江苏省南通市通州区金沙中学2020-2021学年高二上学期12月份阶段测试数学试题含答案

江苏省南通市通州区金沙中学2020至2021学年高二（上）12月份阶段测试数学试卷2020年12月时间：120分钟分值：150分第I卷（选择题）一、单选题(总分40分，每题5分)1．命题“，”的否定是（）.A．， B．，C．， D．，2．设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则的值是（）.A．2 B． C．4 D．3．不等式的解集为（）.A． B． C． D．4．设，若,,则是的（）.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（）.A．184 B．174 C．188 D．1606．若点是棱长为1的正方体中异于的一个顶点，则的所有可能值的个数是（）.A．1 B．2 C．3 D．47．设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为（）.A．6 B．2 C． D．8．已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，关于直线的对称点为M，关于直线的对称点为N，则当最小时，的大小为（）.A． B． C． D．二、多选题（总分20分，每题5分.选择全部正确得5分，选不全得3分，错选或不选得0分）9．下列求导过程正确的选项是（）.A． B．C． D．10．若不共面，则（）.A．共面 B．共面C．共面 D．共面11．已知函数（）有且只有一个零点，则（）.A．B．C．若不等式的解集为（），则D．若不等式的解集为（），且，12．已知数列是正项等比数列，且，则的值可能是（）.A． B． C． D．三、填空题13．已知曲线,则曲线在点的切线方程_________________.14．德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是指分子为1，分母为正整数的分数），称为莱布尼兹三角形．根据前5行的规律，则第6行的左起第3个数为________．15．已知直线与抛物线相交于、两点，且，直线经过的焦点．则________，若为上的一个动点，设点的坐标为，则的最小值为________．16．正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为______.四、解答题17．已知，命题，命题，．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题q为真命题，求实数a的取值范围．18.如图，在四棱锥中，平面，，，，为中点，______，从①；②平面这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答；（1）求证：四边形是直角梯形，（2）求直线与平面所成角的正弦值.19．已知双曲线渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上．（1）求双曲线的方程；（2）已知为双曲线上不同两点，点在以为直径的圆上，求的值．20.南通某服装厂拟在年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足.已知年生产该产品的固定投入为万元，每生产万件该产品需要再投入万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该服装厂年的促销费用投入多少万元时，利润最大？21．已知数列满足：，，，记数列，.（1）证明数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在数列的不同项使之称为等差数列？若存在，请求出这样的不同项；若不存在，请说明理由.22．已知抛物线x2＝2py(p>0)，F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示．(1)求点C的轨迹M的方程；(2)直线n是抛物线不与x轴重合的切线，切点为P，轨迹M与直线n交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F.江苏省南通市通州区金沙中学2020至2021学年高二（上）12月份阶段测试参考答案1．A2．C3.D．4．D5．B6．B【分析】根据立方体的八个顶点分成两类：一类是：当点是，，中的一个时；另一类是：当点是中的一个时，分别根据向量的乘积的几何意义进行求解即可【详解】如图所示，分成两类：一类是：当点是，，中的一个时，此时，，；另一类是：当点是中的一个时，此时在方向上的投影是，根据向量的乘法的几何意义得：，则的所有可能值的个数是0或1故选：B【点睛】本题考查向量在几何中的应用以及立体图形的性质，得出立方体的八个顶点分成两类是解决问题的关键7．B【解析】由椭圆第一定义知，所以，椭圆方程为所以，选B．8．B【分析】根据对称性得到，根据余弦定理得到，由三角函数的有界性得到得到的最小值.【详解】根据对称性知：，，故.根据余弦定理：，故当，即时，有最小值.故选：B【点睛】本题考查了双曲线内三角函数最值，余弦定理，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题型.9．BC【分析】利用基本初等函数的导数公式即可求解.【详解】由，可知A错误；由，可知B正确；由，可知C正确；由，可知D错误；故选：BC【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式，熟记公式是关键，属于基础题.10．BCD【分析】根据空间向量基本定理逐一判断是否共面即可.【详解】∵，∴共面，故B正确；∵，∴共面，故C正确；∵，∴共面，故D正确.对于A选项，若设，则得，故无解，因此不共面.故选：BCD.【点睛】本题考查了空间向量的基本定理，属于基础题.11．ABD【分析】因为（）有且只有一个零点，故可得，即，再利用基本不等式和不等式的性质对四个选项逐一分析即可得到答案.【详解】因为（）有且只有一个零点，故可得，即，对A：等价于，显然，故正确；对B：，故正确；对C：因为不等式的解集为，故可得，故错误；对D：因为不等式的解集为，且，则方程的两根为，，故可得，故可得，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查一元二次方程、不等式的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，属于常考题.12．ABD【分析】可结合基本不等式性质和等比数列性质进行代换，即可求出范围【详解】数列是正项等比数列，，由，即，符合题意的有：ABD故选ABD【点睛】本题考查等比数列的性质和基本不等式，属于中档题13．切线方程为或．14．【分析】根据所给数表，数字排列规律为第行的第1个数和最后1个数为，中间的某个数等于下一行“两个脚”的和，即可计算得解．【详解】由数表可知，第行第一个数为，所以第6行的第1个数和最后1个数是，中间的某个数等于下一行“两个脚”的和，所以第6行的第2个数为，第6行的第3个数为，故答案为：.【点睛】本题考查数与式的归纳推理，数学文化的简单理解和应用，属于基础题.15．【分析】将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式可求得的值，设点，可得，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求得的最小值.【详解】由题意知，直线，即．直线经过抛物线的焦点，，即．直线的方程为．设、，联立，消去整理可得，由韦达定理得，又，，则，抛物线．设，由题意知，则，当时，取得最小值，的最小值为．故答案为：；.【点睛】本题考查利用抛物线的焦点弦长求参数，同时也考查了抛物线上的点到定点距离最值的求解，考查了抛物线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.16．2.【分析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，由得，证明为与平面所成角，令，用三角函数表示出，求解三角函数的最大值得到结果.【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，则，，又，得即；又平面，为与平面所成角，令，当时，最大，即与平面所成角的正切值的最大值为2.故答案为：2【点睛】本题主要考查了立体几何中的动点问题，考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题，一般是建立空间直角坐标，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的最值问题求解，考查了学生的运算求解能力和直观想象能力.17．（1）（2）【分析】（1）由题意解可得；（2）问题转化为在的值域,由“对勾函数”的单调性可得【详解】解：（1）命题,为真命题,,解得,实数的取值范围为（2）命题,为真命题,在上有解,由对勾函数可知,在单调递增,在单调递减,当时,取最大值；当时,；当时,,所以的最小值为,实数的取值范围为:【点睛】本题考查已知命题的真假求参数问题,考查全称命题和存在性命题18．证明见解析；.【分析】选择①，由线面垂直的性质得，根据勾股定理得，得，再，又，可得，可得证四边形是直角梯形；再求直线与平面所成角的正弦值，过A点作AD的垂线交BC于M，由线面垂直的性质，如图建立空间直角坐标系A—xyz，由线面角的向量求法可求得直线与平面所成的角的正弦值.选择②，同①得，再由线面平行的性质可证得，可证得四边形是直角梯形；再求直线与平面所成角的正弦值，同上①.【详解】选择①，先证：四边形是直角梯形，因为平面，所以，因为，所以，又，所以，所以，又，面，则，又，所以，又，所以，所以四边形是直角梯形；再求直线与平面所成角的正弦值，过A点作AD的垂线交BC于M，因为平面，，如图建立空间直角坐标系A—xyz，则，因为E为PB的中点，，，，设平面PCD的法向量为，则，令，则，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成的角的正弦值为.选择②，先证：四边形是直角梯形，因为平面，所以，因为，所以，又，所以，所以，又，面，则，又平面，平面，面面，所以，又，所以，所以四边形是直角梯形；再求直线与平面所成角的正弦值，同上①.【点睛】本题考查空间中的线面垂直的判定和性质，线面平行的性质等运用，证明空间的线线平行，运用向量法求线面角的问题，属于中档题.19．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可；（2）由条件可得，可设出直线的方程，代入双曲线方程求得点的坐标可求得．试题解析：（Ⅰ）∵双曲线的渐近线方程为，∴设双曲线方程为，∵点在双曲线上．∴，∴．∴双曲线方程为，即．（Ⅱ）由题意知．设直线方程为，由，解得，∴．由直线方程为.以代替上式中的，可得．∴．(略)21.(略)22．（1）；（2）见解析.【分析】（1）判断直线的斜率存在，设方程为，设,动点，联立直线与抛物线的方程组，利用韦达定理可得，求出方程，然后求解轨迹方程；（2）设直线的方程为，由消去得到关于的一元二次方程，利用直线与抛物线相切，得,求出，可得，说明以线段为直径的圆过点.【详解】(1)依题意可得，直线l的斜率存在，故设其方程为y＝kx＋，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x，y)．由⇒x2－2pkx－p2＝0⇒x1·x2＝－p2.易知直线OA：y＝x＝x，直线BC：x＝x2，由，得，即点C的轨迹M的方程为y＝－.(2)证明:由题意知直线n的斜率存在．设直线n的方程为y＝k1x＋m.由⇒x2－2pk1x－2pm＝0⇒Δ＝4p2k＋8pm.∵直线n与抛物线相切，∴Δ＝0⇒pk＋2m＝0，可得P(pk1，－m)．又由.又，∴，∴∴，即PF⊥QF，∴以线段PQ为直径的圆过点F.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、曲线轨迹方程的求解方法，以及转化与划归思想的应用，属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题（2）的关键是将圆过定点问题转化为证明.22．（1）；（2）【分析】（1）正项等比数列{an}的公比设为q，q＞0，由等比数列的通项公式和求和公式，解得首项和公比，即可得到所求通项公式；（2）bn＝an2+log2an＝2nn，运用数列的分组求和，以及等差数列和等比数列