第4章 三角恒等变换 习题课 三角恒等变换的综合应用 北师大版高中数学必修第二册课件

第四章习题课三角恒等变换的综合应用基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标课程标准1.熟记常用的三角恒等变换公式.2.能利用三角恒等变换公式进行求值、化简或证明.3.能利用三角恒等变换公式对复杂函数加以转化,进而研究函数的性质.基础落实·必备知识一遍过知识点一

两角的和与差的正弦、余弦、正切公式1.cos(α±β)=

.

2.sin(α±β)=

.

3.tan(α±β)=

.

cosαcosβ∓sinαsinβsinαcosβ±cosαsinβ思考辨析三角恒等变换的核心是什么?提示

角的变换是三角变换的核心.自主诊断知识点二

二倍角公式1.sin2α=

.

2.cos2α=

=

=1-2sin2α.

3.tan2α=

.

名师点睛在正切的和差及倍角公式中,一定要注意角的范围,正切无意义的角是不能套用公式的.2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-1自主诊断A2.已知tanα=,则sin2α

的值为(

)B知识点三

半角公式

名师点睛在半角公式中,公式中的“正负号”由半角所在象限来确定,当不能确定时,要保留“正负号”.自主诊断1.cos(-15°)的值为(

)CD知识点四

有关公式的逆用及变形1.tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ).3.三角函数的叠加公式asinx+bcosx=

.

名师点睛上述三角函数的叠加公式中的φ满足tan

φ=,φ所在象限由a,b的符号确定,且满足条件的φ有无数个.自主诊断C2.下列函数中,最小正周期为π的奇函数是(

)C.y=sin2x+cos2x D.y=sinx+cosxBA重难探究·能力素养速提升探究点一三角函数求值【例1】

(1)已知tanα=2,则sin2α的值是(

)B规律方法

三角函数求值的主要类型1.“给角求值”,一般给出的角都是非特殊角,从表面看较难,但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系,如和或差为特殊角,当然还有可能需要运用诱导公式.2.“给值求值”,即给出某些角的三角函数的值,求另外一些三角函数的值.这类求值问题的关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围.3.“给值求角”,本质上还是“给值求值”,只不过往往求出的是特殊角的值,在求出角之前还需结合函数的单调性确定角,必要时还要讨论角的范围.变式训练1(1)已知tanα=-2,tan(α+β)=,则tanβ的值为

.

3探究点二三角函数的化简规律方法

三角函数化简的原则、目标及技巧(1)三角函数式化简的基本原则①切化弦.②异名化同名.③异角化同角.④高次降幂.⑤分式通分.⑥无理化有理.⑦常数的处理(特别注意“1”的代换).(2)三角函数式化简的目标①次数尽可能低.②角尽可能少.③三角函数名称尽可能统一.④项数尽可能少.(3)三角函数式化简的基本技巧①sin

α,cos

α→凑倍角公式.②1±cos

α→升幂公式.变式训练2化简:探究点三三角函数的证明规律方法

关于三角恒等式的证明,常用的方法有:(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般由繁到简;(2)左右归一法,即证明左、右两边都等于同一个式子;(3)化异为同法,针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除其差异;(4)比较法,设法证明“左边-右边=0”或“左边∶右边=1”.探究点四三角恒等变换在解决三角函数性质中的运用(3)将函数y=f(x)的图象向右平移

个单位长度后,再将得到的图象上各点的纵坐标向下平移5个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的表达式并判断奇偶性.规律方法

与三角恒等变换有关的综合问题一般有以下两种情形:(1)以三角恒等变换为主要的化简手段,考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂时,我们要先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简,将函数表达式变形为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k等形式,然后再根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.(2)以向量运算为载体,考查三角恒等变换.这类问题往往利用向量的知识和公式,通过向量的运算,将向量条件转化为三角条件,然后通过三角变换解决问题;有时还从三角与向量的关联点处设置问题,把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查.本节要点归纳1.知识清单:(1)三角变换公式及其内在关系;(2)三角恒等变换的综合问题;(3)三角函数在实际问题中的应用.2.方法归纳:转化与化归.3.常见误区:(1)公式中的符号和系数;(2)实际问题中的定义域.学以致用·随堂检测促达标1234B12342.已知函数f(x)=sinx-cosx,x∈R,则此函数f(x)的最大值为

.

12343.若cos(75°+α)=,则sin(60°+2α)