2.22.3有理数的乘法与除法有理数的乘方-七年级数学上册考点解惑题型过关专练（人教版2024新教材）

2.2—2.3有理数的乘法与除法有理数的乘方一、有理数的乘法与除法1.有理数的乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。（2）任何数与0相乘，积为0。（3）多个有理数相乘时，积的符号由负因数个数决定，当负因数个数为奇数时，积为负；当负因数个数为偶数时，积为正，积的绝对值等于各个因数的绝对值的积。（4）有理数乘法运算律：a.乘法交换律：ab=bab.乘法结合律：(ab)c=a(bc)c.乘法分配律：a(b+c)=ab+ac2.有理数的除法法则（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。（2）倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。3.运算顺序进行有理数的混合运算时，应先观察算式的特点，按照先乘方，后乘除，最后加减的顺序进行，若有括号，先算括号内的。在简化运算后，再利用混合运算的顺序进行运算。二、有理数的乘方1.有理数乘方的意义求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。一般地，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次幂或a的n次方。乘方是一种特殊的乘法运算。2.有理数乘方的运算性质（1）正数的任何次幂都是正数。（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。（3）0的任何正整数次幂都是0。注意：在写分数和负数的n次方时需要加上括号，例如(2)³表示2的三次方，而2³则表示2的三次方的相反数。3.有理数混合运算的运算顺序进行有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算时，运算顺序为：先乘方，再乘除，最后加减；如果有括号，则先做括号内的运算。4.科学记数法把一个绝对值大于10（或小于1）的数记作a×10n的形式（其中1≤|a|<10，n为整数），这种记数方法叫做科学记数法。5.近似数在实际生活中，通过测量或估算得到的数据一般都是近似数。近似数的精确程度取决于其四舍五入到哪一位。巩固课内例1:有理数的乘法A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查有理数乘法，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键，根据有理数的乘法法则计算即可得到答案．故选：D．【答案】3【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，先确定符号，再把绝对值相乘即可．故答案为：3．计算：【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数乘法运算法则是解题的关键，运算中注意符号的变换．（1）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可；（2）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可；（3）根据0乘以任何数都是0，即可求解；（4）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可；．．巩固课内例2:有理数乘法应用——气温问题【答案】A【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，负数的意义，解题的关键是正确理解负数在实际生活中的意义．故选：A．【答案】【分析】本题考查有理数乘法的实际应用，根据题意分析得出变化量，再结合正负数的意义是解题的关键．故答案为：．次数123456温度变化(1)请问小南第2次测量气温为多少？【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，有理数四则混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式．（1）根据表格中的数据列出算式进行计算即可；巩固课内例3:有理数乘法运算律A．加法结合律 B．乘法分配律C．乘法交换律 D．乘法结合律【答案】D【分析】本题考查有理数的运算与技巧，观察算式中的三个分数，发现第二个分数和第三个分数相乘时，分母和分子可以约分，从而简化计算．此时需要运用乘法结合律，将后两个分数先结合相乘即可．通过改变乘法的结合顺序简化了计算，因此使用乘法结合律最简便，故选：D．【答案】【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法运算律计算即可得解，熟练掌握有理数的乘法运算律是解此题的关键．故答案为：．3．脱式计算，能简算的要简算．．巩固课内例4:有理数的除法A． B．3 C． D．【答案】B【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可．故选B．【答案】【分析】本题主要考查了有理数除法法则，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数成为解题的关键．根据有理数除法法则计算即可．故答案为：．3．计算：【答案】(1)5(3)(4)36【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数除法计算法则是解答本题的关键．（1）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；（2）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答；（3）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；（4）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答；；巩固课内例5:化简1．分数化简后是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查分数的化简，根据分数的基本性质，进行化简即可．故选B．【答案】【分析】本题考查的是有理数的除法运算，掌握运算法则是解本题的关键，先确定符号，再约分即可．故答案为：，3．化简：(1)；【答案】(1)(2)【分析】本题考查分数的化简，有理数的除法，熟练掌握分数的化简法则是解题的关键；（1）根据分数化简，计算即可求解；（2）根据分数化简，计算即可求解；巩固课内例6:有理数乘除混合运算A．10 B． C．5 D．【答案】C【分析】本题考查了有理数的乘除运算，先把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可．，故选∶C．【答案】【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先把除法转化为乘法，然后根据乘法法则计算即可．故答案为：．【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算法则是解题的关键；根据有理数的乘除混合运算法则计算即可.巩固课内例7:有理数加减乘除运算1．小明进行了下面的计算，则他一共做对的题数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本题主要考查了有理数的减法，乘除法以及四则混合运算，按照有理数运算法则一一计算并判断即可得出答案．故正确的一共有4个，故选：B【答案】2【分析】本题考查有理数的混合运算，先进行乘除运算，再进行减法运算即可．故答案为：2．3．计算：【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查有理数的四则运算，熟练掌握运用运算法则是解答本题的关键．（1）原式运用有理数加减法法则进行计算即可；（2）原式先将除法转换为乘法后，再利用乘法分配律计算即可．；巩固课内例8:有理数加减乘除运算的应用——盈利问题A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．盈亏不能确定【答案】B【分析】本题考查了有理数的运算在实际生活中的应用，正确计算出两件衣服的进价是解题关键．此题可先计算出两件衣服的进价，再算出售价和进价的差值判断盈亏情况．故选：B．【答案】【分析】本题考查了有理数四则运算的实际应用，根据每件盈利售价每件成本，列式计算即可．则每件盈利元．故答案为：．3．出租车司机小诚一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，行车里程（单位：千米）依先后次序记录如下：，，，，，，，，，．(1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？(2)若出租车每千米耗油升，油价为每升6元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？(3)在第(2)问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过3千米收费8元，超过3千米的部分每千米加收2元，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入＝乘客所给的总车费－油费）【答案】(1)出租车司机在公司的东方，距离公司3千米(2)共需元油费(3)盈利元【分析】本题考查了正负数的实际应用，以及有理数的运算在实际问题中的应用．注意计算的准确性．（3）根据收费标准计算出乘客所给的总车费即可求解；答：出租车司机在公司的东方，距离公司3千米；答：共需66元油费答：盈利70元.巩固课内例9:有理数乘方计算1．计算的结果正确的是（

）A． B． C．9 D．27【答案】A【分析】本题考查有理数的乘方，需明确负号是否参与指数运算．根据运算顺序，指数运算优先于乘法．题目中的表达式应理解为先计算，再取负数．故选：A．【答案】4【分析】此题考查了有理数的乘方运算，根据有理数的乘方运算法则求解即可．故答案为：4．3．计算(1)；(4)；【答案】(1)49(2)－216(3)(4)－9(5)(6)【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）根据有理数的乘方运算法则求解即可；（2）根据有理数的乘方运算法则求解即可；（3）根据有理数的乘方运算法则求解即可；（4）根据有理数的乘方运算法则求解即可；（5）根据有理数的乘方运算法则求解即可；（6）根据有理数的乘方运算法则求解即可．巩固课内例10:用计算器计算乘方1．科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（

）【答案】A【分析】本题主要考查科学计算器的使用，根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值即可．故选：A．2．用科学计算器进行以下按键操作，则输出的结果是．【答案】【分析】本题主要考查计算器．根据科学计算器计算方法作答即可．故答案为：．【答案】【分析】本题考查了利用计算器计算，根据题意进行输入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．巩固课内例11:含乘方的有理数混合运算A．9 B． C． D．36【答案】D【分析】本题考查有理数的混合运算，先算乘方，并把除法转化为乘法，再算乘法即可．故选D．【答案】【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则．先算乘方，再算乘除，最后算减法即可．，故答案为：．3．计算：【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了有理数的运算，解题关键在于熟练掌握各个运算的分式方法.（1）根据有理数加减法原则，去括号，再运算；（2）根据有理数乘除法原则，除以一个等于乘以这个数的倒数，再确定符合，然后再运算；（3）根据乘法分配律运算，再用加减运算即可；（4）先乘法，先算括号内的，然后再去运算即可.；；巩固课内例12:排列规律问题1．干支纪年法是中国历法上的传统文化，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合（如对照表），60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数对应天干栏中的汉字即为天干；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数对应地支栏中的汉字即为地支；属相的计算方法与地支一致．123456789101112…天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…属相鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪…依据上述规律推断，2037年为（

）A．戊酉鸡 B．丁巳蛇 C．丙申猴 D．己辰龙【答案】B【分析】本题考查找规律，根据题意，理解天干、地支和属相的计算方法，利用有理数混合运算法则计算即可得到答案．理解题意，掌握题中描述的规律是解决问题的关键．【详解】解：天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数对应天干栏中的汉字即为天干，地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数对应地支栏中的汉字即为地支，属相的计算方法与地支一致，综上所述，2037年为丁巳蛇，故选：B．【答案】【分析】本题考查了数的规律的探索，乘方运算的符号规律，找到规律是解题的关键；观察知，从左边数，每行最后一个数是行数的平方，且奇数行符号为负，偶数行符号为正，据此可完成解答．【详解】解：根据规律知，第9行最后一个数为，则第10行左边数第一个数为；∴数2024是第45行左边数的倒数第二个数，∴第45行倒数第二个数是从左边数第88个数；故答案为：82；45；88．3．【观察】观察下列三组式子的乘方运算中的底数和指数或幂的变化，【解答】(1)由第一、二组可以发现互为相反数的两数的偶次幂________，它们的奇次幂________；【答案】(1)相等；互为相反数(2)或或或(3)【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，有理数的四则混合计算，求一个数的绝对值：（1）观察可知，互为相反数的两数的偶次幂相等，它们的奇次幂互为相反数，【详解】（1）解：观察可知，互为相反数的两数的偶次幂相等，它们的奇次幂互为相反数，故答案为：相等；互为相反数；巩固课内例13:科学记数法【答案】D故选：D．3．综合与实践．活动主题：估算大米有多重实际操作：一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．拓展运用：(1)一粒大米约重多少克？(2)按我国现有人口14亿，每年365天计算，若每人每天节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）(3)假若我们把一年节约的大米按5元/千克的价格出售，可卖得多少元？（用科学记数法表示）（1）用500粒大米的总重量除以500，即可求解；（2）根据题意，列出算式求解即可；（3）根据题意，列出算式求解即可．巩固课内例14:用四舍五入计算近似数1．下列说法错误的是（

）A．近似数3.02万精确到百位B．142500000000精确到千万位为1425.0亿【答案】C【分析】本题考查近似数的精确度判断，精确到哪一位，就是对它后边的一位进行四舍五入．逐一分析各选项的精确位数是否符合要求即可．【详解】解：A、近似数3.02万中，末位数字2位于百位（3.02万=30200），故精确到百位，说法正确，选项错误；B、原数142500000000精确到千万位时，千万位为0，后续数字全为0，无需进位。用“亿”为单位表示为1425.0亿，小数点后的0表明精确到千万位，说法正确，选项错误；故选：C．【答案】【分析】本题考查了近似数，注意按精确度得到的近似数末尾的0不能任意舍去．由精确度知，根据千分位的数“四舍五入”即可．故答案为：．3．按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：(1)2.715（精确到百分位）；(2)0.1395（精确到0.001）．【答案】(1)2.72(2)0.140【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．（1）（2）根据精确度的定义解答即可．类型一、倒数1．若的倒数是，则的相反数是（）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了倒数“乘积为1的两个数互为倒数”、相反数“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟记倒数和相反数的定义是解题关键．先根据倒数的定义可得的值，再根据相反数的定义求解即可得．∴的相反数是4，故选：A．【答案】【分析】该题考查了相反数、绝对值、倒数，根据相反数、绝对值、倒数的定义解答即可．故答案为：，，．3．已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，m的绝对值等于2，n是最大的负整数．(2)或0【分析】本题考查了倒数、相反数、绝对值以及有理数的加减混合运算等知识点，掌握相关结论即可．（1）根据题意即可求解；【详解】（1）解：∵a，b互为倒数，∵c，d互为相反数，∵m的绝对值等于2，∵n是最大的负整数，类型二、幂的概念1．的意义是（）A．4个相乘 B．4个相加C．乘以4 D．的相反数【答案】D【分析】本题考查了乘法与乘方的定义，以及相反数．掌握相关区别是解题关键．根据乘方和乘法以及相反数的定义逐项判断即可．D、的相反数对应，符合题意；故选：D．【答案】7【分析】此题考查了有理数的乘方，原式利用幂的定义判断即可得到结果．熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．故答案为：；7．3．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么．【分析】本题考查乘方定义，乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．首先化成幂的形式，再指出底数和指数，熟记乘方定义是解决问题的关键．底数为，指数为6．类型三、有理数除法的应用1．胜利小学计划招生人，实际招生人，实际多招了几分之几的算式是（

）【答案】D故选：．2．一辆汽车小时行千米，照这样的速度小时行千米；【答案】60【分析】本题考查了有理数的除法，行程问题，理解行程问题的数量关系，掌握有理数的除法运算是关键．【详解】解：一辆汽车小时行千米，故答案为：60．(1)通过计算说明小虫是否回到起点；(2)如果小虫爬行的速度为厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间．【答案】(1)小虫能回到起点(2)108秒【分析】本题主要考查正负数在实际生活中的应用，联系实际，学以致用是解决问题的关键．（1）把记录到得所有的数字相加，看结果是否为0即可；（2）记录到得所有的数字的绝对值的和，除以0.5即可．，∴小虫能回到起点；答：小虫共爬行了108秒．类型一、有理数乘法应用——销售问题1．某商店在“双11”期间所有商品按8折销售，如图，该商品的售价是（

）A．225 B．217 C．180 D．145【答案】C【分析】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，用标价乘以折扣即可得到答案．∴该商品的售价为180元，故选：C．2．一件服装的标价为300元，打八折后销售，则该件服装的售价是．【答案】240元【分析】本题考查的是有理数的乘法的应用，根据折扣的含义列式计算即可.【详解】解：一件服装的标价为300元，打八折后销售，则该件服装的售价是故答案为:240元3．随着信息技术的发展，很多农产品改变了原来的销售模式，实行了网上销售．今年庐江某地盛产荸荠，刚大学毕业的李明把自家的荸荠，通过网络平台实行包邮销售，他原计划每天卖100千克荸荠，但实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超出记为正，不足记为负．单位：千克）：星期一二三四五六日与计划量的差值(1)根据记录数据，求这一周中每天的销售量最多的比最少的多多少千克？(2)如果荸荠按每千克12元出售，另外需支付网络平台费平均每千克1元，那么李明这一周销售额为多少？【答案】(1)销售量最多的比最少的多30千克(2)李明本周销售额7832元【分析】本题考查正负数的应用，有理数混合运算的应用：（1）用表中最大的数减去最小的数即可；答：销售量最多的比最少的多30千克；答：李明本周销售额7832元．类型二、“24”点1．小新玩“24点”游戏，游戏规则是对数进行加、减、乘、除混合运算（每张卡片只能用一次，可以加括号）使得运算结果是24或－24．小新已经抽到前3张卡片上的数字分别是，若再从下列4张中抽出1张，则其中不能与前3张算出“24点”的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用运算符号将四个数字连接，使其结果为24或24，即可得出答案.【详解】A：(52)×8×(1)=24，故A错误；B：(83)×5+(1)=24，故B错误；C：(84)×[5(1)]=24，故C错误；D：无法组成24点，故D正确；故答案选择：D.【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，需要熟练掌握有理数的运算法则.2．24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式．【分析】本题主要考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．根据有理数的混合运算可进行求解．方法1：_______；方法2：_______；方法3：_______；【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用“二十四点”游戏规则写出相应算式即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【详解】（1）根据“二十四点”游戏规则得，类型三、程序流程图1．【周期问题】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24、第2次输出的结果为12、……第2012次输出的结果为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，发现规律是解题的关键．根据输入的x的值分别计算，直到找出规律为止，然后计算即可．，可以得出：从第3次开始，6，3，6，3，，循环出现，∴第2012次输出的结果为3，故选：A．2．按如图的程序计算，若开始输入的值为2，最后输出的结果为．【答案】11【分析】本题考查了程序框图与有理数的混合运算；按照题意依次计算乘方与减法，计算结果与10比较，若小于继续计算，否则输出结果即可．第一次计算的结果为，以作为输入值，计算后结果为，以作为输入值，计算后结果为，则可得输出结果．则输出结果为11；故答案为：11．3．如图，某数学活动小组编了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“·”表示一个有理数．若“·”表示2，输入的数为，求计算结果．【答案】3【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是根据程序流程图，进行运算，根据流程图，按照有理数混合运算法则计算即可得答案．．类型一、二进制A．8 B．9 C．11 D．13【答案】C【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可．．故选：C．【答案】【分析】本题考查了用数字表示数及有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键．根据二进制和十进制的互换规则即可解答．故答案为：．3．阅读与思考：(1)【发现】根据以上信息，将二进制数