结构力学（上册）课件 第2章 平面体系的几何组成分析

1第二章平面体系的机动分析2第二章平面体系的机动分析2-1概述

2-2平面体系的计算自由度

2-3几何不变体系的简单组成规则

2-4机动分析示例

2-5三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况

2-6几何构造与静定性的关系32-1概述

要点：1．掌握几何不变体系、几何可变体系、自由度、约束和刚片的概念。2．掌握无多余约束的几何不变体系的几何组成规则。3．静定结构的识别有赖于机动分析，静定结构的几何构造特征是几何不变且无多余联系。4．根据几何组成分析，确定静定结构的计算途径和确定超静定结构的超静定次数。4几何不变体系

(不考虑材料应变的条件下)体系的位置和形状是不能改变的。例如几何不变体系5几何可变体系

(不考虑材料应变的条件下)体系的位置和形状是可以改变的。例如：几何可变体系6几何可变体系7刚片

在机动分析中,由于不考虑材料变形,因此可以把一根杆件或已知是几何不变的部分看作是一个刚体,在平面体系中又将刚体称为刚片。82-2

平面体系的计算自由度自由度：指物体运动时可独立变化的几何参数的数目，也就是说确定物体位置所需的独立坐标数目。例：一个点在平面内自由运动时，其位置需用两个坐标X、Y来确定。在平面内一个点自由度等于29在平面内两个点自由度等于4在平面内三个点自由度等于6由此可知,设平面内有j

个点，则总的自由度为（记为W）：

W=2j10在平面内两个点自由度等于4约束：减少自由度的装置。也称为联系或约束。加入一根链杆后自由度等于3,减少了一个自由度

一根链杆减少了一个自由度=一个联系（约束）

约束11完全铰接体系自由度计算式：设：结点数为j，杆件数为b，支座数为r计算自由度

=自由度总数－

加入的约束总数W=2j－b－r

（2-1）12例1结点数：j=6，杆件数：b=9支座链杆数：r=3W=2j－b－r=2×6－9－3=0

完全铰接体系13

一个刚片在平面内自由运动时，其位置需用三个坐标X、Y、θ来确定。

在平面内一个刚片自由度等于3xyθ由此可知,设平面内有m个刚片，则总的自由度为（记为W）：

W=3m14

在平面内两个刚片自由度等于6加入一个单铰后自由度等于4一个单铰减少了两个自由度=两个联系（约束）

单铰：联结两个刚片的铰称为单铰。15

在平面内三个刚片自由度等于9加入一个复铰后自由度等于5，减少了4个自由度联结三个刚片的复铰减少了4个自由度=两个单铰

复铰：联结两个以上刚片的铰称为复铰。联结

n个刚片的复铰=(n-1)个单铰的作用

16平面一般体系的计算自由度式：设：刚片数为m，单铰数为h，支座数为r计算自由度

=自由度总数-加入的约束总数W=3m－2h－r(2-2)17例2

体系的刚片数：m=8

单铰数共为：h=10

总的支座链杆数：r=4W=3m－2h－r=3×8－2×10－4=0

18任何平面体系的计算自由度，按式（2-1）或（2-2）计算的结果，将有以下三种情况：（1）W＞0，表明体系缺少足够的联系，因此是几何可变的。（2）W=0，表明体系具有成为几何不变所必需的最少联系数目。（3）W＜0，表明体系具有多余联系。19一个几何不变体系必须满足：

w≤0必须指出，一个体系满足了w≤0（或只就体系本身w≤3）的条件，不一定就是几何不变的。因为尽管体系总的联系数目足够甚至还有多余，但若布置不当，则仍可能是几何可变的。20例3结点数：j=6，杆件数：b=9支座链杆数：r=3W=2j－b－r=2×6－9－3=0

几何可变改变为：几何不变21实际上每个联系不一定都能使体系减少一个自由度，因为这还与联系的具体布置情况有关。因此，w不一定能反映体系真实的自由度。虽然如此，在分析体系是否几何不变时，还是可以根据w首先判断联系的数目是否足够。为此，把w称为体系的计算自由度222-3几何不变体系的简单

组成规则几何不变体系的简单组成规则：

1．三刚片规则

2．两刚片规则

3．二元体规则规则的实质：铰接三角形的变化应用“规则”进行几何构造分析23一.三刚片规则三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两铰联，组成的体系是几何不变的。

ⅠⅡⅢABCA、B、C三个单铰不在同一直线上。ⅠⅡⅢABC几何不变体系24三刚片规则

一个单铰相当于两根链杆的作用，因而可用两根链杆来代替一个单铰的作用。

ⅠⅡⅢABC虚饺（瞬铰）A、B、C三个单铰不在同一直线上。25虚饺（瞬铰）

联结两个刚片的两根链杆的作用相当于在其交点处的一个单铰，不过这个铰的位置是随着链杆的转动而改变的，这种铰称为虚铰。虚饺（瞬铰）26虚铰虚饺（瞬铰）

虚铰的位置是随着链杆的转动而改变。27瞬变体系

假设刚片Ⅲ不动，刚片Ⅰ、Ⅱ分别绕铰A、B转动时，在C点处两圆弧有一公切线，故此瞬时铰C可沿此公切线方向移动，因而是几何可变的。A、B、C三个单铰在同一直线上的情况。

经过了微小运动后又变成几何不变的体系,称为瞬变体系。28瞬变体系的受力情况：PθC’PN2N1由平衡方程∑Fy=0，由于对称，N1=N2=N

由于经过了微小移动后又变成几何不变的体系，因而θ很小，则θ→0，N→∞

瞬变体系即使在很小的外力作用下也将产生很大的内力，因而瞬变体系不能用来作结构。29二.二元体规则二元体：两根不在一直线上的链杆，连接一个新结点的构造称为二元体。两根不在一直线上的链杆新结点30二元体规则

在一个刚片上增加或减少一个二元体，仍为几何不变体系。二元体规则：在一个体系上增加或拆除二元体，不改变原体系的几何构造性质。Ⅰ二元体31二元体规则二元体规则的实质是铰结三角形的变化。ⅠⅡⅢAB32二元体规则A用二元体规则分析完全铰结体系非常方便。BCDE反之，在一个体系上拆除二元体，不改变原体系的几何构造性质。33二．两刚片规则两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联，为几何不变体系；或者两个刚片用三根不全平行也不交于同一点的链杆相联，为几何不变体系。

ⅠⅡⅠⅡ34两刚片规则链杆的延长线通过了此铰的情况；ⅠⅡA

三铰共线——瞬变体系35两刚片规则两个刚片用三根平行的链杆相联的情况：（1）等长平行ⅠⅡ常变体系（2）不等长平行Ⅰ瞬变体系Ⅱ36两刚片规则两个刚片用三根交于一点的链杆相联的情况：（1）三杆实交于一点ⅠⅡ常变体系（2）三杆虚交于一点ⅠⅡ瞬变体系虚饺372-4机动分析示例ⅠⅡ(Ⅰ、Ⅱ)Ⅲ()

ⅢⅣ()Ⅳ重复使用两刚片规则判别，均满足两刚片规则，几何不变体系。例1分析时应注意刚片的逐步扩展。用二元体规则分析逐次拆除二元体，满足二元体规则，几何不变体系.分析时应注意使用最简单的方法分析。38机动分析示例2ⅠⅡⅢABC

A、B、C三个单铰不在同一直线上。满足三刚片规则，几何不变体系。

分析时可利用等价、代换关系。39机动分析示例3体系与地基之间仅有三个联系，可只分析体系内部。体系与地基之间多余三个联系，是否将三个联系去掉，只分析体系内部？？？几何不变体系ⅠⅡⅢA∞∞几何不变体系40机动分析示例4ⅠⅡ缺少一个联系Ⅲ∞A多了一个联系几何可变体系多余联系分析时应注意是否存在多余联系。41机动分析示例5ⅠⅡ满足两刚片规则，几何不变体系42机动分析示例6ⅠⅡA满足两刚片规则，几何不变体系43机动分析示例7ⅠⅡⅢ???ABⅡAB∞三铰共线，几何可变体系（瞬变体系）44机动分析示例8ⅠⅡⅢABC

A、B、C三个单铰不在同一直线上。满足三刚片规则，几何不变体系。45机动分析示例9ⅠⅡ满足两刚片规则，几何不变体系46机动分析示例10ⅠⅡA链杆1、2、3均交于A点，几何可变体系（瞬变体系）。123472-5

三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况：（1）有一对平行链杆（有一个虚铰在无穷远处）：ⅠⅡⅢABC虚饺（瞬铰）∞结论：另外两个铰的连线与这对平行链杆平行,三铰共线——几何可变（瞬变体系）；另外两个铰的连线与这对平行链杆不平行——几何不变。48示例1ⅠⅡⅢ∞另外两个铰的连线A、B与这对平行链杆平行,三铰共线——几何可变（瞬变体系）。AB49（2）有两对平行链杆（有两个虚铰在无穷远处）：ⅠⅡⅢA虚饺∞∞虚饺结论：这两对平行链杆互相平行——几何可变；这两对平行链杆互不平行——几何不变。50示例2ⅠⅡⅢA∞∞这两对平行链杆互不平行——几何不变。51（3）有三对平行链杆（有三个虚铰在无穷远处）：ⅠⅡⅢ虚饺∞∞虚饺∞虚饺结论：几何可变52示例3ⅠⅡⅢ∞∞∞三对平行链杆相连（有三个虚铰在无穷远处），几何可变。532-6几何构造与静定性的关系机动分析的作用：

(1)判定体系是否几何不变

(2)说明体系是否静定按几何构造性质的不同，体系可分为：几何可变体系几何不变体系54

几何可变体系：常变体系瞬变体系几何不变体系：

无多余联系有多余联系55一.无多余联系的几何不变体系是静定结构

体系的三个支座反力和任意截面的内力可由三个平衡方程来确定，而且解答是唯一的。

静力平衡方程的个数=未知约束力的个数无多余联系的几何不变体系

当荷载为零时，体系的反力和任意截面的内力也为零。PVAHAVB56二.有多余联系的几何不变体系是超静定结构

静力平衡方程的个数＜未知约束力的个数HAVAVBVC有多余联系的几何不变体系

体系的四个支座反力和任意截面的内力单靠三个平衡方程不能完全确定的。对应于每种已知荷