2025年高三数学秋季开学摸底考（浙江专用）含答案

1/42025年秋季高三开学摸底考试模拟卷数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．考试范围：高考全部内容第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z满足，则z的虚部为（

）A． B． C．2 D．2．已知全集（是自然数集），集合，则（

）A． B． C． D．3．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．24．“”是“函数的图象关于对称”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．设是定义域为的偶函数，且，则（

）A． B． C． D．6．过原点作直线的垂线，垂足为P，则P到直线的距离的最大值为A． B． C． D．7．在平面直角坐标系中，已知向量，，定点的坐标为，点满足，曲线，区域，曲线与区域的交集为两段分离的曲线，则A． B．C． D．8．若x，y，z∈R+，且3x=4y=12z，∈（n，n+1），n∈N，则n的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知正方体，则（

）A．直线与面平行B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为D．直线与平面垂直10．设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（

）A．B．C．D．11．记的内角，，的对边分别为，，，若，则（

）A． B． C． D．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为.13．若曲线在点处的切线方程为，则．14．在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢.据调查数据显示，2019年度华为手机（含荣耀）在中国市场占有率接近！小明为了考查购买新手机时选择华为是否与年龄有一定关系，于是随机调查100个2019年购买新手机的人，得到如下不完整的列表.定义30岁以下为“年轻用户”，30岁以上为“非年轻用户”.购买华为购买其他总计年轻用户28非年轻用户2460总计附：.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（1）将列表填充完整，并判断是否有的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关？（2）若采用分层抽样的方法从购买华为手机用户中抽出6个人，再随机抽2人，求恰好抽到的两人都是非年轻用户的概率.16．（15分）记数列的前项和为.(1)设，若，求的通项公式；(2)记，设，求.17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，．（1）求证：平面平面；（2）若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值；（3）若二面角大小为，求的长．18．（17分）已知椭圆的左，右焦点分别为椭圆上任意一点，.(1)求椭圆的方程；(2)若为圆上任意一点，求的最小值；(3)已知直线与轴交于点，且与椭圆交于两点，为坐标平面内不在直线上的动点，若直线斜率的倒数成等差数列，证明：动点在定直线上，并求直线的方程.19．（17分）已知函数．(1)若恒成立，求的取值范围；(2)当时，（i）求的最小值；（ii）证明：．2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷数学•全解全析第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z满足，则z的虚部为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的定义，即可求解.【详解】由复数，所以复数的虚部为.故选：B.2．已知全集（是自然数集），集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简集合即得解.【详解】：由题得集合，所以.故选：A3．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】由渐近线求出，进而求出离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为，，，离心率，故选：D．4．“”是“函数的图象关于对称”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】若函数的图象关于对称，根据正切函数的对称性可得，再根据充分、必要条件结合包含关系分析求解.【详解】若函数的图象关于对称，则，解得，因为是的真子集，所以“”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件.故选：A.5．设是定义域为的偶函数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用条件和偶函数的性质，得出函数的周期为2，再根据条件即可求出结果.【详解】因为是定义域为的偶函数，所所以的周期为2，所以．故选：B.6．过原点作直线的垂线，垂足为P，则P到直线的距离的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将直线：化为，可得直线经过定点，从而可以判断得出的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径为1，利用点到直线的距离公式，可得点到直线的距离的最大值为.【详解】整理得，由题意得，解得，所以直线过定点.因为，所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径为1，因为圆心到直线的距离为，所以到直线的距离的最大值为.故选：A7．在平面直角坐标系中，已知向量，，定点的坐标为，点满足，曲线，区域，曲线与区域的交集为两段分离的曲线，则（）A． B．C． D．【答案】A【详解】由平面向量数量积运算可得：，则：，设N点坐标为，考查曲线C：，整理可得N点的轨迹为：，即N点是以A位圆心，1为半径的圆，由平面向量模的几何意义可得P点是以M为圆心，r,R分别为半径的圆环，数形结合，曲线与区域的交集为两段分离的曲线，则.故选：A.8．若x，y，z∈R+，且3x=4y=12z，∈（n，n+1），n∈N，则n的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】设，用表示出，然后根据对数的运算性质和换底公式进行变形求解可得所在的范围，进而得到答案．【详解】设，则，∴．∵，∴；又，∴，即．∴．故选C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知正方体，则（

）A．直线与面平行B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为D．直线与平面垂直【答案】AD【分析】由正方体结构特点，结合线面位置关系逐项判断即可.【详解】A：正方体中，易知，在平面内，面，所以A正确；B：为正三角形，又易知与所成的角为，所以B错误；C：连接交于点，则.正方体中易知：平面平面，且相交于点，平面即为直线与平面所成角的平面角，设正方体棱长为2，则.，所以C错误；D：且，都在平面面内，面，所以D对.故选：AD10．设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D.【详解】法一：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点，则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，由抛物线的定义可知，，故A正确；对于B，过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，则，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，显然为的斜边，则，故B错误；对于C，易知直线的斜率不为，设直线的方程为，，联立，得，易知，则，又，，所以，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，在与中，，所以，则，即，同理，又，，所以，则，故D正确.故选：ACD.法二：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点，则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，由抛物线的定义可知，，故A正确；对于B，过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，则，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，显然为的斜边，则，故B错误；对于C，当直线的斜率不存在时，；当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，消去，得，易知，则，所以，综上，，故C正确；对于D，在与中，，所以，则，即，同理，当直线的斜率不存在时，，；所以，即；当直线的斜率存在时，，，所以，则；综上，，故D正确.故选：ACD.11．记的内角，，的对边分别为，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】对于A，由已知条件结合分析判断，对于B，利用余弦定理和正弦定理结合已知条件可得，然后利用正弦函数的性质分析判断，对于C，由选项B可知，则，从而可判断的范围，对于D，由正弦定理结合及二倍角公式得，再结合可求出其范围进行判断.【详解】对于A，因为，，所以，所以，所以A错误，对于B，因为，所以由余弦定理得，所以由正弦定理得，所以，因为，所以或，若，则，所以，此时，所以，则，此时，所以B正确，对于C，由选项B可知，所以，所以，所以C正确，对于D，由正弦定理得，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以D正确.故选：BCD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为.【答案】【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解.【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则，设的公比为，当时，，即，则，显然不成立，舍去；当时，则，两式相除得，即，则，所以，所以该等比数列公比为2.故答案为：.法二：设该等比数列为，是其前项和，则，设的公比为，所以，，所以，则，所以，所以该等比数列公比为2.故答案为：2.法三：设该等比数列为，是其前项和，则，设的公比为，因为，又，所以，所以，所以该等比数列公比为.故答案为：.13．若曲线在点处的切线方程为，则．【答案】【解析】根据切线方程为可得，解方程组即可得到本题答案.【详解】，，又在处的切线方程为，，即，得，.故答案为：14．在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则.【答案】【分析】先确定样本点总数，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望.【详解】对于维坐标，其中.即有两种选择，故共有种选择，即维“立方体”的顶点个数是个顶点；当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足，则满足的个数为.所以.故分布列为：则.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢.据调查数据显示，2019年度华为手机（含荣耀）在中国市场占有率接近！小明为了考查购买新手机时选择华为是否与年龄有一定关系，于是随机调查100个2019年购买新手机的人，得到如下不完整的列表.定义30岁以下为“年轻用户”，30岁以上为“非年轻用户”.购买华为购买其他总计年轻用户28非年轻用户2460总计附：.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（1）将列表填充完整，并判断是否有的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关？（2）若采用分层抽样的方法从购买华为手机用户中抽出6个人，再随机抽2人，求恰好抽到的两人都是非年轻用户的概率.【答案】（1）表格见解析，没有把握；（2）【解析】（1）补全列联表，计算，即可得出结论；（2）利用分层抽样抽取6个购买华为手机的用户，易知其中有2个年轻用户，4个非年轻用户，不妨用，表示两个年轻用户，用，，，表示非年轻用户，利用列举法，结合古典概型的概率公式，即可得出答案.【详解】解：（1）易得购买华为购买其他总计年轻用户122840非年轻用户243660总计3664100由列表可得故没有的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关系.（2）利用分层抽样抽取6个购买华为手机的用户，易知其中有2个年轻用户，4个非年轻用户，不妨用，表示两个年轻用户，用，，，表示非年轻用户，现从中任选两人，则共有，，，，，，，，，，，，，，，15种可能，其中满足要求的有6种，由古典概型可知.16．（15分）记数列的前项和为.(1)设，若，求的通项公式；(2)记，设，求.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由，的关系即可求解，（2）通过求导确定通项公式，再由错位相减法、等比数列求和公式即可求解；【详解】（1）当时，，整理得，当时，有.数列是以为公比，以为首项的等比数列，所以．（2）当时，，所以，所以，令，其前项和为，∴①∴②得：.∴.令，其前项和易知为：，所以17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，．（1）求证：平面平面；（2）若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值；（3）若二面角大小为，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【分析】（1）证明与垂直，则得线面垂直，然后可得面面垂直；（2）以为轴建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角；（3）设，这样求得平面和平面的法向量，用向量法求二面角，从而求得，可得的长．【详解】（1）证明：∵，，为的中点，∴四边形为平行四边形，∴∵，∴，即∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面（2）∵，为的中点，∴∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，∵是的中点，∴，，设异面直线与所成角为，，∴异面直线与所成角的余弦值为．（3）解：由（2）知平面的法向量为，设，且，从而有，又，设平面法向量为，由及，，可取．∵二面角为，∴，∴，∴．18．（17分）已知椭圆的左，右焦点分别为椭圆上任意一点，.(1)求椭圆的方程；(2)若为圆上任意一点，求的最小值；(3)已知直线与轴交于点，且与椭圆交于两点，为坐标平面内不在直线上的动点，若直线斜率的倒数成等差数列，证明：动点在定直线上，并求直线的方程.【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析，【分析】（1）利用椭圆的定义和焦距的性质求出基本量，得到椭圆方程即可.（2）利用圆的性质得到，再结合三角形两边之和大于第三边的性质进行放缩求解最值即可.（3）联立方程组结合韦达定理得到，进而表示出，再结合给定条件进行化简，证明点在定直线上即可.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，因为，所以，由椭圆的定义，解得，得到，故的方程为.（2）因为的右焦点，圆的圆心，半径，显然椭圆与圆没有交点，因为点在圆上，所以，于是，当且仅当分别是线段与椭圆，圆的交点时取等号，故的最小值为.（3）如图，设，因为直线，所以点，联立消去得.所以，因为，且直线斜率的倒数成等差数列，所以，所以，即，将代入上述等式可得，若，则点在直线上，与已知矛盾；故，整理可得，可得，即，即对任意的恒成立，得到，解得或，由于的斜率不为0，得到，故，故点在定直线上.19．（17分）已知函数．(1)若恒成立，求的取值范围；(2)当时，（i）求的最小值；（ii）证明：．【答案】(1)；(2)；证明见解析.【分析】（1）利用分类讨论，再求导研究单调性，即可求出最小值，从而可求解的取值范围；（2）（i）利用常规求导来判断函数的单调性，即可求得最小值；（ii）利用第（i）问的结论，从而把要证明的不等式转化为，再作差构造函数求导来证明即可.【详解】（1）因为函数的定义域为，当时，恒成立，当时，，所以此时不恒成立，当时，求导得，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；所以，即不等式恒成立，等价于，综上，的取值范围为.（2）（i）当时，，则，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；所以，（ii）由，则要证明，只需要证明，构造，则，所以在上单调递增，即，所以有，即成立．2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷数学·答案及评分参考一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678BADABAAC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ADACDBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】;13．【答案】;14．【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【详解】解：（1）易得：购买华为购买其他总计年轻用户122840非年轻用户243660总计3664100表格填对：···········4分由列表可得············3分故没有的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关系.···········1分（2）利用分层抽样抽取6个购买华为手机的用户，易知其中有2个年轻用户，4个非年轻用户，不妨用，表示两个年轻用户，用，，，表示非年轻用户，现从中任选两人，则共有，，，，，，，，，，，，，，，15种可能，其中满足要求的有6种，由古典概型可知.···········5分16．（15分）【答案】(1)；(2)【分析】（1）由，的关系即可求解，（2）通过求导确定通项公式，再由错位相减法、等比数列求和公式即可求解；【详解】（1）当时，，整理得，当时，有.数列是以为公比，以为首项的等比数列，所以．···········4分（2）当时，，所以，···········3分所以，···········2分令，其前项和为，∴①∴②···········3分得：.···········2分∴.令，其前项和易知为：，···········1分所以17．（15分）【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【分析】（1）证明与垂直，则得线面垂直，然后可得面面垂直；（2）以为轴建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角；（3）设，这样求得平面和平面的法向量，用向量法求二面角，从而求得，可得的长．【详解】（1）证明：∵，，为的中点，∴四边形为平行四边形，∴∵，∴，即∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面···········5分（2）∵，为的中点，∴∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，∵是的中点，∴，，设异面直线与所成角