内蒙古自治区2025年中考数学真题试卷附同步解析

内蒙古自治区2025年中考数学真题试卷一、单选题1．我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利元记作元，则亏损元应记作（）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】B【解析】【解答】解：∵盈利元记作元

∴亏损元记作-200元。故答案为：B.【分析】根据正负数的意义，可以用正负数表示具有相反意义的量，即可得出答案。2．下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称图形的为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：A、图案不是中心对称图形，所以A不符合题意；

B、图案是中心对称图形，所以B符合题意；

C、图案不是中心对称图形，所以C不符合题意；

D、图案不是中心对称图形，所以A不符合题意；

​​​​故答案为：B.

【分析】根据一个图形旋转180°后，与图形本身重合，这样的图形是中心对称图形，分别进行判断，即可得出答案。3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】解：不等式组，

解不等式①，得：x≥1，

解不等式②，得：x＜3，

∴不等式组的解集为：1≤x＜3，

在数轴轴上表示为：

故答案为：C.

【分析】首先解不等式组求出不等式组的解集为1≤x＜3，并在数轴上表示解集，即可得出答案。4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：如图，分别过点A和点A'作AC和A'C'分别与x轴垂直，

∴AC∥A'C'，

∴

∴

∵与的相似比为，

∴，

∴

∵，

∴OC=2，AC=1，

∴OC'=4，A'C'=2，

∴A'的坐标为：（-4，-2）。

故答案为：B.

【分析】如图，分别过点A和点A'作AC和A'C'分别与x轴垂直，得出，然后根据相似三角形的性质，即可得出OC'=4，A'C'=2，再根据点A'所在的象限，即可得出点A'的坐标。5．如图，是一个矩形草坪，对角线，相交于点，是边的中点，连接，且，，则该草坪的面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形是一个矩形，

∴点O是AC的中点，

∵是边的中点，

∴OH是的中位线，

∴AB=2OH=40m，

∴该草坪的面积为：AD×AB=30×40=1200（m2）故答案为：C.【分析】首先根据举行的性质得出点O是AC的中点，然后根据三角形中位线定理得出AB=2OH=40m，进一步即可得出草坪的面积。6．如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】解：由作图过程可知：EG平分∠AEF，∠AEF=80°，

∴∠AEG=40°，

∵AB∥CD，

∴∠EGF=∠AEG=40°.故答案为：D.

【分析】根据题意可知EG平分∠AEF，从而得出∠AEG=40°，再根据平行线的性质可得出GEF=∠AEG=40°.7．在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：设I=KU，

∵图象经过点（5，4），

∴4=5K，

∴K=，

∴I=U，

把U=15代入I=U中：I=×15=12故答案为：A.

【分析】首先根据待定系数法求出I=U，然后再把U=15代入I=U中，即可求得答案。8．已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（）A． B．C．当时， D．当时，【答案】D【解析】【解答】解：当m＜0，且m+1＜0时，即m＜-1时，，所以D正确

故答案为：D.

【分析】根据反比例函数的性质：当K＜0时，图像的两个分支分局在二，四象限，且在每个象限内，Y随X的增大而增大，即可得出答案。二、填空题9．在单词（班级）中随机选择一个字母，则选中字母“”的概率是．【答案】【解析】【解答】解：总共5个字母，选中S的机会有2个，

所有选中字母“”的概率是故答案为：.

【分析】根据概率计算公式，即可得出答案。10．冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为．【答案】【解析】【解答】解：根据题意，得：5m+3n。故答案为：5m+3n.

【分析】根据大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，则穿根大串需要5m个糖葫芦，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则根小串冰糖葫芦需要3n个糖葫芦，进而得出答案。11．如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为（结果保留根号）．【答案】【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，CD=90m，

在Rt中：∠CBD=30°，∠BDC=90°，

∴BC=2CD=180m，

∴BD=，

在Rt中：∠ADC=90°，∠ACD=30°，

∴AD=CD×tan30°=90×=30，

∴AB=AD+BD=30+90=120.

故答案为：120.

【分析】过点C作CD⊥AB于点D，构成两个直角三角形Rt和Rt，然后分别解直角三角形可求得AD和BD的长度，进一步相加即可得出答案。12．如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为．【答案】【解析】【解答】解：连接AC，交BD于点O，过点E作EH∥AC交BD于点H，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BO=DO=，​​​​​​AC⊥BD，

在Rt中：AO=，

∵是的中点，EH∥AC，

∴EH=，OH=，

∵BF=3，

∴FO=BO-BF=8-3=5，

∴FH=5+4=9，

∴故答案为：.

【分析】连接AC，交BD于点O，过点E作EH∥AC交BD于点H，首先根据菱形的对角线互相垂直平分，可得出BO=DO=，​​​​​​AC⊥BD，然后根据勾股定理求得AO的长度，进一步根据三角形中位线定理，可求得EH的长度，再结合题中已知条件求得FH的长，最后根据勾股定理求得EF的长度。三、解答题13．计算：（1）；（2）．【答案】（1）解：；（2）解：．【解析】【分析】（1）首先根据有理数的绝对值的性质，算术平方根去掉绝对值符号和根号，然后再进行有理数的加减乘除运算，即可得出结果；

（2）首先把分式的分子和分母中的多项式进行化简，然后再进行分式的乘法运算，进行乘法运算时，可先进行约分。14．每年的6月6日是全国爱眼日，某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表：分组ABCDE人数（频数）2814124请根据所给信息，解答下列问题：（1）这40名学生视力的中位数落在哪个组内?（2）该校八年级共有500名学生．①根据上表数据，请估计这500名八年级学生的视力在范围内的人数；②从去年同期这500名学生的体检结果中可知，视力在范围内的人数为263人．如果你是该校的一名学生，请说明这500名学生今年和去年视力在范围内的人数变化情况，并为学校提一条保护学生视力的合理化建议．【答案】（1）解：∵随机抽取了40名学生，∴中位数为第名学生的视力的平均数，由频数分布表可得第名学生在组，∴这40名学生视力的中位数落在组；（2）解：①由题意得，（人）答：500名八年级学生的视力在范围内有200人；②因为，所以今年学生视力在范围内的人数相比去年减少，建议：①读书时，坐姿要端正，不要在光线不好的地方看书；②保证充足的睡眠，饮食均衡；③减少电子产品的使用．【解析】【分析】（1）根据中位数的定义进行分析，可得出中位数为第名学生的视力的平均数，再根据频数分布表即可得出第名学生在组；

（2）①首先根据样本求出视力在范围内的人数占样本容量40的百分比，然后用样本去估计总体，从而得出500名八年级学生的视力在范围内的人数；②根据①的结果与去年数据进行比较，即可得出答案，今年学生视力在范围内的人数相比去年减少，并提出合理建议即可。15．智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个．（1）求的值；（2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个?【答案】（1）解：由题意得，，解得：，经检验：是原方程的解，且符合题意，∴的值为8（2）解：1小时，设需要个这样的机器人，由题意得：，解得：，∵为正整数，∴最小值为6，答：至少需要6个这样的机器人．【解析】【分析】（1）根据该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个，可列出分式方程，解方程并进行检验，即可得出答案；

（2）设需要个这样的机器人，并把1小时转化成，根据采摘的苹果个数不少于10000个，可列出不等式，解不等式并取其最小整数解即可得出答案。16．如图，是的直径，半径，垂足为，，是延长线上一点，连接，交于点，连接，．过点作的切线，切点为，交的延长线于点．（1）求的长；（2）求的度数；（3）求的值．【答案】（1）解：如图，连接，在中，，又∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴的长（2）解：∵，∴，∴，∵在中，，∴（3）解：如图，连接，∵，，∴，∴，∵是的切线，∴，，∴，∵，∴，∴，∴【解析】【分析】（1）如图，连接，可得出是等边三角形，从而得出∠COD=60°，又知道半径OC=2，然后根据弧长计算公式即可得出的长；

（2）首先求出∠AOD=∠AOC-∠COD=30°，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出的度数；

（3）首先在Rt中，根据，可得出，然后根据同角的余角相等可得出，进而根据余弦的定义求出∠POE的余弦，进而得出∠OFP的余弦即可。17．问题背景：综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．

外形参数：如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上．

问题解决：如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：（1）直接写出，，三点的坐标；（2）直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式；（3）为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长．【答案】（1）解：，，（2）解：抛物线和的顶点坐标分别为，，的表达式为；的表达式为；（3）解：∵装置整体图案为轴对称图形，∴，，∵轴，∴轴，∵是矩形，∴，∴轴，∴，设，∴，，∴，解得：或（在对称轴右侧，舍），∴，由抛物线对称性可得．【解析】【解答】（1）解：∵矩形的边，，∴，，，，∴，，；（2）解：∵装置整体图案为轴对称图形，如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，∴四边形是矩形，∴，∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，∴，，∴抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，将代入，解得，则抛物线的表达式为；将代入，解得；则抛物线的表达式为；

【分析】（1）根据矩形的性质，以及点的坐标的定义即可得出，，；

（2）如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，根据矩形和抛物线的对称性，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，然后根据顶点式，利用待定系数法，即可求得抛物线和抛物线的表达式；

（3）首先证得四边形是矩形，从而得出，设=n，进而根据L1和L2的函数关系式表示出yE和yH，然后根据边的长为，即可得出关于n的方程，解方程求得n的值（舍去不合题意的值），即xE的值，进而求得EF的长度即可。18．如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，．（1）如图1，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点．①试猜想与的数量关系，并说明理由；②求的面积；（2）如图2，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长．【答案】（1）解：①由翻折得，，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，，又∵，∴，∴；②由，∴，如图，过点作于点，过点作于点，