB于F，连接DF，CD=LB．(2)如图2，过点L作DF的垂线交AF于H，连接DH，若上FDL=上CAB，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中四个与△DLC全等的三角形(△DLC除外长度的速度沿折线C-A-B运动．设点P的运动时间为t(t>0)．(2)求斜边AC上的高线长．(4)在整个运动过程中，直接写出△PAB是以AB【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进:△ABC是直角三角形，:最大角为上:△ABC是直角三角形，:△ABC是锐角三角形，:最大角为上:△ABC是直角三角形，:最大角为上:△ABC是直角三角形，【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由AD是BC边上的高，得:△AEM是直角三角形．（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三:EF=2，:BM=EM=BC，:ÐABC=ÐBEM=30°, :ÐEMF=180°-ÐEMC-ÐBMF=24:上EMF的度数为24°.(2)71°,从而可得BD=DE，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答；:上ADC=90°,:BD=DE，:DF丄BE；:上BDF的度数为71°.分线上的点到角的两边的距离相等．由角平分线的性质:CD=DE，:AD=AD，:Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，【详解】解：QMN∥PQ，AB丄PQ，:AB丄MN，在Rt△ADE和Rt△BCE中，ílAD,:△ADE≌△BEC(HL)，:AE=BC，（2）先根据全等三角形的性质可得BE=DF，再根据直角三角形全等:CE=CF．在Rt△BCE和Rt△DCF中，:Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)．（2）解：由（1得Rt△BCE≌Rt△DCF，:BE=DF．:上AEC=上AFC=90°.在Rt△ACF和Rt△ACE中，∵AC=AC,CF=CE:Rt△ACF≌Rt△ACE(HL)，:AF=AE=3，:AB+AD=6．【分析】本题考查了直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，已知一个锐角为30°,另一个锐角的度数即为90°减去已知锐角的度数．【详解】解：∵DE垂直平分AB，:AD=BD∵ÐBDC=ÐA+ÐDBA=2ÐA，故选：C．:上CDE=上CDB=65°.根据直角三角形两锐角之和为90°,得：所以较小锐角的度数为15°.故答案为：15°.:ÐBDC=90°,∵BE平分ÐABC，\27C=180°,:上C=90°,:△ABC是直角三角形；:x=30°,:△ABC是直角三角形；:△ABC是直角三角形；:x=36°,:△ABC不是直角三角形；:△ABC不是直角三角形；综上，能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③,共3个，故选：B．值，等式的性质1等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．【分析】设较小的锐角是x度，则另一角是5x度．再根据直角三角形的两个角互余列方程设AG与EF的交点为O，因为AG平分ÐDAC，BE平分ÐABC，因为BE平分ÐABC，AG丄EF，所以直线BE是线段AG的垂直平分线，直线AG是线段EF的垂直平分线，所以AF=FG，所以FGPAC，性质，平行线的判定，熟练掌握直角三角形的性质，余角的性质【分析】延长BE、AC，根据已知条件可知△AEF≌△AEB，进而得到BE=EF，最后根据已知条件可知AD=BF，从而得到结论．∵过B作BE丄AD于点E，:在△AEB和△AEF中，ïï:△AEB≌△AEF(ASA)，:BE=EF，:BF=2BE，:在△BCF和△ACD中，ïï:BF=AD，:AD=2BE，质等相关知识点，熟练掌握全等三角形的判∵CDⅡEF，在Rt△ADC和Rt△ABC，由斜边上中线等于斜边的一半得到即可求解．（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三:BM=EM=BC，:ÐABC=ÐBEM=30°, :上EMF的度数为24°.∵E是AB的中点，:DE=BE=AB，:CD=DE，根据直角三角形的性质求出AD，则答案可得．:BD=32cm．性质等知识，根据线段垂直平分线的性质，得出AD=BD=1【详解】解：连接AD，:DE是AB垂直平分线，DB=10cm:AD=BD=10cm，27．3:BD=2AD=6，:上OPQ=30°,则OP=2OQ，:上OQP=30°,则OQ=2OP，【分析】本题主要考查等腰三角形的判定以及余角的性质和含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质是解决本题的关键．:上F=上BDE，:AF=AD，即△ADF是等腰三角形；:FC=16，:16-x=x-6，:x=11，即AC=11．（1）由角平分线的性质可得DC=DE，再利用HL即可证明Rt△ADC≌Rt△ADE；:DC=DE，:Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)；在Rt△ABC和Rt△BAD中，:Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)；:ÐD=90°,【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角（1）根据证明直角三角形全等的“HL”定理，证明即可．:△ADE和△BEC均为直角三角形．在Rt△ADE和Rt△BEC中，ílAE,:Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)．:ÐAED=ÐBCE，ÐADE=ÐBEC，:ÐAED+ÐADE=90°,:ÐAED+ÐBEC=90°,:ÐDEC=180°-90°=90°,（2）先根据全等三角形的性质可得BE=DF，再根据直角三角形全等:CE=CF．在Rt△BCE和Rt△DCF中，:CE=CE,BC=CD:Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)．（2）解：由（1得Rt△BCE≌Rt△DCF，:BE=DF．:ÐAEC=ÐAFC=90°.在Rt△ACF和Rt△ACE中，:AC=AC,CF=CE:Rt△ACF≌Rt△ACE(HL)，:AF=AE=3，:AB+AD=6．质，连接AC，BC，由线段垂直平分线的性质得到AC=BC，由角平分线的性质得到CE=CF，据此可证明Rt△CEA≌Rt△C【详解】证明：如图所示，连接AC，BC，:AC=BC，:Rt△CEA≌Rt△CFB(HL)，:AE=BF．:ÐBDF=ÐADC=90°ílDFìílDF:Rt△BDF≌Rt△ADC(HL):AD=BD=AF+FD，【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形:ÐADB=ÐAEC=90°,在Rt△ABD和Rt△CAE中，:Rt△ABD三Rt△CAE(HL)．:ÐCAE+ÐBAD=90°,即ÐBAC=90°,:AB丄AC．（2）解：由（1）得，Rt△ABD≌Rt△CAE，:BD=AE，:DE=7-4=3，答：DE的长为3．:DB=DC，QDETAB，DFTAC，:ÐBED=ÐDFC=90°,在Rt△DBE和Rt△DCF中，,:Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)，:DE=DF，:AD平分7BAC；:Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，:AE=AF，:AB-AE=AE-AC，即15-AE=AE-9，得AE=AF，然后由等腰三角形的性质即可得出结论；在Rt△AED和Rt△AFD中，:Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，:AE=AF，:AD是EF的垂直平分线；（3）延长DF到点G，使FG=DF，连接CG，BG．证明△ACD≌△BCG．得到:DE丄AB，:ÐBDE=90°.:ÐBED=45°.:ÐBED=ÐDBE=45°.:DE=DB．如图，延长DF到点G，使FG=DF，连接CG，BG．:△DCF是以CD为底的等腰直角三角形，:DF=CF，ÐDFC=90°.:DF=FG，:△ACD≌△BCG．:AE=DG（1）连接DM、ME，根据直角三角形斜边中线的性质得到则:△BCD,△BCE都是直角三角形，:DM=ME，:△MDE是等腰三角形，:MN丄DE；(4)符合条件的ÐABC的度数为135°或112.5°或140°.【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质．如果AD=AB，DB=DC，如果AD=DB，DC=DB，如图中，当AD是“两分线”时，AB=BD，AD=DC，则上ABC:符合条件的ÐABC的度数为135°或112.5°或（2）E为AB的中点，连接DE，根据题意可证明△AED是等边三角形，进而证明（3）分两种情况讨论：①若点N在线段AC上，由（2）可知△EDM≌△ADN，得出EM=AN，进而得出AM+AN=AB，即可得到BM+NC=AC；②点N在CA的延长:DM丄AB，:上MDN=60°,:DNTAC，∵AD平分7BAC，:DM=DN；证明：如图2，E为AB的中点，连接DE，:DE=AE=BE，:△AED是等边三角形，在△EDM和△ADN中，:△EDM≌△ADN(ASA)，:DM=DN；①如图3，若点N在线段AC上，:EM=AN，在△ADN和△EDM中，:△ADN≌△EDM(AAS)，:AN=EM，(2)a-β.一证明即可；②根据直角三角形的性质得到BM=AM=（2）根据直角三角形的性质得到AM=B:BM=DM，又∵N是BD的中点，:MN丄BD；:BM=AM=MC=DM，（2）解：连接MD，:AM=BM=MD，(3)14【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以，含3角形的性质，熟练掌握等边三角形性质和全等三角ÐPBQ=30°,利用含30°直角三角形的性质求出BP，进而求出BE（即AD）的长．:△ABE≌△CAD(SAS)．:ÐABE=ÐCAD，:ÐBPQ=ÐABE+ÐBAP，:ÐBPQ=ÐCAD+ÐBAP=ÐBAC，:ÐBPQ=60o．:ÐPBQ=30°,:BP=2PQ，:BP=12，:AD=BE=14．（2）在AN上截取AE=AC，连接CE，证明△ADC≌△::AC=2AD，AC=2AB:AD=AB理由如下：如图2，在AN上截取AE=AC，连接CE:△ACE是等边三角形，ïï:△ADC≌△EBC(AAS):DA=BE:AC=AE，471）见解析2）①8；@2或6是等边三角形．得出AB=AD=2AC，即@如图，作DE∥AB交BC于点E，交AC于点F．证明△ADF是等边三角形，得出点D平移到三角板ABC的边BC上时，m的值为DE=6．【详解】解1）如图，延长AC至点D，使CD=CA，连接BD，:BC垂直平分AD，:BA=BD，:△BAD是等边三角形．:AC=2AD=4，:AB=2AC=8．@如图，作DE∥AB交BC于点E，交AC于点F．:ÐDFA=ÐBAC=ÐDAF=60°,:△ADF是等边三角形，:AF=AD=DF=2，:CF=AC-AF=2，:EF=2CF=4，当点D平移到三角板ABC的边AC上时，m的值为DF=2，当点D平移到三角板ABC的边BC上时，m的值为DE=6，:当点D平移到三角板ABC的边上时，相应的m的值为2或6．481）证明见解析2）证明见解析【详解】（1）证明：如图所示，在线段DC上截取DM，使DM=BD，连接FM，:△BDE≌△MDF(SAS)，:FM=BE，∠E=∠DFM，:FM=FC，:BE=CF；（2）延长AD，取DM=AD，连接CM，如图所示：:△ADB≌△CDM(SAS)，:CM=CN，:AB=CN；:△CDM≌△BDE(SAS)，:CMⅡBE，:AF平分ÐBAC，:ED∥AF，:CN=BE，【详解】逻辑论证：证明：方法一：延长BC至点D，使得CD=BC，连接A:在Rt△ABC中与Rt△ADC中，:Rt△ABC≌Rt△ADC(SAS)，:△ABD是等边三角形，AB=BD，,即在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边方法二：如图所示，分别过点A，B作AEⅡBC，BE∥AC，交点为E，连接AB，CE交于点D，:四边形ACBE是平行四边形，:四边形ACBE是矩形，:△DBC是等边三角形，即BC=CD=BD，,即在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边于30°.延长BC至点D，使得CD=BC，连接AD，QAC垂直平分BD，:AD=AB，:AB=BD=AD，:△ABD是等边三角形，:在直角三角形中，如果锐角所对的直角边等于斜边的一半，那么这个锐角等于30°.BC¢的直线就是AB，则当P点和A点重合时，PB-PC最大，即可求解．:AD=BD，:∠BAD=∠B，:连接BC¢的直线就是AB，:当P点和A点重合时，PB-PC最大，此时PB-PC的最大值为BC¢,:PB-PC的最大值为2．角三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的②过点F作FH丄BC于点H，得到CF=AE=2，上BCF=30°【详解】解1）∵等边△ABC的边长为6，AD是边BC的中线，故答案为：15°;理由：∵△ABC是等边三角形，AD是边BC上的中线，:ÐACF=ÐBCF+ÐACB=90°,②如图，过点F作FH丄BC于点H．由①,知△ABE≌△CBF，:点F到边BC的距离为1；（3）如图，连接CF，作点D关于CF对称的点G，连接CG，DG，FG，则DF=FG，:ÐDBE=60°-ÐCBF=30°.质，直角三角形的性质，轴对称的性质．正确引出辅助线(3)90度或45度或67.5度:点E是边AB的中点:CD平分ÐACB，故答案为：4，45°.（2）解：:四边形ACPD为轴对称图形，CD平分ÐACB，:对称轴为直线CD，:上PCD=45°,综上，上CPD的度数90度或45度或67.5度．（4）解：如图，点M在CD上，且MP丄BC，作点P关于CD的对称点P¢,:CD平分ÐACB，:△PCM≌△P¢CM又:根据垂线段最短，:AE=4，质、含30度角的直角三角形、角平分线的性质，本题综合性较强，作出辅助线，得出当点53．(1)(4-2x)cm【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，含30（2）讨论上PQB=90°或上BPQ=90°时，利用PB与BQ之间的关系，建立方程求解即可．所以，AP=2xcm，所以，PB=AB-AP=(4-2x)cm；:ÐB=60°,:BP=2BQ，:PB=AB-AP=(4-2x)cm，BQ=xcm，:4-2x=2x，:BQ=2BP，（3）解：:ÐB=60°,:当PB=BQ时，△PBQ是等边三角形，如图，由题意得PB=AB-AP=(4-2x)cm，BQ=xcm，BC4综上，BQ的长为或(2)当点P，Q运动的时间为s或s(3)120°【分析】(1)由“SAS”可证△ABQ≌△CAP，可得ÐBAQ=ÐACP，由外角的性质可求(3))由“SAS”可证△PBC≌△QCA，可得ÐBPC=ÐMQC，由三角形内角和定理可求解．Q点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，:AP=BQ，:ÐBAQ=ÐACP，:ÐCMQ=ÐACP+ÐCAM=ÐBAQ+ÐCAM=ÐBAC=60°,:PB=2BQ，得4-t=2t，:BQ=2BP，得t=2(4-t)，8:t=，3:当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形；:ÐPBC=ÐACQ=120°,:BP=CQ，:△PBC≌△QCA(SAS)，:ÐBPC=ÐMQC，QÐPCB=ÐMCQ，:ÐCMQ=ÐPBC=120°,在线段MN的垂直平分线上，点C在线段MN的垂直平分线上，即可得证；（3）如图3，过点B作BH丄AN于点H，由（1）得△ABN≌△BCM，BP=2PH，再证明△ABH≌△BCP(AAS)得AH=BP，从而即可得解．:△ABN≌△BCM（SAS:ÐPBC=ÐPCB，:ÐBAN=ÐCBM，点B在线段AC的垂直平分线上，:ÐBAN=ÐCBM=ÐPCB，:PA=PC，:点P在线段AC的垂直平分线上，:点A在线段AC的垂直平分线上，点P在线段AC的垂直平分线上，:AN丄:点C在线段MN的垂直平分线上，:Rt△PMC≌Rt△PNC（HL:PM=PN，:点P在线段MN的垂直平分线上，:CP是MN的垂直平分线；（3）解:如图3，过点B作BH丄AN于点H，:ÐBAN=ÐCBM，:BP=2PH，:△ABH≌△BCP(AAS):AH=BP，:PH=1，:BP=2PH=2．561）BE+DF=EF“SAS”证得△EAG≌△EAF，即可得到EF=GE，从而得出结论．（3）在DF上取点H，使HF=EG．根据“HL”证得Rt△CEG≌Rt△CFH，得到CG=CH后由线段和差关系求出DG的长．【详解】解1）如图，在EB延长线上取点C，使BG=DF，连接AG．在Rt△ADF和Rt△ABG中，AD=AB，DF=BG，:Rt△ADF≌Rt△ABG(HL)．:△EAG≌△EAF(SAS)．故答案为：BE+DF=EF．理由：在EB延长线上取点G，使BG=DF，连接AG.:△ADF≌△ABG(SAS)．在△AEF和△AEG中，AF=AG，EF=BE+DF=BE+BG=EG，AE:△AEF≌△AEG(SSS)．:上EAF=上EAG，（3）在DF上取点H，使HF=EG．:Rt△CEG≌Rt△CFH(HL)．:DG=DH=DF-HF=DF-EG=6．(3)存在，ÐADB的度数为30°或150°．:CM=BQ，:AB=BD，:△CBA和△BDA是“等腰相伴”三角把△ABD沿AB翻折得△ABD¢,D的对应点为D¢,延长D¢A交BC于H，:D¢A垂直平分BC，把△ABD沿AB翻折得△ABD¢,D的对应点:AD¢垂直平分BC，综上可知，ÐADB的度数为30°或150°角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、全等三(3)①CF是线段AE的垂直平分线，理由见解析；②AE=2AH=2(GCM=CN，就可得到FC平分ÐAFE；ïï:CM=CN，:FC平分ÐAFE；:S△ACM=S△DCN，:S△FMC=S△FNC，:S四边形CAFD=S四边形CMFN=2S△F（3）解①：CF是线段AE的垂直平分线，理由如下：∵AF=EF，:FH丄AE，AH=HE，:CF是线段AE的垂直平分线；:AC=CE，AH=EH，:CH=BG，CG=AH，∵DE⊥AB，:DC丄FB，:上DCF=90°,:△DCF≌△DEA(AAS)，:DC=DE，又QDC丄FB，DETAB，:点D在7ABC的平分线上；（2）解：由（1）可得：DC丄FB，DETAB，DC=DE，:S△ABD:S△BCD的值为．解题关键．根据有两条互相垂直的卡槽，将一根木棒的两端A和B分别卡在卡槽中自由滑【详解】解：∵“木棒作弧”过程中弧上的点到两条相互垂直的卡槽交点距离相等，且木棒作:运用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，:在滑动的过程中OP的长度不变．【分析】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是根据题意在Rt△OMP和Rtt△ONP中，【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形，由等边三角形性质得到CF，再根据含30°角的直角三角形求出，即可求解，掌握知识点的应用是解【详解】解：:△ABC是等边三角形，:D是AB的中点，【分析】此题重点考查旋转的性质、直角三角形中30°角所对的直边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，延长BC到点F，FC=BC=AB=2，可证明点F且与AF垂直的射线FE上运动，作CH丄FE交射线FE于点H，则CH=FC=1，由【详解】解：如图，延长BC到点F，使FC=BC，连结AF，FE，:FB=2BC=4，:FB=AB，:△ABF是等边三角形，:上AFB=60°,:△FBE≌△ABD(SAS)，:点E在经过点F且与AF垂直的射线FE上运动，:CE≥1，:△ABC是直角三角形，故答案为：2．【详解】解：:AD平分ÐBAC，DE:△ADF≌△ADE，:AE=AF，连接CD，BD，:DG垂直平分BC，:DC=BD，:△CDF≌△BDE(HL)，:BE=CF，:BE=．69．##10【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)，△ACE≌△ACF(AAS)，于是可得DF=BE，AF=AE，由线段的和差关系可求出BE的长，然后根据勾股定理即可求出CE的长，设AE=x，根据勾股定理可列出方程，解方程