广东省潮州市2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试卷【含答案解析】

潮州市2024—2025学年度第二学期期末高一级教学质量检测卷数学一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.）1.已知i是虚数单位，在复平面内，复数，则对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法计算出复数值，然后根据定义判断.【详解】，对应复平面的点是，在第二象限.故选：B2.某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是（）第一组第二组第三组合计投篮次数100200300600命中的次数66126183375命中的频率0.660630.610.625A.0.61 B.0.63 C.0.625 D.0.66【答案】C【解析】【分析】根据频率和概率的关系即可判断.【详解】由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大，所以合计列对应的频率最为合适.故选：C.3.在中，已知，，则的外接圆直径为（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理可直接求出外接圆直径.【详解】因为，根据正弦定理得，其中为三角形外接圆半径.所以三角形外接圆直径.故选：A.4.平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，，则实数（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可知，列出方程求解即可.【详解】因为，，，所以，因为，所以，解得，故选：A5.已知圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为5，则圆台的侧面积为（）A.π B.16π C.17π D.25π【答案】D【解析】【分析】假设圆台的上底面半径，则下底面半径和高可知，在圆台的轴截面中计算即可求出上底面半径，再利用圆台的侧面积公式求解即可.【详解】设圆台上底面半径为，则下底面半径为，高为．母线长为5，在如图所示的圆台轴截面中，过点作于点，所以有，有，解得．所以圆台的侧面积．故选：D6.已知，，向量在上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根据投影向量的公式求解.【详解】由题意，在上的投影向量的坐标为.故选：C7.如图，是用“斜二测画法”画出的直观图，，，，则的周长是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合图形作出，求其各边长，即得周长.【详解】作出，如下图所示：由题意可知因为，，，所以，故，，，由勾股定理可得，故的周长为.故选：D.8.在中，已知，，，点M为上的点，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标示，求出相应的坐标，利用坐标运算求数量积即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，过点作点，，，，，，，，，，，故选：B二、多选题（本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为日均值在以下，空气质量为一级；在，空气质量为二级；超过为超标.如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：），则下列说法正确的是（）A.这10天的日均值逐日增大B.这10天中日均值的平均值是48.8C.从日均值看，前5天的日均值的标准差小于后5天的日均值的标准差D.这10天日均值超标的有3天【答案】BC【解析】【分析】由图可判断A；根据平均数计算公式可判断B；分别求出前5天的日均值的标准差及后5天的日均值的标准差可判断C；结合图中数据可判断D.【详解】对于A，由图可知这10天的日均值有增有减，故A错误；对于B，这10天中日均值的平均值，故B正确；对于C，前5天平均值为，后5天平均值为，所以前5天的日均值的方差，后5天日均值的方差因为，所以前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差，故前5天的日均值的标准差小于后5天的日均值的标准差，故C正确；对于D，由图可知12月6、7这两天的大于，故D错误.故选：BC．10.如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是（）A. B.C.平面平面 D.平面平面【答案】BCD【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理、线面垂直的性质和判定定理对选项逐一判断即可.【详解】对于选项A：假设，因为平面，所以平面，又平面，所以，而平面平面，所以，在中，，不能同时成立，所以A错误；对于选项B：因为平面平面，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以，选项B正确；对于选项C：因为平面平面，所以平面平面，所以C正确；对于选项D：由选项B可知平面，因为平面，所以平面平面，所以D正确.故选：BCD.11.口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“第一次取出的是红球”，“取出的两球同色”，“取出的两球不同色”，下列判断中正确的是（）A. B.B与C互为对立事件C.A与B互斥 D.A与C相互独立【答案】ABD【解析】【分析】根据对立事件、互斥事件、相互独立事件的知识对选项进行分析，从而确定正确答案．【详解】记红球为1,2，白球为3,4，不放回依次取出两个，则样本空间，共12种，事件，共6种；事件，共4种事件，共8种；A选项，，故A正确；B选项，因为，所以与互为对立事件，故B正确；C选项，因为，所以与不是互斥事件，故C错误；D选项，因事件，共4种，所以，因为，由A可知，因为所以与相互独立，所以D选项正确．故选：ABD三、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）12.已知是虚数单位，复数z满足，请写出一个满足条件的复数______【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】设，根据模长公式找出关系，然后写出一组解即可.【详解】设，，即，于是，取显然符合题意，即符合题意.故答案为：（答案不唯一）13.假设事件与相互独立，且，，则______【答案】##【解析】【分析】根据独立性求出，然后由概率的运算性质求解即可.【详解】由题知，若事件与相互独立，则，于是.故答案为：14.如图，二面角的大小是30°，线段，，与所成的角为60°，则与平面所成的角的正弦值是______．【答案】【解析】【分析】过作于，过作于，连接，则为与平面所成的角，可证得为二面角的平面角，则，设，则，可求出的值，然后在直角三角形中可求得答案【详解】解：过作于，过作于，连接，则为与平面所成的角，因为，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，则，设，则，因为，所以，所以,所以与平面所成的角的正弦值为故答案为：四、解答题：（本大题共5小题，满分44分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知，，.（1）求与的夹角θ；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量数量积公式求解；（2）将待求表达式平方，结合题设条件计算.【小问1详解】由题知，，则，又向量夹角，则.【小问2详解】，则16.如图，棱长为2的正方体中，E是的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接交于，连接，即可得到，根据线面平行判断定理从而得证；（2）根据正方体的性质及计算可得.【小问1详解】连接交于，连接，在正方体中，为的中点，且为中点，所以是的中位线，即，又平面，平面，所以平面；【小问2详解】正方体中，平面，所以；17.为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的100名学生，将他们的身高数据（单位：）按、，，，分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图（1）求a值，并估计这100名学生身高的第45百分位数；（2）在上述样本中，用分层抽样的方法从身高在的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人身高都不低于的概率.【答案】（1），165（2）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求解即可；（2）先确定与抽取的人数并分别标记，再结合古典概型的概率公式求解即可【小问1详解】，1-5组的频率分别为，前2组的频率之和为，前3组的频率之和为，所以第45百分位数落在，设为，则，解得，所以这100名学生身高的第45百分位数为165；【小问2详解】身高在的学生有人，身高在的学生有人，故身高在的学生共有50人，用分层抽样的方法从身高在的学生中抽取名，记为，从身高在的学生中抽取名，记为．从这5名学生中随机选取2名学生的所有结果为，共10种，记A=“这2人身高都不低于160cm”，则A包含的结果有：，共3种，故所求概率．18.如图，四点在同一个圆上，，，为钝角，且.（1）求；（2）记为α，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先解，用余弦定理求出，由圆内接四边形性质可得，从而得到，然后在中由余弦定理求；（2）在中由余弦定理，求出，然后由两角和的正弦公式求解.【小问1详解】为钝角，，则，在中，由余弦定理，，则，圆内接四边形对角互补，于是，又，则，由题知为钝角，则是锐角，于是，在中，由余弦定理，，即，解得（负值舍去）【小问2详解】由（1）知，，由余弦定理，，显然，，则，19.为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，每题甲、乙两人恰有一人答对的概