2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（湘教版）-4 培优课3　函数中的构造问题

培优课3函数中的构造问题函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也常在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.题型一利用导数的运算法则构造抽象函数角度1利用f(x)与xn构造(2025·河南信阳统考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf'(x)-f(x)<0，且f(-2)=0，则不等式f(x)x>0的解集是A．(-2，0)∪(0，2) B．(-∞，-2)∪(2，+∞)C．(-2，0)∪(2，+∞) D．(-∞，-2)∪(0，2)答案：D解析：设g(x)=f(x)x，x≠0.因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(-x)=f(x).因为g(-x)=f(-x)-x=-f(x)x=-g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(-2)=-g(2).因为f(-2)=0，所以g(-2)=g(2)=0.当x>0时，g'(x)=xf'(x)-f(x)x2<0，所以g(x)在(0，+∞)上单调递减，此时不等式f(x)x>0的解集是(0，2).因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以g(x)在(-∞，0)上单调递减，所以当x<0时，不等式f(x)1.对于xf'(x)+nf(x)>0型，构造F(x)=xnf(x)，则F'(x)=xn-1[xf'(x)+nf(x)](注意对xn-1的符号进行讨论).特别地，当n=1时，xf'(x)+f(x)>0，构造F(x)=xf(x)，则F'(x)=xf'(x)+f(x)>0.

2.对于xf'(x)-nf(x)>0型，且x≠0，构造F(x)=f(x)xn，则F'(x)=xf'(x)-nf(x)xn+1(注意对xn+1的符号进行讨论).特别地，当n=1时，xf'(x)-f(x)>0，构造F(对点练1.(多选)(2025·湖南郴州统考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，xf'(x)+2f(x)>0恒成立，则 ()A．f(1)<4f(2) B．f(-1)<4f(-2)C．16f(4)<9f(3) D．4f(-2)>9f(-3)答案：AD解析：令g(x)=x2f(x)，因为当x>0时，xf'(x)+2f(x)>0，所以当x>0时，g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[xf'(x)+2f(x)]>0，所以g(x)=x2f(x)在(0，+∞)上单调递增.又f(x)为定义在R上的奇函数，y=x2为定义在R上的偶函数，所以g(x)=x2f(x)为定义在R上的奇函数，所以g(x)在(-∞，0)上单调递增.由g(2)>g(1)，可得4f(2)>f(1)，故A正确；由g(-1)>g(-2)，可得f(-1)>4f(-2)，故B错误；由g(4)>g(3)，可得16f(4)>9f(3)，故C错误；由g(-2)>g(-3)，可得4f(-2)>9f(-3)，故D正确.故选AD．角度2利用f(x)与ex构造已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)<f'(x)-2，则 ()A．f(2025)-ef(2024)<2(e-1)B．f(2025)-ef(2024)>2(e-1)学生用书⬇第68页C．f(2025)-ef(2024)>2(e+1)D．f(2025)-ef(2024)<2(e+1)答案：B解析：令g(x)=f(x)+2ex，则g'(x)=f'(x)-f(x)-2ex>0，因此函数g(x)是增函数，于是得g(2025)>g(2024)，即f(2025)+2e20251.若已知f'(x)+f(x)的符号，则构造函数g(x)=exf(x).一般地，若已知f'(x)+nf(x)的符号，则构造函数g(x)=enx·f(x).

2.若已知f'(x)-f(x)的符号，则构造函数g(x)=f(x)ex.一般地，若已知f'(x)-nf(x)的符号，则构造函数g(对点练2.(2024·湖南邵阳第二次联考)已知函数fx的定义域为R，f'x为fx的导函数.若f1=e，且f'x+ex<fx在R上恒成立，则不等式fx<2-xex的解集为(A．-∞，2 BC．-∞，1 D答案：D解析：设函数gx=fxex+x，可得g'x=f'x·ex-fx·exe2x+1=f'x-fx+exex<0，所以函数gx在R上单调递减，由fx<2-xex，可得fx+xex<2ex，即fx对点练3.(2025·江西南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>0，且有f(3)=3，则f(x)>3e3-x的解集为答案：(3，+∞)解析：设F(x)=f(x)·ex，则F'(x)=f'(x)·ex+f(x)·ex=ex[f(x)+f'(x)]>0，所以F(x)是增函数.又f(3)=3，则F(3)=f(3)·e3=3e3.因为f(x)>3e3-x等价于f(x)·ex>3e3，即F(x)>F(3)，所以x>3，即所求不等式的解集为(3，角度3利用f(x)与sinx、cosx构造函数已知定义在R上的奇函数f(x)的导函数为f'(x)，且当x∈(0，+∞)时，f'(x)sinx+f(x)cosx<0，若a=22f-π6，b=-fπ4，则a与b的大小关系为答案：a<b解析：设φ(x)=f(x)sinx，则φ'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx，当x∈(0，+∞)时，φ'(x)<0，即φ(x)在(0，+∞)上单调递减，又f(x)为奇函数，所以φ(x)为偶函数，所以φ-π6=φπ6>φπ4，即f-π6sin-π6>fπ4sinπ4，即-12f-π6>2函数f(x)与sinx、cosx相结合构造可导函数的几种常见形式

1.F(x)=f(x)sinx，F'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx.

2.F(x)=f(x)sinx，F'(x)=f'(x)sinx-f(x)cosxsin2x.

3.F(x)=f(x)cosx，F'(x)=f'(x)cosx-f(x对点练4.定义在0，π2上的函数f(x)，函数f'(x)是它的导函数，且恒有f(x)<f'(x)tanx成立，则A．3fπ4>2fπ3 B．f(1)<2fC．2fπ6>fπ4 D．3fπ答案：D解析：f(x)<f'(x)tanx⇔f'(x)sinx-f(x)cosx>0，x∈0，π2，令F(x)=f(x)sinx，则F'(x)=f'(x)sinx-f(x)cosxsin2x>0，即函数F(x)在0，π2上是增函数，对于A，Fπ4<Fπ3，即fπ4sinπ4<fπ3sinπ3，所以3fπ4<2fπ3，故A错误；对于B，F(1)>Fπ6，即f(1)sin1>fπ6sinπ6，所以f(1)>2fπ6sin1，故B错误题型二利用同构法构造具体函数设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<blnb，则()A．ab>e B．b>eaC．ab<e D．b<ea答案：B解析：由已知aea<blnb，则ealnea<blnb.设f(x)=xlnx，则fea<fb.因为a>0，则ea>1，且blnb>0，则b>1.当x>1时，f'(x)=lnx+1>0，则f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以ea<b.故选B同构法的三种基本类型

1.乘积型：如aea≤blnb可以同构成aea≤(lnb)·elnb，进而构造函数f(x)=xex.

2.比商型：如eaa<blnb可以同构成ealnea<blnb，进而构造函数f(x)=xlnx.

3.和差型：如ea±a>b±lnb，同构后可以构造函数f(x)=e对点练5.(1)(2025·福建福州模拟)已知当x≥e时，不等式xa+1x-e1x≥alnx恒成立，则正实数a的最小值为A．1 B．1eC．e D．1(2)(多选)(2024·安徽合肥质量检测)设实数λ>0，对任意的x>1，不等式λeλx≥lnx恒成立，则λ的取值可能是()A．e B．12eC．1e D．答案：(1)B(2)ACD解析：(1)由题意，原不等式可变形为e1x-1x≤xa-alnx，即e1x-lne1x≤xa-lnxa，设f(x)=x-lnx(x>0)，因为f'(x)=1-1x=x-1x(x>0)，所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增.因为x≥e，a>0，所以e1x>1，xa>1，则当x≥e时，fe1x≤fxa恒成立，则e1x≤xa，即1x≤alnx，因为x≥e，所以a≥1xlnx.令h(x)=xlnx(x≥e)，因为h'(x)=lnx+1>0，所以h(x)在[e，+∞)上单调递增，所以h(x)min=h(e)=(2)由题意得，eλx·λx≥xlnx=elnx·lnx，令f(t)=t·et，t∈0，+∞，则f'(t)=(t+1)·et>0，所以f(t)在(0，+∞)上单调递增，又f(λx)≥f(lnx)，即当x∈(1，+∞)时，λx≥lnx，即λ≥lnxx恒成立，令g(x)=lnxx，x∈1，+∞，则g'(x)=1-lnxx2，所以在(1，e)上g'(x)>0，则g(x)单调递增；在(e，+∞)上g'(x)<0，则g(x)单调递减，所以g(x课时测评21函数中的构造问题对应学生(时间：60分钟满分：100分)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!)(每小题5分，共60分)1.(2025·山东济南模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f'(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f'(x)-2x>0，且f(1)=3，则f(x)>x2+2的解集是 ()A．(-1，0)∪(1，+∞) B．(-∞，-1)∪(1，+∞)C．(-1，0)∪(0，1) D．(-∞，-1)∪(0，1)答案：B解析：令g(x)=f(x)-x2，因为f(x)是偶函数，则g(-x)=f(-x)-(-x)2=f(x)-x2=g(x)，所以函数g(x)也是偶函数，g'(x)=f'(x)-2x，因为当x≥0时，g'(x)=f'(x)-2x>0，所以函数g(x)在[0，+∞)上单调递增，不等式f(x)>x2+2即为不等式g(x)>2，由f(1)=3，得g(1)=2，所以g(x)>g(1)，所以|x|>1，解得x>1或x<-1，所以f(x)>x2+2的解集是(-∞，-1)∪(1，+∞).故选B．2.若lnx-lny<1lnx-1lny(x>1，y>1)A．ey-x>1 B．ey-x<1C．ey-x-1>1 D．ey-x-1<1答案：A解析：依题意，lnx-1lnx<lny-1lny，令f(t)=t-1tt≠0，则f'(t)=1+1t2>0，所以f(t)在(-∞，0)，(0，+∞)上单调递增；又x>1，y>1，得lnx>0，lny>0，则f(lnx)<f(lny)，则lnx<lny，所以1<x<y，即y-x>0，所以ey-x>e0=1，故A正确，B不正确；又无法确定y-x-1与0的大小关系，3.设f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f'(x)，满足f(x)-xf'(x)<0，若a=2f(2)，b=f(4)，则()A．a<b B．a>bC．a=b D．a，b的大小无法判断答案：A解析：设g(x)=f(x)x，则g'(x)=xf'(x)-f(x)x2>0，所以函数g(x)在(0，+∞)上单调递增，即g(4)>g(2)，所以f(4)44.(2025·四川成都模拟)已知函数y=f(x)对任意的x∈-π2，π2满足f'(x)cosx-f(x)sinx>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数A．f-π3>2B．fπ3<2fC．2f(0)<fπD．2f(0)>fπ答案：C解析：构造函数g(x)=f(x)cosx，x∈-π2，π2，则g'(x)=f'(x)cosx-f(x)sinx>0，所以g(x)在-π2，π2上单调递增，则g-π3<g-π4，所以f-π3cos-π3<f-π4cos-π4，即f-π3<2f-π4，故A不正确；则gπ3>gπ4，所以fπ3cosπ3>fπ4cosπ4，即fπ3>2fπ4，故B不正确；则g(0)<gπ3，所以f(0)cos0<fπ3cosπ3，即2f(0)<f5.(2025·广东惠州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且3f(x)+f'(x)<0，f(ln2)=1，则不等式e3xf(x)>8的解集为 ()A．(-∞，2) B．(-∞，ln2)C．(ln2，+∞) D．(2，+∞)答案：B解析：令g(x)=e3xf(x)，函数g(x)的定义域为R，因为3f(x)+f'(x)<0，所以g'(x)=[e3xf(x)]'=e3x[3f(x)+f'(x)]<0，故g(x)为减函数，又因为f(ln2)=1，所以g(ln2)=e3ln2f(ln2)=8，所以不等式e3xf(x)>8可化为g(x)>g(ln2)，所以x<ln2，所以e3xf(x)>8的解集为(-∞，ln2).故选B．6.(2024·浙江温州模拟)若y=f(x)在R上可导，且满足不等式xf'(x)+f(x)>0恒成立，对于任意正数a，b，若a<b，则下列一定正确的是()A．af(b)<bf(a) B．bf(a)<af(b)C．af(a)<bf(b) D．bf(b)<af(a)答案：C解析：令g(x)=xf(x)，因为xf'(x)+f(x)>0，所以g'(x)=f(x)+xf'(x)>0，即g(x)在R上单调递增，因为a，b∈(0，+∞)且a<b，所以g(a)<g(b)，即af(a)<bf(b)，故C正确，D错误；无法判断A，B的正误.故选C．7.(多选)(2025·福建福州联考)定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-1>0，则下列结论正确的是 ()A．f(2)-ln2>f(1) B．f(4)-f(2)>ln2C．f(2)+ln2>f(e)+1 D．f(e2)-f(e)>1答案：ABD解析：构造函数g(x)=f(x)-lnx，x>0，则g'(x)=f'(x)-1x=xf'(x)-1x，因为xf'(x)-1>0，所以g'(x)>0，故g(x)是增函数，由g(2)>g(1)，得f(2)-ln2>f(1)-ln1，即f(2)-ln2>f(1)，故A正确；由g(4)>g(2)，得f(4)-ln4>f(2)-ln2，即f(4)-f(2)>ln4-ln2=ln2，故B正确；由g(e)>g(2)，得f(e)-lne>f(2)-ln2，即f(e)+ln2>f(2)+1，可得f(e)+1>f(2)+ln2，故C错误；由g(e2)>g(e)，得f(e2)-lne2>f(e)-lne，即f(e2)-2>f(e)-1，即f(e2)-f(e)>1，故8.(多选)(2025·河北保定模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，导函数为f'(x)，满足xf'(x)-f(x)=(x-1)ex(e为自然对数的底数)，且f(1)=0，则 ()A．3f(2)>2f(3)B．f(1)<f(2)<f(e)C．f(x)在x=1处取得极小值D．f(x)无极大值答案：BCD解析：设g(x)=f(x)x(x>0)，则g'(x)=xf'(x)-f(x)x2=(x-1)exx2=exx'，可设g(x)=exx+c，则g(1)=e+c=0，解得c=-e，故g(x)=exx-e，即f(x)=ex-ex，x>0，令g'(x)>0，则x>1，故g(x)在(1，+∞)上单调递增，所以g(2)<g(3)，即f(2)2<f(3)3，则3f(2)<2f(3)，故A错误；令f'(x)=ex-e>0，得x>1，令f'(x)=ex-e<0，得0<x<1，则f(x)在(0，1)上单调递减，在9.(2024·河南平顶山模拟)已知函数y=f(x)为奇函数，且当x>0时，f'(x)sinx+f(x)cosx>0，则下列说法正确的是()A．f5π6<-f7π6B．-f7π6<f5π6C．-f-π6<-f7πD．-f-π6<f5π答案：D解析：令g(x)=f(x)sinx，因为f(x)为奇函数，则g(x)为偶函数，g'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx，又x>0时，f'(x)sinx+f(x)cosx>0，则g(x)在(0，+∞)上单调递增，则有g-π6=gπ6<g5π6<g7π6，即-12f-π6<12f5π6<-12f7π610.(2024·山东济宁联考)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)的导函数都存在，若f'(x)g(x)+f(x)g'(x)<10x，且f(2)g(2)-f(1)g(1)为整数，则f(2)g(2)-f(1)g(1)的可能取值的最大值为.

答案：14解析：由f'(x)g(x)+f(x)g'(x)<10x，得[f(x)g(x)]'<(5x2)'，设函数h(x)=f(x)g(x)-5x2，则h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)-10x<0，所以h(x)在(0，+∞)上单调递减，所以h(1)>h(2)，即f(1)g(1)-5×12>f(2)g(2)-5×22，则f(2)g(2)-f(1)g(1)<15.因为f(2)g(2)-f(1)g(1)为整数，所以f(2)g(2)-f(1)g(1)的可能取值的最大值为14.11.已知m>0，n∈R，若log2m+2m=6，2n+1+n=6，则m2n=答案：1解析：由题意得log2m+2m=2n+1+n，log2m+2m=2×2n+n=log22n+2×2n，令g(x)=log2x+2x(x>0)，则g'(x)=1xln2+2>0，所以g(x)在(0，+∞)上单调递增，因为g(m)=g(2n)，所以m=2n，所以m212.(2024·广东深圳质检)已知定义在(0，+∞)上的可导函数f(x)满足xf'(x)-f(x)<0，其中f'(x)为f(x)的导函数，且f(2)=2，则f(ex)-ex≥0的解集是.

答案：(-∞，ln2]解析：令g(x)=f(x)x，则g'(x)=xf'(x)-f(x)x2，因为定义在(0，+∞)上的可导函数f(x)满足xf'(x)-f(x)<0，所以g'(x)=xf'(x)-f(x)x2<0在(0，+∞)上恒成立，所以函数g(x)=f(x)x在(0，+∞)上单调递减，又f(2)=2，所以g(2)=f(2)2=1，由f(ex)-ex≥0得f(ex)ex≥1，所以g(ex)(每小题8分，共16分)13.(2025·陕西咸阳模拟)已知0<x1<x2<1，下列不等式恒成立的是()A．x2ex1<x1ex2 B．x2lnx1>xC．x1lnx1<x2lnx2 D．ex1>ln答案：D解析：令f(x)=exx且0<x<1，则f'(x)=(x-1)exx2<0，故f(x)在(0，1)上递减，又0<x1<x2<1，所以f(x2)<f(x1)⇒ex2x2<ex1x1⇒x1ex2<x2ex1，故A错误；令h(x)=lnxx且0<x<1，则h'(x)=1-lnxx2>0，故h(x)在(0，1)上递增，又0<x1<x2<1，所以h(x2)>h(x1)⇒x2lnx1<x1lnx2，故B错误；令g(x)=xlnx且0<x<1，则g'(x)=1+lnx，所以在0，1e上g'(x)<0，g(x)递减，在1e，1上g'(x)>0，g(x)递增，而0<x1<x2<1，此