2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（湘教版）-2 第二节　常用逻辑用语

第二节常用逻辑用语【课程标准】1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，理解定义、判定定理、性质定理与充要条件、充分条件、必要条件的关系.2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.命题(1)命题：可以判断真假的陈述句.成立的命题叫作真命题，不成立的命题叫作假命题.(2)命题的否定：如果p是一个命题，则“p不成立“也是一个命题，叫作p的否定，记作¬p.(3)逆命题：将一个命题的条件和结论互换位置后得到的命题.这个命题与原命题是互为逆命题.2.充分条件和必要条件(1)当“若p，则q”成立，即p⇒q时，把p叫作q的充分条件，q叫作p的必要条件.(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，称p是q的充要条件.换句话说：如果一个命题和它的逆命题都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件.[微提醒]区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇏A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇏B)两者的不同.3.全称量词和存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词“任意”“所有”“每一个”∀存在量词“存在某个”“至少有一个”∃4.全称命题和特称命题命题名称定义命题结构命题简记全称命题含有全称量词的命题对M中任意一个元素x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)特称命题含有存在量词的命题存在M中的某个元素x，使p(x)成立∃x∈M，p(x)5.含量词命题的否定命题命题的否定∀x∈I，p(x)∃x∈I，¬p(x)∃x∈I，p(x)∀x∈I，¬p(x)学生用书⬇第5页[微提醒]对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词.【常用结论】(1)p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件.(2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.(3)命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.【自主检测】1.(多选)下列结论正确的是()A．p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件B．“三角形的内角和为180°”是全称量词命题C．已知集合A，B，A∪B=A∩B的充要条件是A=BD．命题“∃x∈R，sin2x2+cos2x2=1答案：ABC2.(多选)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是()A．“a=b”是“ac=bc”的充要条件B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件C．“a<5”是“a<3”的必要条件D．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件答案：ABD3.(用结论)命题“∀x∈R，x2+x≥0”的否定是()A．∃x0∈R，x02+x0≤0 B．∃x0∈R，x02C．∀x∈R，x2+x≤0 D．∀x∈R，x2+x<0答案：B解析：由全称量词命题的否定是存在量词命题知选项B正确.4.若命题“∀x∈R，x2+1>m”是真命题，则实数m的取值范围是.

答案：(-∞，1)5.已知A=(-∞，a]，B=(-∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为.

答案：(-∞，3)考点一充分条件、必要条件的判定自主练透1.(2024·全国甲卷)设向量a=x+1，x，b=x，2A．x=-3是a⊥b的必要条件B．x=-3是a∥b的必要条件C．x=0是a⊥b的充分条件D．x=-1+3是a∥b的充分条件答案：C解析：对于A，当a⊥b时，则a·b=0，所以x·(x+1)+2x=0，解得x=0或-3，即必要性不成立，故A错误；对于C，当x=0时，a=1，0，b=0，2，故a·b=0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；对于B，当a∥b时，则2(x+1)=x2，解得x=1±3，即必要性不成立，故B错误；对于D，当x=-1+3时，不满足2(x+1)=x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误2.(2023·新课标Ⅰ卷)设Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：Snn为等差数列.则(A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：C解析：甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，即Sn=na1+n(n-1)2d，则Snn=a1+n-12d=d2n+a1-d2，因此Snn为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：Snn为等差数列，即Sn+1n+1-Snn=D，Snn=S1+(n-1)D，即Sn=nS1+n(n-1)D，当n≥2时，Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D，两式相减得：Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D，即an=a1+2(n-1)D，当n=1时，上式成立，于是an=a1+2(n-1)D，又an+1-an=a1+2nD-[a13.(2024·湖北武汉模拟)已知p：ab≤1，q：a+b≤2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：D解析：当a=-1，b=4时，p不能推出q；当a=-2，b=-2时，q不能推出p，所以p是q的既不充分也不必要条件.故选D．4.(2023·全国甲卷)“sin2α+sin2β=1”是“sinα+cosβ=0”的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件答案：B解析：当sin2α+sin2β=1时，例如α=π2，β=0，但sinα+cosβ≠0，即由sin2α+sin2β=1推不出sinα+cosβ=0；当sinα+cosβ=0时，sin2α+sin2β=(-cosβ)2+sin2β=1，即sinα+cosβ=0能推出sin2α+sin2β=1.综上可知，“sin2α+sin2β=1”是“sinα+cosβ=0”成立的必要不充分条件.故选B充分条件、必要条件的两种判定方法

1.定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.

2.集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.学生用书⬇第6页考点二充分必要条件的探求与应用师生共研(1)命题“∀x∈[1，3]，x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥9 B．a≤9 C．a≥10 D．a≤10(2)已知P={x|x2-8x-20≤0}，非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为.

答案：(1)C(2)[0，3]解析：(1)命题“∀x∈[1，3]，x2-a≤0”⇒“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇒9≤a.则“a≥10”是命题“∀x∈[1，3]，x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件.故选C．(2)由x2-8x-20≤0，得-2≤x≤10，所以P={x|-2≤x≤10}.因为x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，又S≠⌀，所以1-m≥-2，1+故0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件.[变式探究]1.(变条件)本例(2)中条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“¬P是¬S的必要不充分条件”，其他条件不变，则实数m的取值范围为.

答案：[9，+∞)解析：由例题知P={x|-2≤x≤10}.因为¬P是¬S的必要不充分条件，所以P是S的充分不必要条件，所以P⇒S且S⇏P.所以[-2，10]⫋[1-m，1+m].所以1-m≤-2，1+则m的取值范围是[9，+∞).2.(变设问)本例(2)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件?并说明理由.解：由例题知P={x|-2≤x≤10}.若x∈P是x∈S的充要条件，则P=S，所以1-m这样的m不存在.根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点

1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.

2.要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.对点练1.若x∈R，下列选项中，使“x2<1”成立的一个必要不充分条件为()A．-2<x<1 B．-1<x<1C．0<x<2 D．-1<x<0答案：A解析：不等式x2<1等价于-1<x<1，使“x2<1”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为A，则(-1，1)是A的真子集，由此对照各项，可知只有A项符合题意.故选A．考点三全称量词命题与存在量词命题多维探究角度1含有量词的命题的否定(2024·福建漳州模拟)已知命题p：∀x≥0，ln(1+x)≥x-x22，则命题p的否定为(A．∀x≥0，ln1+x<x-B．∃x≥0，ln1+x<x-C．∀x<0，ln1+x<x-D．∃x<0，ln1+x<x-答案：B解析：根据含有全称量词命题的否定可知，命题p：∀x≥0，ln1+x≥x-x22，则命题p的否定为：∃x≥0，ln1+x<x-x[变式探究](变条件)若将本例中的“∀”改为“∃”，如何选择答案?解：p：∃x≥0，ln(1+x)≥x-x22的否定为¬p：∀x≥0，ln(1+x)<x-x22角度2含量词命题的真假判断(多选)下列命题中的真命题是()A．∀x∈R，3x-1>0B．∀x∈N+，(x-1)2>0C．∃x0∈R，lgx0<1D．∃x0∈R，tanx0=2答案：ACD解析：当x∈N+时，x-1∈N，可得(x-1)2≥0，当且仅当x=1时取等号，故B不正确；易知A、C、D正确.故选ACD．角度3含量词命题的应用(1)已知命题p：∀x∈R，x2-a≥0；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2-a=0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为.

(2)已知函数f(x)=x2-2x+3，g(x)=log2x+m，若对任意x1，x2∈[1，4]，f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是.

答案：(1)(-∞，-2](2)(-∞，0)解析：(1)由命题p为真，得a≤0.由命题q为真，得Δ=4a2-4(2-a)≥0，即a≤-2或a≥1.综上，实数a的取值范围是(-∞，-2].(2)f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2，当x∈[1，4]时，f(x)min=f(1)=2，g(x)max=g(4)=2+m.由题知f(x)min>g(x)max，即2>2+m，解得m<0，故实数m的取值范围是(-∞，0).学生用书⬇第7页含量词命题的解题策略

1.判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.

2.由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是利用等价命题求参数的范围.

3.含有双量词命题的类型

(1)∀x1，x2∈D，f(x1)≤g(x2)恒成立⇔f(x1)max≤g(x2)min.

(2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min.

(3)∃x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)=g(x2)⇔f(x1)的值域与g(x2)的值域的交集非空.

(4)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)=g(x2)⇔f(x1)的值域是g(x2)值域的子集.对点练2.(1)(多选)下列命题是真命题的是()A．∀x∈R，-x2-1<0B．∀n∈Z，∃m∈Z，nm=mC．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径D．存在实数x，使得1x2(2)已知命题p：∃x0∈R，x02+2x0+a≤0，命题q：∀x>0，x+1x>a.若p假q真，则实数a的取值范围为A．(1，+∞) B．(-∞，2]C．(1，2) D．(-1，2]答案：(1)ABC(2)C解析：(1)∀x∈R，-x2≤0，所以-x2-1<0，故A是真命题；当m=0时，nm=m恒成立，故B是真命题；任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C是真命题；因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2，所以1x2-2x+3≤12<34，(2)命题p：∃x0∈R，x02+2x0+a≤0为假命题，则∀x∈R，x2+2x+a>0为真命题，满足Δ=22-4a<0，解得a>1.命题q：∀x>0，x+1x>a为真命题，由x+1x≥2x·1x=2，当且仅当x=1时等号成立，可知a<2.综上，实数a的取值范围为1.[真题再现](2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则()A．p和q都是真命题B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题D．¬p和¬q都是真命题答案：B解析：对于p而言，取x=-1，则有x+1=0<1，故p是假命题，¬p是真命题，对于q而言，取x=1，则有x3=13=1=x，故q是真命题，¬q是假命题，综上，¬p和q都是真命题.故选B[教材呈现](湘教版必修一P22T10)对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假：(1)p：任意有理数都可以写成两个整数之商；(2)q：∃x∈R，x2+2x+3≤0.点评：该高考试题主要考查全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判断，与教材习题角度完全相同.2.[真题再现](2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：a3=b3和3a=3b都当且仅当a=b时等号成立，所以二者互为充要条件.故选C．[教材呈现](湘教版必修一P17例3)从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选择适当的一种填空.(1)a≥5是a为正数的；

(2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的；

(3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的；

(4)若x∈R，则x2=2是x=2的.

点评：该高考试题主要考查利用充分、必要条件的意义判断命题间的充分、必要性，与教材例题角度完全一致，且难度小于教材例题.课时测评2常用逻辑用语对应学生(时间：60分钟满分：100分)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!)(每小题5分，共60分)1.命题“∃x>0，x2-2|x|<0”的否定是()A．∃x>0，x2-2|x|≥0B．∃x≤0，x2-2|x|≥0C．∀x>0，x2-2|x|≥0D．∀x≤0，x2-2|x|≥0答案：C解析：由存在量词命题的否定为全称量词命题知“∃x>0，x2-2|x|<0”的否定为“∀x>0，x2-2|x|≥0”.故选C．2.(2025·山东德州模拟)在△ABC中，“A>π6”是“sinA>12”的(A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：在△ABC中，A∈(0，π)，由A>π6，得sinA>0，由sinA>12，得π6<A<56π，所以“A>π6”是“sinA>123.已知命题：”∀x∈R，方程x2+4x+a=0有解”是真命题，则实数a的取值范围是()A．a<4 B．a≤4 C．a>4 D．a≥4答案：B解析：“∀x∈R，方程x2+4x+a=0有解”是真命题，故Δ=16-4a≥0，解得a≤4.故选B．4.(2025·河北石家庄模拟)“a≥22”是“圆C1：x2+y2=4与圆C2：(x-a)2+(y+a)2=1有公切线”的(A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：圆C1：x2+y2=4的圆心为C1(0，0)，半径为r1=2，圆C2：(x-a)2+(y+a)2=1的圆心为C2(a，-a)，半径为r2=1.若两圆有公切线，则|C1C2|≥|r1-r2|，即a2+(-a)2≥1，解得a≤-22或a≥22，所以“a≥22”是“圆C1：x2+y2=4与圆C2：(x-a)2+(y+a)25.(2023·安徽皖南八校三模)给出下列四个命题，其中正确命题为()A．“∀x>0，x2+x>1”的否定是“∃x0>0，x02+x0<B．“α>β”是“sinα>sinβ”的必要不充分条件C．∃α，β∈R，使得sin(α+β)=sinα+sinβD．“a>b”是“2a>2b”的充分不必要条件答案：C解析：对于A，“∀x>0，x2+x>1”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，该命题的否定为∃x0>0，x02+x0≤1，故A错误；对于B，“若sinα>sinβ，则α>β”是假命题，如sinπ3>sin5π6，而π3<5π6，故B错误；对于C，取α=β=0，则sin(α+β)=sin0=sin0+sin0=sinα+sinβ，故C正确；对于D，因为函数y=2x是R上的增函数，则“a>b”是“2a>2b”的充要条件，故6.(2024·山东日照模拟)已知a>0，b>0，则“12a<12b”是“lna>lnb”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：因为y=12x在定义域上单调递减，所以由12a<12b得a>b>0，而y=lnx在定义域上单调递增，故12a<12b⇒lna>lnb，满足充分性；由lna>lnb得a>b>0，7.(多选)(2024·湖南常德模拟)下列命题中为真命题的是()A．“a-b=0”的充要条件是“ab=1B．“a>b”是“1a<1bC．命题“∃x∈R，x2-2x<0”的否定是“∀x∉R，x2-2x≥0”D．“a>2，b>2”是“ab>4”的充分不必要条件答案：BD解析：对于A，由ab=1⇒a-b=0，但a=b=0⇏ab=1，所以“ab=1”是“a-b=0”的充分不必要条件.故A错误；对于B，取a=2，b=-1，满足a>b，但1a>1b，所以a>b⇏1a<1b；同理取a=-1，b=2，满足1a<1b，但a<b，所以1a<1b⇏a>b，所以“a>b”是“1a<1b”的既不充分也不必要条件.故B正确；对于C，命题“∃x∈R，x2-2x<0”的否定是“∀x∈R，x2-2x≥0”.故C错误；对于D，因为a>2，b>2⇒ab>4，但ab>4⇏a>2，b>2，所以“a>2，b>2”是“8.(多选)下列命题是真命题的是()A．所有的素数都是奇数B．有一个实数x，使x2+2x+3=0C．“α=β”是“sinα=sinβ”成立的充分不必要条件D．命题“∃x∈R，x+2≤0”的否定是“∀x∈R，x+2>0”答案：CD解析：2是一个素数，但2是偶数，故A是假命题；对于方程x2+2x+3=0，其中Δ=22-4×3=-8<0，所以不存在实数，使得x2+2x+3=0成立，故B是假命题；由α=β⇒sinα=sinβ，但由sinα=sinβ不能得到α=β，故“α=β”是“sinα=sinβ”成立的充分不必要条件，故C是真命题；命题“∃x∈R，x+2≤0”的否定是“∀x∈R，x+2>0”，故D是真命题.故选CD．9.(多选)已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0，下列说法正确的是()A．当m=3时，方程的两个实数根之和为0B．方程无实数根的一个必要条件是m>1C．方程有两个正根的充要条件是0<m≤1D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是m<0答案：BCD解析：对于A，方程为x2+3=0，方程没有实数根，故A错误；对于B，如果方程没有实数根，则Δ=(m-3)2-4m=m2-10m+9<0，所以1<m<9，m>1是1<m<9的必要条件，故B正确；对于C，因为方程有两个正根，所以Δ=m2-10m+9≥0，-m-3>0，m>0，所以0<m≤1，所以方程有两个正根的充要条件是0<m≤1，故C正确；对于D，如果方程有一个正根和一个负根10.若“∃x∈-π3，π3，sinx<m”是假命题，则实数答案：-3解析：因为“∃x∈-π3，π3，sinx<m”是假命题，所以“∀x∈-π3，π3，m≤sinx”是真命题，即m≤sinx对于∀x∈-π3，π3恒成立，所以m≤(sinx)min，因为y=sinx在-π3，π3上单调递增，所以x=-π3时，y=sinx最小，其最小值为y=sin11.已知p：|x-1|>2，q：x2-2x+1-a2≥0(a>0)，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是.

答案：(0，2]解析：由题可得p：x>3或x<-1，q：x2-2x+1-a2≥0⇔x-1-a·x-1+a≥0，因为a>0，所以1-a<1+a，解得x≥1+a或x≤1-a.因为q是p的必要不充分条件，所以1+a≤3，1-a12.(开放题)写出一个使命题“∃x∈(2，3)，mx2-mx-3>0”成立的充分不必要条件(用m的值或范围作答).

答案：m=1(答案不唯一)解析：当x∈(2，3)时，易知x2-x=x-122-14∈2，6.又∃x∈2，3，mx2-mx-3>0⇔∃x∈2，3，m>3x2-x⇔m>3x2-xmin，x∈2，3⇔m>12.显然m=1⇒m>12，m>12⇏m=(每小题8分，共16分)13.(数学文化)南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1，S2，则“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：命题：如果“S1，S2不总相等”，那么“V1，V2不相等”的等价命题是：如果“V1，V2相等”，那么“S1，S2总相等”.根据祖暅原理，当两个截面的面积S1，S2总相等时，这两个几何体的体积V1，V2相等，所以逆命题为真，故是必要条件；当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，故不是充分条件，所以“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的必要不充分条件.14.(多选)(2025·山西吕梁模拟)下列说法正确的是()A．命题“∀x>1，x2<1”的否定是“∃x≤1，x2≥1”B．“a>10”是“1a<110C．若函数fx的定义域为0，2，则函数f2D．记Ax1，fx1，Bx2，fx2x1≠答案：BCD解析：对于A，“∀x>1，x2<1”的否定为“∃x>1，x2≥1”，故A错误；对于B，由1a<110，得a-1010a>0，故a>10或a<0，因此“a>10”是“1a<110”的充分不必要条件，故B正确；对于C，fx中，0≤x≤2，f2x中，0≤2x≤2，即0≤x≤1，故C正确；对于D，fx1+x22=x1+x22，f(x1)