重组卷05-冲刺2023年高考数学真题重组卷（解析版）

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冲刺2023年高考数学真题重组卷05

新高考地区专用（解析版）

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小即答案后，用铅笔把答题卡对应题H的答案标号涂黑。如需改动，川橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.（2022年高考北京卷）已知集合人={川-1<4<1},^={x|0<x<2},则（）

A.{x|-l<x<2}B.{x|-l<x<2）

C.{x|0<x<l}D.{x|0<x<2}

B【解析】结合题意利用并集的定义计算即可.

【详解】由题意可得：AJI3={x\-]<x<2}.

故选：B.

2.（2022年高考全国I卷）若i（"z）=l,则z+5=（）

A.-2B.-1C.1D.2

D【解析】利用复数的除法可求z,从而可求z+彳.

【详解】由题设有1—z=：=/=—i,故z=l+i,故z+5=（l+i）+（l-i）=2,

故选：D

3.（2022年高考全国I卷）在‘ABC中，点。在边AB上，BD=2DA.记C4=〃?,CO=〃，则CB=（）

A.3rn-2nB.-2〃?+3〃C.3m+2nD.2/〃+3〃

B【解析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点。在边48上，ED=2DA，所以8O=2OA，CD-CB=2（CA-CD）,

所以C8=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3〃.

故选：B.

4.(2020高考全国新课标n卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，二层中心有一

块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第

一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，

则三层共有扇面形石板(不含天心石)()

A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块

C【解析】第〃环天石心块数为%,第一层共有〃环，则伍”｝是以9为首项，9为公差的等差数列,

设S”为｛4｝的前〃项和，由题意可得§3〃-邑“=51-S,+729,解方程即可得到小进一步得到S1.

【详解】设第〃环天石心块数为凡，第一层共有“环,

则｛q｝是以9为首项，9为公差的等差数列，%=9+(〃-l)x9=9〃,

设S”为｛4｝的前〃项和，则第一层、第二层、第三层的块数分

别为S“，S2”-S”,S3“-S2”,因为下层比中层多729块,

所以S"_S2“=S2”-S〃+729,

3〃(9+27n)2n(9+18/7)2〃(9+18〃)〃(9+9〃)

即―=---------------+/ZV

2222

即9/=729，解得〃=9,

所以%=527=27(9^x27)=3402

故选：C

【点晴】本题主要考查等差数列前〃项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.

5.(2020年高考全国n卷)要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里

至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有()

A.2种B.3种C.6种D.8种

C【解析】首先将•3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.

【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有C；C；=3种分法

第二步，将2组学生安排到2个村，有&=2种安排方法

所以，不同的安排方法共有3x2=6种

故选:C

【点睛】解答本类问题时一•般采取先组后排的策略.

6.（2021年高考天津卷）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为苧，两

个圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（）

A.34B.4乃C.9兀D.12〃

B【解析】作出图形，计算球体的半径，可•计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径,

再利用锥体体积公式可求得结果.

【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点。，

设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3:1，即AD=3BD,

设球的半径为R,则殍普.可得R"所以，田皿如4昨4,

所以，BD=1,AD=3,

CDA.AB,则NC4O+Z4CO=N3CD+ZACO=90,所以，乙CAD=/BCD,

又因为NADC=/BDC.所以，AACDsACBD,

匚...ADCD/厂

所以，7^7=，：CD=YADBD=V3,

C/JrilJ

因此，这两个圆锥的体积之和为|4xC£>2.（AO+8D）=g/rx3x4=4/r.

故选：B.

7.(2021年高考全国乙卷)设A是椭圆C:£+工=1(a>〃>0)的上顶点，若。上的任意一点P都满足

a~b~

\PB\<2bt则。的离心率的取值范围是()

A•母IB.C.(0,图P

C【解析】设"("。'几)，由8("),根据两点间的距离公式表示出\PB\,分类讨论求出闸的最大值，再

构建齐次不等式，解出即可.

【详解】设夕(乙,几)，由8(0力)，因为日+g=1,/=/+/，所以

a~b~

\PB\~=x^+(y-b\=cr1-p-+(%一8)~/

0c

因为"M,当—Q4-。，即廿"时,1-4b2,即俨用3=幼，符合题意，由必之,2可得“2之2c2，

C-IIllklA1

即()<e<—；

2

当£>也即从<°2时，附:「<+/+〃，即与+/+入4/，化简得,显然该不

CCC

等式不成立.

故选：C.

【点睛】小题解题关键是如何求出I尸目的最大值，利用一次函数求指定IX间上的最值，要根据定义域讨论

函数的单调性从而确定最值.

8.12021年高考全国H卷)已知函数/")的定义域为R,〃x+2)为偶函数，/(2x+l)为奇函数，则()

A.小］=()B./(-1)=()C./(2)=0D./(4)=0

B【解析】推导出函数〃力是以4为周期的周期函数，由已知条件得出/0)二°,结合已知条件可得出结论

【详解】因为函数〃x+2)为偶函数,则〃2+刈=为2-x),可得〃X+3)=〃1T),

因为函数/(2x+l)为奇函数，则f(l-2力=-f(2x+l),所以，/(l-x)=-/(x+l),

所以，/(X+3)=_/(X+1)=/(XT),即/(X)=/(X+4),

故函数/(x)是以4为周期的周期函数，

因为函数万(%)=/("+1)为奇函数,则"(0)=/(1)=0,

tt/(-i)=-/(i)=o,其它三个选项未知.

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.(2022年高考全国I卷)已知正方体A5CQ-A8cA,则()

A.直线5G与。A所成的角为90°B.直线8G与C4所成的角为90。

C.直线8G与平面88Ao所成的角为45。D.直线8G与平面4BCD所成的角为45。

ABD

【解析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图，连接用。、BC、,因为。4//8C，所以直线8G与8c所成的角即为直线8£与。片所成的

角，

因为四边形88CC为正方形，则qc_L8G，故直线8G与“所成的角为90。，A正确：

连接A。，因为A片，平面BBC。，BGu平面B8CC，则

因为8C_LBG，BC=B],所以8Gl平面ABC，

又ACu平面所以BG_LCA.故R正确：

连接AG，设AcnqA=。，连接80,

因为3做J_平面ASG。，。。匚平面4修。12，则

因为C0_LgA，所以C0_L平面。。，

所以ZC.BO为直线8G与平面88口。所成的角,

设正方体棱长为1,则“考，—幽=骨裂

所以，直线8G与平面88QQ所成的角为30,故C错误；

因为GCJ•平面ABC。，所以NCfC为直线BG与平面4BC。所成的角，易得/。田。=45,故D正确.

故选：ABD

10.(2020年高考全国H卷)已知“>(),/?>0,且。+8=1,则()

A.a2+b2>-B.22

22

C.log,a+log,/?^-2D.4a+4b<>[1

ABD【解析】根据。+〃=1,结合基本不等式及二次函数知识进行求解.

【详解】对于A,a1+b2=a2+(1-«)2=2a2-2a+\=2(a-->!+->-»

'，[2J22

当且仅当。==g时，等号成立，故A正确；

对于B,a-b=2a-\>-\,所以2"">2一|=；,故B正确；

对干C,log2a+log2b=log2ab<log.

当且仅当。=〃=g时，等号成立，故C不正确；

对干D,因为(6+扬『=1+2而Wl+a+力=2,

所以G+当且仅当。=8=!0寸，等号成立，故D正确；

故选：ABD

【点睹】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，供!重考查数学

运算的核心素养.

11.(2022年必考全国I卷)已知函数/*)=V—x+1,贝IJ()

A.八幻有两个极值点B./⑶有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线)，=.”幻的切线

AC【解析】利用极值点的定义可判断A,结合〃幻的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C利用导

数的几何意义判断D.

【详解】由题，r（M=3f-i,令/刎＞0得x邛或…争

令r（x）＜。得一直＜x〈且，

33

所以/（外在（-co,-%g,+oo）上单调递增，（当年）上单调递减，所以x=士*是极值点，故A正确；

因/（-理）=1+竿＞0，/（曰）=1-竿＞0，/（-2）=-5＜0,

所以，函数人力在,,-理）上有一个零点，

当工邛时，“力”图＞0,即函数小）在*8上无零点，

综上所述，函数/J）有一个零点，故B错误；

令g）=丁_工，该函数的定义域为R,/7（-x）=（-X）5-（-x）=-x3+x=-h（x）,

则加工）是奇函数，（0,0）是〃。）的对称中心,

将力（x）的图象向上移动一个单位得到/（幻的图象，

所以点（0,1）是曲线y=fW的对称中心，故C正确；

令（（力=312_1=2,可得工=±1,又/⑴=/（—1）=1,

当切点为0』）时，切线方程为）'=2x-l,当切点为（-1」）时，切线方程为y=2x+3,故D错误.

故选：AC.

12.（2022年高考全国乙卷）双曲线C的两个焦点为T居，以C的实轴为直径的圆记为。，过耳作。的切

3

cos/FN居=~

线与C交于M,N两点，且-5,则C的离心率为（）

A.在B.-C.巫D.叵

2222

AC【解析】依题意不妨设双曲线焦点在％轴，设过冗作圆。的切线切点为G,利用正弦定理结合三角变换、

双曲线的定义得到处=%或"=力，即可得解，注意就M，N在双支上还是在单支上分类讨论.

【详解】［方法一］:几何法，双曲线定义的应用

M、N在双曲线的同•支,依题意不妨设双曲线焦点在％轴，设过匕作圆。的切线切点为B,

3

所以OBJ.FN，因为cosN£Ng='>0,所以N在双曲线的左支，

|0B|=a,\OF^=c,|FjB|=b,设/耳N^=a,由即cosa=1,则sina=1,

35

|NA|=-«,|NF2|=-^

网一网=2

—(2—[—ci-2b\=2a

212J

2b=a,..e=——

2

选A

情况二

3

若M、N在双曲线的两支，因为cosN£N玛=：>0,所以"在双曲线的右支,

所以|OB|=a,用=c,忖B|=b,设半NF？=a、

334

由COS/£NE=M，HfJcosa=-,则sina二g,

35

|NA|=-fl,|NF2|=-a

|NFj|-|NE|=2^

所以给=3a,即2=

a2

所以双曲线的离心率6=/=，7^=孚

选C

［方法二］:答案回代法

A选项e=@

2

特值双曲线

［->2=］.下卜百⑼同技0卜

过目且与圆相切的•条直线为丫=2卜+石)，

•・•两交点都在左支,中我看冏，

啊|=5,|明|=1,忖引=26,

3

则cosN［N乃=巳，

5

C选项。=巫

2

22

特值双曲线:4=1,•・丹(-713,0),^(713,0).

过目且与圆相切的一条直线为y=|(x+JI5),

两交点在左右两支，N在右支，

啊|=5,|匹卜9,忻引=2后，

3

则cosNEM),

［方法三］:

依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过K作圆。的切线切点为G,

若M,N分别在左右支,

因为OG_LN£,KcosZ^W=j>0,所以N在双曲线的右支,

又因=a,|。制=c,|G£|=6,

设£F\NF?=a,ZF】F\N=。，

在跖叫中,有篇

sin(a+£)sina

IM-pv用=2即,〃_______=，

qXsin(a+^)-sin^sinasin(a+〃)-sin-sina

所以

sinacosp+cosasinsinpsina

而cosa=3，sin/?=—,cosfi=-,故sina=g,

5

代人整理得到力=江畔咚

若历,N均在左支上,

y

同理有'用其中夕为钝角，故cos£=-2，

sinpsm(a+p)sinac

故庶HM=2即_____________e____________=，

'sin/?—sin(a+力)sinasin。一sinacos/一cosasin夕sina

代入cosa=g,sin/?=-,sina=,整理得到：—^―=7.

5c54〃+2a4

故a=2Z?，故6=

故选：AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（2021年高考全国甲卷）已知函数〃”=28S（0X+Q）的部分图像如图所示，则/1]

-x/3【解析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.

3134乃34伊A，

【详解】由题意可律—、：.T=兀、a）=

1234

“137r._13乃13

白％=---Ibj,<yx+°=2x+夕=2kr,/.0=2ATT---7r(keZ),

12126

令2=1可得：of,

o

据此有：/(x)=2cos^2x-^,/(y^=2cos^2xy-^=

故答案为：-石.

【点睛】已知力t）=4c〃s@x+8）（人>（）,s>0）的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求

待定系数g和的常用如下两种方法：

⑴由切=年即可求出3确定夕时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标w,则

令（oxo-\-（p=。（或a）xo+（p=兀），即可求出（p.

（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或“零点”）坐标代入解析式，再结合图形解出co和夕，若

对4①的符号或对8的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

14.（2021年高考天津卷）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对

的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为。和：，且每次活动中甲、乙猜对

与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为,3次活动中，甲至少

获胜2次的概率为.

22三20【解析】根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2

327

次分为甲获胜2次和3次都获胜求解..

542

【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为

653

则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为⑶=竺

UJ327

220

故答案为：］：—

15.（2020年高考全国II卷）已知直四棱柱的极长均为2,ZBAD=60°.以R为球心，亚

为半径的球面与侧面BCCiBi的交线长为.

立乃•【解析】根据已知条件易得RE=G，REL侧面与GC8,可得侧面BCC&与球面的交线上的点到

2

E的距离为近，可得侧面用GC3与球面的交线是扇形£-G的弧尸G，再根据弧长公式可求得结果.

【详解】如图:

取4G的中点为E，的中点为“，CG的中点为G,

因为N5AO=60。，直四棱柱ABCD-AAGA的棱长均为2,所以△。冏£为等边三角形，所以。e=6,

£>]£_!_4G，

又四棱柱ABC。—A8cA为直四棱柱，所以平面44CQ,所以8q_L4G，

因为8MB£=用,所以〃£_!.侧面4GC3,

设户为侧面与CCB与球面的交线上的点，则O£_LEP.

因为球的半径为石，D\E=6所以|EP|=J7万广万扉=>/^^=3，

所以侧面BCCB与球面的交线上的点到E的距离为72，

因为|£F|=|EG|=夜，所以侧面与GC8与球面的交线是扇形七尺；的弧尸G，

因为N8|Er=NGEG=5，所以2FEG=^,

所以根据弧长公式可得依=2x、5=也4.

22

故答案为：显冗.

2

【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题,

考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.

16.（2021年高考北京卷）已知（数〃幻=旭耳-玉-2,给出下列四个结论：

①若攵=0,/（X）恰有2个零点；

②存在负数3使得/（X）恰有1个零点；

③存在负数3使得/（X）恰有3个零点；

④存在正数k,使得/(x)恰有3个零点.

其中所有正确结论的序号是

©©④【解析】由/㈤二°可得出厕=履+2,考查直线”质+2与曲线g(x)=%的左、

右支分别相切

的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.

【详解】对「①，当女=0时，由/•(耳=加X-2=0,可得x=*或x=100,①正确;

对F②，考查直线)，=履+2与曲线丁=一电耳0<工<1)相切丁・点

A：r+2=-lg/

对函数)，=-以求导得"-焉’由题意可得，100

,1,解得•

k----------,100,

rlnlOk=------Ige

e

所以，存在&=-詈lge<0,使得了")只有一个零点，②正确:

对于③，当内线y=2过点(1,0)时，无+2=0,解得人一一2,

100

所以，当一时，直线)，=丘+2与曲线y=-lgx(Ovxvl)有两个交点,

若函数/(%)有三个零点，则宜线丁=丘+2与曲线y=-lgx(0<MVl)有两个交点，

100,,八

一丁gi<-2,此不等式无解,

直线丁=去+2与曲线y=lgx(x>l)有♦个交点，所以，、

k+2>0

因此，不存在&<0,使得函数/(X)有三个零点，③错误;

对于④，考查直线)，=丘+2与曲线y=lgx(x>1)相切于点P(人lgf),

kt+2=\gtr=100e

对函数求导得)，'=焉

,由题意可得，1,解得，

k=k上'

HnlOlOOe

故答案为：®®®.

【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的

零点问题，求解此类问题的一般步骤：

（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；

（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；

（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、注明过程或演算步骤.

17.（2020年高考全国H卷）•在①址=6,②csinA=3,③c=回这三个条件中任选一个，补充在下面问

题中，若问题中的三角形存在，求。的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在4ABe，它的内角的对边分别为a也c,且sinA=GsinB,C=J,?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

详见解析【解析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到。力的比例关系，根据比例

关系，设出长度长度，由余弦定理得到C的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.

【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理

由日11;4=GsinB可得：£=石，不妨设〃=G〃?，b=〃?（/〃>0）•

则：c2=a'+b2-2abcosC=3m2~nr-2xxmx—=nr，L!Jc=m.

2

若选择条件①：

据此可得：ac=6mxm=x/3wr=G，「."2=1,此时c=〃z=1.

若选择条件②:

日“22-2m2I

据此可得：cosA=---------=-m---+--m-;----=一一，

2bc2m-2

则：sinA==—,此时：csin4==3,则：c-tn-25/3.

22

若选择条件⑤：

可得:='=1，与条件。=、须矛盾，则问题中的三角形不存在.

bin

［方法二］:正弦定理

由C=C,A+B+C=万，得4=包一8.

66

由sinA=V5sin3,得sin苧-8=VJsinB,B|J—cosB+—sin=>/3sinB.

I6J22

得tan8=@.由于（）＜8＜乃，得"所以b=。,4=与.

363

若选择条件①：

a_c

由三二三，得-IF"-得a=Gc.

sinAsinCsin—sin-

3o

解得c=〃=lM=G.所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时c=l.

若选择条件②：

由csinA=3,得csin2/zg*=3,解得c=2x/J,则b=c=26.

a_c

由T^T=—得2乃一。"、，得〃=6c=6.

sinAsinCsin—sin—

3o

所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时c=2石.

若选择条件③：

由于。=&与匕=c矛盾，所以，问题中的三角形不存在.

【整体点评】方法•：根据正弦定理以及余弦定理可得，，Ac的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题

的通性通法,也是最优解；

方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式,消去角A,可求出角B，从而可得b=c,A=M，5=C=J,

36

再根据选择条件即可解出.

18.（2021年高考全国乙卷）设｛■是首项为1的等比数列，数列｛4｝满足"=等.已知外,3%,9%成

等差数列.

（1）求｛%｝和色｝的通项公式；

q

⑵记S”和7；分别为｛%｝和色｝的前〃项和.证明：7；吟.

（1）/=0严，”=曰；（2）证明见解析.【解析】（I）利用等差数列的性质及《得到9d-69+1=。，解

方程即可：

（2）利用公式法、错位相减法分别求出工,7；,再作差比较即可.

【详解】（1）因为｛q｝是首项为1的等比数列且％,3%,9%成等差数列，

所以6%=«+9%,所以6aq=q+9q/,

即加2—64+1=0,解符q=g，所以％=（；严,

所以"”Y=3

（2）［方法一］:作差后利用错位相减法求和

S0=,(1+2+3+n11111)0--1--2--n-1--

-37y+一+-H—7+---r

23"；23°3,323"")寸•+于+于++—3”T2+奈

八1IIr1.1

rmi1()——1——2——〃一]——

则上广一+—+—■+--------L⑨

3w3132333"

由⑧-⑨得|「〃=—；+(/+/+

3

所以「_］"5一n.

"-4x3z,-22x3"“_2x3n-,

因此7；_&=△——^—7=——<0.

"23"2X3"T2X3"

q

故T〈方.

［方法二］【最优解】：公式法和错位相减求和法

1x(1---)鼻]

证明：由(1)可得s“=----1^=-(1--),

I--

3

n-\n

L+H----H--,(J)

“3323日3〃

I_12n-\n

WT予++----+尹，②

3"

①一②得=：+/+/++/$3。一下)n11n

=-------------------------=-(I-)----------

13'm23"3n+'

1------

3

所以刀,=)(1-J)—，

43Z-3

所以=------(1--)<0,

243"2.3"43"23'

所以。吟.

［方法三］:构造裂项法

=(0〃+,)6)-[a[n+\)+p\

由（I）知〃，令°”=(切+，且b“=c"-C"|,即/!

通过等式左右两边系数比对易得。=,,夕=?，所以却=&+洱；

则北=a+4++4=c/G+]，卜.同方法二.

［方法四上导函数法

A(l-Xn)

设f(x)=X+%2+工3++x“=—^----L

1-x

，

卜(13)[1=1(17")]'(1)一1(1")卜(1-力=1+加用-(〃+“

1-X-(1-X)2-(1-X)2

l+，a"X-(〃+l)x"

则f'(%)=1+2J+3/++,*T

(1)2

1

又b“二〃

13

所以。=4+4+4+

正叫「一（〃+呜J卜**）©,下同方法二

【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数

学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，

关键是要看如何消项化简的更为简洁.

（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；

方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得S.Z,然后证得结论，为最优解;

<1Y

方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造c.=（a〃+，）《，使4=%-%川，求得，的表达式，

这是错位相减法的一种替代方法，

方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.

19.（2021高考北京卷）在核酸检测中合1”混采核酸检测是指：先将4个人的样本混合在一起进行1

次检测，如果这8个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:

如果这女个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结

果，检测结束.

现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.

（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.

⑴如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数；

（ii）三知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为1.设X是检测的总次数，求X的

分布列与数学期望E（X）.

（II）将这KX）人随机分成20组，每组5人,且对每组都采用“5合I”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，

试判断数学期望E（y）与⑴中E（X）的大小.（结论不要求证明）

（1）①20次：②分布列见解析：期望为詈；（2）E（Y）>E（X）.【解析】⑴①由题设条件还原情境，

即可得解；

②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；

（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出石（丫），即可得解.

【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次;

所以总检测次数为20次;

②由题意，X可以取20,30,

1

P(X=20)=P(X=30)=l--=—

TT\71111

则X的分布列:

X2030

110

P

HTT

所以E（X）=20x\+30xS=320

TT

（2）由题意，y可以取25,30,

两名感染者在同一组的概率为，=-^=而，不在同一组的概率为£=言，

C1Goyy99

则E（y）=25x4+30x史二融”E（X）.

V7999999V7

20.（2020年高考浙江卷）如图，三棱台A8C—QE/中，平面ACT7。，平面A8C,ZACB=^ACD=45°,

DC=2BC.

（I）证明：EFVDBx

（II）求。尸马面。8c所成角的正弦值.

（I）证明见解析；（II）立【解析】（I）方法一：作Q”_LAC交AC于"，连接3〃，由题意可知，平

3

面A8C，即有W7J_BC,根据勾股定理可证得3C_L5〃，又所//3C,可得DH工EF，BHLEF,即

得斯/平面股比），即证得"_LO8；

（II）方法一：由DF//CH,所以。产与平面08c所成角即为C4与平面Q8C所成角，作〃GJ_5。于G,

连接CG,即可知NHCG即为所求角，再解三角形即可求出与平面QBC所成角的正弦值.

【详解】（I）［方法一］:几何证法

作。”_LAC交AC于H,连接84.

•・•平面AOR7_L平面A8C,而平面A。”1门平面A8C=AC,ZWu平面AOfT,

・•・D〃_L平面4BC,而8Cu平面ABC,即有。”_LBC.

•；ZACB=ZACD=45。,

CD=6CH=2BCnCH=无1优.

在4c8〃中，BH2=CH2+BC2-2CH-BCcos45°=BC2»即有BZ/N+BC?=C”2,：.BH上BC.

由棱台的定义可知，EF//BC,所以DHLEF,BHLEF,而BHDH=H,

：.EF上平面BHD,而比）u平面EF±DB.

［方法二］【最优解】：空间向量坐标系方法

作比>_LAC交AC于O.

•・・平面4OR7J•平面A8C,而平面八。尸。1平面ABC=AC,">u平面AOFC,

・・・DO_L平面ABC,以。为原点，建立空间直角坐标系如图所示.

SOC=1,VZACB=ZACD=45°,DC=2BC=&，

.・・5c=—,A0(0,0,i),c(o,i,o)^fll°L

2122J

I3D-BC=---=(),

44

・・・BC_L8。.又•・•棱台中BC//EF,：,EF±BD,

［方法三］:三余弦定理法

・・•平面AC/T），平面ABC,cosZ.BCD=cosZACBcosZACD=cos45°cos45°=—,

2

・•・ZBCD=60°,

又TDC=2BC.

：.NCW=90。.即

又,：EFHBC,AEFLDB.

（U）［方法一］:几何法

因为。产//CH,所以。尸与平面DBC所成角即为与CH平面DBC所成角.

作/7G_L8DJG,连接CG,由（1）可知，8cs平面切力＞,

因为所以平面88_L平:面而平面AC。1平面BHD=BD,

HGu平面BHD,HG_L平面BCD.

即CH在平面DBC内的射影为CG,ZHCG即为所求角.

“BHDHy/laa41

在心中，设8c=a,则=HG=--------=-7=—=

8D43a75

・HGiV5

..si•nZ.HCG=---=—；==——.

C3

故。尸与平面08。所成角的正弦值为由.

3

［方法二］【最优解】：空间向量坐标系法

设平面BCD的法向量为〃=(x,y,z),

由(I)得=

11八

—x-y+z=0

/.1，令x=l,贝|Jy=i,z=2,〃=(i,i』),

0C=(0,1,0)»cosn,0C=,,

Vl+1+123

由于Of7/OC,••・直线DF与平面QBC所成角的正弦值为g.

［方法三］:空间向量法

以｛C”.CB,C0为基底,

不妨设DC=2BC=2,则

DB=6,CH=y/i,/HCB=45。,NHCD=45。,NDCB=60°（由（I）的结论可得）.

设平面DBC的法向量为〃=xCH+yCB+zCD,

n-CD=O,2x+y+4z=0,

则由•得取z=l得〃=-3C，+2CA+CO.

n-CB=O,x+y+z=0,

设直线。厂与平面DBC所成角为0,

则直线"C与平面DBC所成角也为0,

\HCn\_2

由公式得sin。==B

|〃C||〃「夜•卡

［方法四］:三余弦定理法

由ZAC3=448=45。，

可知〃在平面O8C的射影G在/。C8的角平分线上.

设直线。厂与平面DBC所成角为0,则"C与平面DBC所成角也为0.

由由（I）的结论可得48=6（尸，

由三余弦定理，得8545。=8$30：＞・85。，

cos夕=—从而sin0--.

33

［方法五］:等体积法

设77到平面DBC的距离为h,

设。”=1,则〃C=1,OC=忘,8C=立,80=渔，

22

设直线。尸与平面DBC所成角为。，由已知得HC与平面D8C所成角也为。.

111^H-DRC~^D-HRC»\/2X—sin60°x/z=lxlxlx

322322

求得心多所以疝"2=卫=叵

HC13

【整体评价】（I）的方法一使用几何方法证明，方法二利用空间直角坐标系方法，简洁清晰，通性通法,

确定为最优解；方法三使用了两垂直角的三余弦定理得到N8CZ）=60°,进而证明，过程简洁，确定为最优

解（H）的方法-一使用几何做法，方法二使用空间坐标系方法，为通性通法，确定为最优解：