高中数学北师大版必修三学案第三章概率2.3互斥事件

2．3互斥事件[学习目标]1.理解互斥事件、对立事件的定义，会判断所给事件的类型.2.掌握互斥事件的概率加法公式并会应用.3.正确理解互斥、对立事件的关系，并能正确区分判断．知识点一集合间的基本关系描述关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中任意一元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A空集空集是任何集合的子集∅⊆B知识点二集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}知识点三互斥事件与对立事件定义公式互斥事件在一个随机试验中，我们把一次试验下不可能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件.(1)若A与B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；(2)若A1，A2，…，An中任意两个事件互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)对立事件事件“A不发生”称为A的对立事件，记作eq\x\to(A)，对立事件也称为逆事件，在每一次试验中，相互对立的事件A与eq\x\to(A)不会同时发生，并且一定有一个发生.P(eq\x\to(A))＝1－P(A)给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．思考(1)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，事件A与事件B应有怎样的关系？答因为1为奇数，所以A⊆B.(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？答①看两个事件是不是互斥事件；②看两个事件是否必有一个发生．若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是．知识点四概率的几个基本性质1．概率的取值范围(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，从而任何事件的概率在0～1之间，即0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率为1.(3)不可能事件的概率为0.2．互斥事件的概率加法公式当事件A与事件B互斥时，A＋B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而A＋B的频率fn(A＋B)＝fn(A)＋fn(B)，则概率的加法公式为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．3．对立事件的概率公式若事件A与事件B互为对立事件，则A＋B为必然事件，P(A＋B)＝1.再由互斥事件的概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，得P(A)＝1－P(B)．题型一互斥事件、对立事件的概念例1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．解(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．反思与感悟1.要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的和事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．2．考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．跟踪训练1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是()A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球答案D解析根据互斥事件与对立事件的定义判断．A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件．题型二和事件的概念例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．解(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4＋C5＋C6.同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.反思与感悟事件间运算方法：(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．跟踪训练2盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．则：(1)事件D与事件A、B是什么样的运算关系？(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？解(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A＋B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故C∩A＝A.题型三对立事件、互斥事件的概率例3同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．解方法一设“至少有一个5点或6点”为事件A，同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)共有36种不同的结果，其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以P(A)＝eq\f(20,36)＝eq\f(5,9).方法二设“至少有一个5点或6点”为事件A，“至少有一个5点或6点”的对立事件是“既没有5点又没有6点”，记为eq\x\to(A).如上表，“既没有5点又没有6点”的结果共有16个，则“既没有5点又没有6点”的概率为P(eq\x\to(A))＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9).所以“至少有一个5点或6点”的概率为P(A)＝1－Peq\x\to(A))＝1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9).反思与感悟1.互斥事件的概率的加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．2．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．3．当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．跟踪训练3某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手一次射击中射中的环数低于7环的概率．解设“低于7环”为事件E，则事件eq\x\to(E)为“射中7环或8环或9环或10环”，而事件“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥，故P(eq\x\to(E))＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－P(eq\x\to(E))＝1－0.97＝0.03.所以射中的环数低于7环的概率为0.03.求复杂事件的概率例4玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”．已知P(A)＝eq\f(5,12)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,6)，P(D)＝eq\f(1,12).(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率；(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率．分析事件A，B，C，D为互斥事件，A＋B与C＋D为对立事件，A＋B＋C与D为对立事件，因此可用两种方法求解．解方法一(1)因为事件A，B，C，D彼此为互斥事件，所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,4).(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12).方法二(1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”，即A＋B的对立事件为C＋D，所以P(A＋B)＝1－P(C＋D)＝1－P(C)－P(D)＝1－eq\f(1,6)－eq\f(1,12)＝eq\f(3,4)，即“取出1个球为红球或黑球”的概率为eq\f(3,4).(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”，即A＋B＋C的对立事件为D，所以P(A＋B＋C)＝1－P(D)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12)，即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为eq\f(11,12).解后反思求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率，即P(A)＝1－P(B)(B是A的对立事件)．1．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案C解析对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A＋B＝A时，P(A＋B)＝P(A)，∴④错；只有事件A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，∴⑤错．2．对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是()A．互斥不对立 B．对立不互斥C．互斥且对立 D．不互斥、不对立答案C解析必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立．3．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是()A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D答案D解析“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，A∪C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件；“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，B∪D为必然事件，所以A∪C≠B∪D.4．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a，b，c}的子集的概率是eq\f(3,4)，则该子集恰是集合{a，b，c}的子集的概率是()A.eq\f(3,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)答案C解析该子集恰是{a，b，c}的子集的概率为P＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4).5．从几个数中任取实数x，若x∈(－∞，－1]的概率是0.3，x是负数的概率是0.5，则x∈(－1,0)的概率是________．答案0.2解析设“x∈(－∞，－1]”为事件A，“x是负数”为事件B，“x∈(－1,0)”为事件C，由题意知，A，C为互斥事件，B＝A＋C，∴P(B)＝P(A)＋P(C)，P(C)＝P(B)－P(A)＝0.5－0.3＝0.2.1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系．互斥未必对立，对立一定互斥．2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．3．求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．一、选择题1．已知P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A＋B)等于()A．0.3 B．0.2C．0.1 D．不确定答案D解析由于不能确定A与B是否互斥，所以P(A∪B)的值不能确定．2．若A、B是互斥事件，则()A．P(A＋B)<1 B．P(A＋B)＝1C．P(A＋B)>1 D．P(A＋B)≤1答案D解析∵A、B是互斥事件，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)≤1.(当A、B是对立事件时，P(A＋B)＝1)．3．某产品分甲、乙、丙三级，其中丙级为次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到正品的概率为()A．0.09 B．0.97C．0.99 D．0.96答案C解析因为抽到次品的概率为0.01，所以抽到正品的概率是1－0.01＝0.99.4．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．“至少有1个白球”和“都是红球”B．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D．“至多有1个白球”和“都是红球”答案C解析该试验有三种结果：“恰有1个白球”、“恰有2个白球”、“没有白球”，故“恰有1个白球”和“恰有2个白球”是互斥事件且不是对立事件．5．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是()A．① B．②④C．③ D．①③答案C解析从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数．故选C.6．下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．其中错误命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3答案D解析对立事件首先是互斥事件，故①正确；只有互斥事件的和事件的概率才适合概率加法公式，故②不正确；概率加法公式可以适合多个互斥事件的和事件，但和事件不一定是必然事件，故③不正确；对立事件和的概率公式逆用不正确．比如在掷骰子试验中，设事件A＝{正面为奇数}，B＝{正面为1,2,3}，则P(A)＋P(B)＝1.而A，B不互斥，故④不正确．7．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为eq\f(1,6).事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋eq\x\to(B)(eq\x\to(B)表示事件B的对立事件)发生的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)答案C解析由题意知，eq\x\to(B)表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件eq\x\to(B)互斥，由概率的加法计算公式可得P(A＋eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(2,6)＋eq\f(2,6)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).二、填空题8．若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A＋B)＝0.7，则P(B)＝________.答案0.3解析因为A，B为互斥事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．所以P(B)＝P(A＋B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.9．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为eq\f(9,20)，则参加联欢会的教师共有________人．答案120解析可设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－eq\f(9,20)＝eq\f(11,20).再由题意，知eq\f(11,20)n－eq\f(9,20)n＝12，解得n＝120.10．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为________．答案0.45解析由图可知，抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.11．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为eq\f(4,9)，则5点或6点至少出现一个的概率是________．答案eq\f(5,9)解析记“既不出现5点也不出现6点”的事件为A，则P(A)＝eq\f(4,9)，“5点或6点至少出现一个”的事件为B.因为A∩B＝∅，A＋B为必然事件，所以A与B是对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9).故5点或6点至少出现一个的概率为eq\f(5,9).三、解答题12．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是eq\f(1,3)，取到黑球或黄球的概率是eq\f(5,12)，取到黄球或绿球的概率是eq\f(5,12).试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．解从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D显然是两两互斥的．由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA＝\f(1,3)，PB＋C＝\f(5,12)，PC＋D＝\f(5,12)，PA＋B＋C＋D＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PB＋PC＝\f(5,12)，PC＋PD＝\f(5,12)，\f(1,3)＋PB＋PC＋PD＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PB＝\f(1,4)，PC＝\f(1,6)，PD＝\f(1,4)，))故取到黑球的概率是eq\f(1,4)，取到黄球的概率是eq\f(1,6)，取到绿球的概率是eq\f(1,4).13．黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示．血型ABABO该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人互相可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，则：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解(1)对任一个人，其血型为A，B，AB，O的事件分别为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知得P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.由于B，O型血可以输给B型血的人，因此“可以输血给B型血的人”为事件B′＋D′，根据互斥事件的概率加法公式，得：P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，因此“不能输血给B型血的人”为事件A′＋C′，所以P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.[学习目标]1.初步体会模拟方法在概率方面的应用.2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题.3.了解古典概型与几何概型的区别与联系．知识点一几何概型的含义1．几何概型的定义向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝eq\f(G1的面积,G的面积)，则称这种模型为几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．思考几何概型与古典概型有何区别？答几何概型与古典概型的异同点异同类型古典概型几何概型不同点(基本事件的个数)一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有有限个一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个相同点(基本事件发生的等可能性)每一个试验结果(即基本事件)发生的可能性大小相等知识点二几何概型的概率公式P(A)＝eq\f(构成事件A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积).思考计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？答首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量．题型一与长度有关的几何概型例1取一根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？解如图，记“剪得两段的长都不小于1m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生，因为中间一段的长度为1m，所以事件A发生的概率为P(A)＝eq\f(1,3).反思与感悟在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找区域d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．跟踪训练1平面上画了一组彼此平行且相距2a的平行线．把一枚半径r＜a的硬币任意投掷在平行线之间，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．解设“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A.如图，在两条相邻平行线间画出与平行线间距为r的两条平行虚线，则当硬币中心落在两条虚线间时，与平行线不相碰．故P(A)＝eq\f(虚线间距离,平行线间距离)＝eq\f(2a－2r,2a)＝eq\f(a－r,a).题型二与面积有关的几何概型例2如图，射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解记“射中黄心”为事件B.因为中靶点随机地落在面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×π×1222))cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×π×12.22))cm2的黄心内时，事件B发生，所以事件B发生的概率P(B)＝eq\f(\f(1,4)×π×12.22,\f(1,4)×π×1222)＝0.01.反思与感悟解此类几何概型问题的关键：(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．跟踪训练2一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率．解如图所示，区域Ω是长30m、宽20m的长方形．图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m2)．所以P(A)＝eq\f(184,600)＝eq\f(23,75)≈0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率约为0.31.题型三与体积有关的几何概型例3已知正三棱锥S－ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于eq\f(h,2)的概率．解如图，分别在SA，SB，SC上取点A1，B1，C1，使A1，B1，C1分别为SA，SB，SC的中点，则当点M位于平面ABC和平面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小于eq\f(h,2).设△ABC的面积为S，由△ABC∽△A1B1C1，且相似比为2，得△A1B1C1的面积为eq\f(S,4).由题意，知区域D(三棱锥S－ABC)的体积为eq\f(1,3)Sh，区域d(三棱台ABC－A1B1C1)的体积为eq\f(1,3)Sh－eq\f(1,3)·eq\f(S,4)·eq\f(h,2)＝eq\f(1,3)Sh·eq\f(7,8).所以点M到底面的距离小于eq\f(h,2)的概率P＝eq\f(7,8).反思与感悟如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A所占的区域体积．其概率的计算公式为P(A)＝eq\f(构成事件A的区域体积,试验的全部结果构成的区域体积).跟踪训练3一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．解依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P＝eq\f(13,33)＝eq\f(1,27).题型四与角度有关的几何概型例4如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率．解以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关，符合几何概型的条件．于是，记事件B＝{射线OA落在∠xOT内}．因为∠xOT＝60°，所以P(B)＝eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).反思与感悟当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．跟踪训练4如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AM＜AC的概率．解因为CM是∠ACB内部的任意一条射线，而总的基本事件是∠ACB的大小，即为90°，所以作AC′＝AC，且∠ACC′＝eq\f(180°－45°,2)＝67.5°.如图，当CM在∠ACC′内部的任意一个位置时，皆有AM＜AC′＝AC，即P(AM＜AC)＝eq\f(67.5°,90°)＝eq\f(3,4).转化与化归思想例5把长度为a的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率．分析将长度为a的木棒任意折成三段，要能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”这个条件，进而求解即可．解设将长度为a的木棒任意折成三段的长分别为x，y，a－x－y，则(x，y)满足的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤a，,0≤y≤a，,0≤x＋y≤a，))它所构成的区域为图中的△AOB.设事件M＝{能构成一个三角形}，则当(x，y)满足下列条件时，事件M发生．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＞a－x－y，,x＋a－x－y＞y，,y＋a－x－y＞x，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＞\f(a,2)，,y＜\f(a,2)，,x＜\f(a,2)，))它所构成的区域为图中的阴影部分，故P(M)＝