2026年新高考数学专题复习 82.双曲线焦点三角形的内切圆

82.焦点三角形的内切圆与应用一．基本原理1.椭圆中，假设焦点的内切圆半径为，则.2.（★高频考点）双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为.证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a.3.设焦点在轴的椭圆中，的内切圆圆心为，且与相切于点，设点的坐标为，点的坐标为.则有如下性质:（1）.（2），其中为椭圆的离心率.（3）设直线的斜率分别为,则.（证明见下面例题1）4.注意到内心是三角形角平分线的交点，我们也可以利用向量关系来刻画内心：（2）三角形三条角平分线的交点.内心为（2）内心性质.是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的内心证明：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知一定过内心.二．典例分析例1．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为第一象限内椭圆上一点，的内心为点，则直线与的斜率之积为（

）A． B． C． D．解析：设，，则，易知，故，则由椭圆的定义可得．设A，，分别为的内切圆与边，，的切点，则，根据内切圆的性质知，，，因此，得，解得．在中，，解得，因此，故.故选：D．例2.（多选题）已知、分别为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于、两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，圆的面积为，圆的面积为，则（

）A．的取值范围是 B．直线与轴垂直C．若，则 D．的取值范围是解析：对于A选项，在双曲线中，，，，所以，、，若直线轴，此时与双曲线的右支交于两点，此时；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，联立可得，由题意可得，解得或，因为，此时，综上所述，的取值范围是，A错；对于B选项，设圆分别切、、于点、、，设点，由切线长定理可得，，，所以，，可得，即点，故点为双曲线的右顶点，同理可知，圆切与点，且轴，轴，故轴，B对；对于C选项，连接、，则，即，因为，所以，，所以，，且，所以，，则，又因为，所以，，此时，、关于轴对称，所以，为等腰直角三角形，则，故，即轴，此时，直线的方程为，联立，可得，故，C对；对于D选项，，所以，，故，则，则，因为函数在上为减函数，在上为增函数，由C选项可知，，则，所以，，D对.故选：BCD.例3．（多选题）已知双曲线的左右焦点分别为，左顶点为，点是的右支上一点，则（

）A．的最小值为8B．若直线与交于另一点，则的最小值为6C．为定值D．若为的内心，则为定值解析：对A，得，所以，所以，当为双曲线右支与轴交点时，取等号，即的最小值为8，故A正确；对B，若直线经过，当直线的斜率为0时，直线的方程为，与双曲线的两个交点为，此时，故B错误；对C，因为，所以，，两式相加得，，所以，故C正确；对D，设为的内心，，，，，在双曲线上，,为定值，D正确，故选：ACD．例4．（★考频压轴考题）已知分别为双曲线的左右焦点，过且斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆半径为的内切圆半径为．若，则_______.解析：如图，记的内切圆圆心为，内切圆在边上的切点分别为，易知两点横坐标相等，，由，即，得，即，记点的横坐标为，则，则，得．记的内切圆圆心为，同理得内心的横坐标也为，则轴，设直线的倾斜角为，则，在中，，同理，在中，，所以，即，所以．故答案为：.例5．（上题迁移到椭圆中）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交C于A，B两点（点A在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率__________.解析：如图所示，由椭圆定义可得，，设的面积为，的面积为，因为，所以，即，设直线，则联立椭圆方程与直线，可得，由韦达定理得：，，又，即化简可得，即，即时，有.故答案为：三．习题演练1．设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（

）A． B． C． D．【详解】如下图所示，设切点为，，，对于A，由椭圆的方程知：，由椭圆的定义可得：，易知，所以，所以，故A正确；对于BCD，，又因为，解得：，又因为为上一点且在第一象限，所以，解得：，故B正确；从而，所以，所以，而，所以，故C错误；从而，故D正确.故选:ABD．2．已知双曲线，的左右焦点记为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，记与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【详解】令双曲线的半焦距为c，则，由对称性不妨令与平行的渐近线为，直线方程为：，即，令的内切圆与三边相切的切点分别为A，B，C，令点，如图，由切线长定理及双曲线定义得：，即，而轴，圆半径为，则有，点到直线的距离：，整理得，即，而，解得，所以双曲线的离心率为2.故选：A3．已知椭圆的左、右焦点分别是，斜率为的直线经过左焦点且交于两点（点在第一象限），设△的内切圆半径为的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率的值为（

）A． B．C． D．【详解】如图所示，由椭圆定义可得，，设△的面积为，的面积为，因为，所以，即①，设直线，则联立椭圆方程与直线，可得，所以②，③，联立①②③得，，整理得，所以．故选：D

4．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点的直线交该双曲线的右支于，两点(点位于第一象限)，的内切圆半径为，的内切圆半径为，且满足，则直线的斜率为_________【详解】设圆与的三边的切点分别为，，，如图令，，，根据双曲线的定义可得可得，由此可知，在中，轴于，同理轴于，∴轴.过圆心作的垂线，垂足为.易知直线的倾斜角与大小相等.不妨设，，则，，所以根据勾股定理，，所以.故答案为：5．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为直线l与该双曲线交于M，N两点（点M位于第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，则为_________.【详解】设的内切圆为圆，与三边的切点分别为，如图所示，设，，，设的内切圆为圆，由双曲线的定义可得，得，由此可知，在中，轴于点，同理可得轴于点，所以轴，过圆心作的垂线，垂足为，因为，所以，∴，即，∴，即故答案为：.6．已知椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、，设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．【详解】（1）椭圆的左右焦点分别为，，而双曲线的顶点分别为，，所以．又椭圆上顶点为，而双曲线的一条渐近线为，则有，解得：．故，所以椭圆的方程为．（2）设，，，直线的方程为：，将其代入椭圆的方程可得，整理可得，则，得，，故．当时，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得，同理，可得，因为，，所以，当且仅当，时，等号成立，若轴时，易知，，，此时，综上，的最大值为.7．如图，椭圆的左右焦点分别为，设是第一象限内椭圆C上的一点，的延长线分别交椭圆C于点．(1)若轴，求的值；(2)若，求的面积及点P的坐标；(3)求的最大值．【