2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（湘教版）-8 培优课16　概率统计与数列、函数的综合问题

培优课16概率统计与数列、函数的综合问题题型一概率、统计与数列的综合问题(2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第i次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且PXi=1=1-PXi=0=qi，i=1，2，…，n，则E(∑i=1nXi)=∑i=1nqi.记前n次解：(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，所以PB2=PA1B=PA1PB=0.5×1-0.6+0.5×0.8=(2)设PAi=pi，依题可知，PBi=1-piPAi+1=PA=PAiPAi即pi+1=0.6pi+1-0=0.4pi+0.2，构造等比数列pi设pi+1+λ=25pi+λ，解得λ=-13，则pi+又p1=12，p1-13=16，所以pi-13即pi-13=16×25i-1，pi=(3)因为pi=16×25i-1+13，i=1，所以当n∈N+时，∑i=1npi=p1+p2+…+pn=16×1-2故E(Y)=5181-学生用书⬇第307页概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系.解决此类问题的基本步骤为：1.精准定性：即明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率概型的依据，也是建立递推关系的准则.2.准确建模：即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题.3.解决模型：也就是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差、等比数列的问题求解.求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用相关公式.对点练1.(2025·广东惠州模拟)为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为23，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为14，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为12(1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；(2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为Pn.(ⅰ)证明：Pn-(ⅱ)证明：当n≥2时，Pn≤512解：(1)设A1=“第1天选择米饭套餐”，A2=“第2天选择米饭套餐”，则A1=“第1天不选择米饭套餐”根据题意PA1=23，PA1=13，PA2|A1=14，由全概率公式，得PA2=PA1PA2|A1+PA1PA(2)证明：(ⅰ)设An=“第n天选择米饭套餐”，则Pn=PAn，PAn=1-P根据题意PAn+1|An=14，PA由全概率公式，得Pn+1=PA=PAnPA=14Pn+121-Pn=-因此Pn+1-25=-1因为P1-25=415≠0，所以Pn-25是以4(ⅱ)由(ⅰ)可得Pn=25+415×当n为大于1的奇数时，Pn=25+415×14n-1≤当n为正偶数时，Pn=25-415×14n-因此当n≥2时，Pn≤512题型二概率、统计与函数的综合问题(2021·新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=pi(i=0，1，2，3).(1)已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E(X)；(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p=1，当E(X)>1时，p<1；(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.解：(1)由题意，P(X=0)=0.4，P(X=1)=0.3，P(X=2)=0.2，P(X=3)=0.1.所以X的分布列为X0123P0.40.30.20.1所以E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.(2)证明：记f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0，由题知，p为f(x)=0的实根，由p0=1-p1-p2-p3，得f(x)=p3(x3-1)+p2(x2-1)+p1(x-1)-(x-1)=(x-1)[p3x2+(p3+p2)x+p3+p2+p1-1].记g(x)=p3x2+(p3+p2)x+p3+p2+p1-1，则g(1)=3p3+2p2+p1-1=E(X)-1，g(0)=p3+p2+p1-1=-p0<0.当E(X)≤1时，g(1)≤0，易知g(x)在0，1所以当x∈(0，1)时，g(x)=0无实根.所以f(x)=0在0，1即p=1，所以当E(X)≤1时，p=1.当E(X)>1时，g(1)>0，又g(0)<0，g(x)的图象开口向上，所以g(x)=0在0，1上有唯一实根p'∈(0，1所以f(x)=0的最小正实根p=p'∈(0，1)，所以当E(X)>1时，p<1.(3)E(X)≤1，表示1个微生物个体繁殖下一代的个数不超过自身个数，种群数量无法维持稳定或正向增长，多代繁殖后将面临灭绝，所以p=1.E(X)>1，表示1个微生物个体可以繁殖下一代的个数超过自身个数，种群数量可以正向增长，所以面临灭绝的可能性小于1.学生用书⬇第308页甲、乙两人进行象棋比赛(没有平局)，采用“五局三胜”制.已知在每局比赛中，甲获胜的概率为p，0<p<1.(1)设甲以3∶1获胜的概率为f(p)，求f(p)的最大值；(2)记(1)中f(p)取得最大值时的p为p0，以p0作为p的值，用X表示甲、乙两人比赛的局数，求X的分布列和均值E(X).解：(1)甲以3∶1获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜，所以fp=C32·p2·1-p·p=3p3-3p4，0<则f'p=9p2-12p3=3p23-令f'(p)>0，得0<p<34令f'(p)<0，得34<p<1所以f(p)在0，34上单调递增，在所以当p=34时，f(p)取得最大值，为81(2)由(1)知p=p0=34由题意知X的所有可能取值为3，4，5.则PX=3=343+143=PX=4=C32×343×14+C31×3PX=5=C42×343×142+C42×所以X的分布列为：X345P74527则X的均值EX=3×716+4×45128+5×27128概率与函数的交汇问题，多以概率问题为解题主线，通过设置变量，利用随机变量的概率、均值与方差的计算公式构造函数.求解时可借助二次函数的性质、函数的单调性或导数确定最优解.解决此类问题应注意以下两点：1.准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的均值、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键.2.注意变量的范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身范围的限制.对点练2.(2025·湖北高三四调)高性能计算芯片是一切人工智能的基础.国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测.智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为4950，4849，4748，人工检测仅对智能检测达标(即三项指标均达标)的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标.人工检测综合指标不达标的概率为p((1)求每个AI芯片智能检测不达标的概率；(2)人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为f(p)，当p=p0时，f(p)取得最大值，求p0；(3)若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良.以(2)中确定的p0作为p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良.解：(1)记事件A=“每个AI芯片智能检测不达标”，则P(A)=1-P(A)=1-4950×4849×4748(2)由题意f(p)=C501p(1-p)所以f'(p)=50[(1-p)49+p×49(1-p)48×(-1)]=50(1-p)48(1-50p)，令f'(p)=0，则p=150当0<p<150时，f'(p)>0，f(p)为增函数当p>150时，f'(p)<0，f(p)为减函数所以f(p)在p0=150处取到最大值(3)记事件B=“人工检测达标”，则P(B|A)=1-150=49又P(A)=1-350=47所以P(AB)=P(A)P(B|A)=4750×4950=92.12%<93%，课时测评86概率统计与数列、函数的综合问题对应学生(时间：60分钟满分：100分)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!)1.(17分)为落实立德树人的根本任务，坚持“五育”并举，全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛阶段比赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛(每场比赛都采取5局3胜制)，根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；以3∶2取胜的队员积2分，失败的队员积1分.(1)若每名队员获得冠、亚军的可能性相同，则比赛结束后，冠、亚军恰好来自不同校区的概率是多少?(7分)(2)已知第10轮小李对抗小王，设每局比赛小李取胜的概率均为p(0<p<1).①记小李以3∶1取胜的概率为f(p).若当p=p0时，f(p)取最大值，求p0的值；②若以①中p0的值作为p的值，这轮比赛小李所得积分为X，求X的分布列及均值.(10分)解：(1)比赛结束后，冠、亚军恰好来自不同校区的概率P=C31C(2)①由题可知f(p)=C32p2(1-p)·p=3p3(1-pf'(p)=3[3p2(1-p)+p3×(-1)]=3p2(3-4p)，令f'(p)=0，得p=34或p=0(舍去)当p∈0，34时，f'(p)>0，f(p)在当p∈34，1时，f'(p)<0，f(p)在所以p0=34②X的所有可能取值为0，1，2，3，PX=0=1-p3+C3=1-343+C31×34PX=1=C42p=C42×342×1-PX=2=C42p=C42×342×1-PX=3=p3+C32p=343+C32×342×所以X的分布列为：X0123P132781189则EX=0×13256+1×27512+2×81512+3×1892.(17分)(2024·山东青岛模拟)甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得-1分.假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为34(1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望E(X)；(7分)(2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立.记Pn表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，Pn=aPn-1+bPn-2+cPn-3n≥4，求a，b，c；并证明：答题轮数越多(轮数不少于3)，出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.(10解：(1)由题可知，X的取值为-1，0，1，PX=-1=1-3PX=0=34×1-23+PX=1=34×2故X的分布列如下：X-101P151则EX=-1×112+0×512+1×12(2)由题可知，P1=1，P2=1，P3=1-123=78，P4=1-3×1经分析可得：若第n轮没有得1分，则Pn=12Pn-1若第n轮得1分，且第n-1轮没有得1分，则Pn=14Pn-2若第n轮得1分，且第n-1轮得1分，第n-2轮没有得1分，则Pn=18Pn-3故Pn=12Pn-1+14Pn-2+18Pn-3n≥4，故a=12，b=因为Pn=12Pn-1+14Pn-2+18Pn故Pn+1=12Pn+14Pn-1+18Pn故Pn+1-Pn=-12Pn+14Pn-1+18P=-1212Pn-1+14Pn-2+18Pn-3+故Pn+1<Pnn≥4，且P1=P2>P3>P则P1=P2>P3>P4>P5>…，所以答题轮数越多(轮数不少于3)，出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.3.(20分)(2025·广东茂名模拟)马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n-1，n-2，n-3，…次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行nn∈N+次操作后，记甲盒子中黑球个数为Xn，甲盒中恰有1个黑球的概率为an，恰有2个黑球的概率为(1)求X1的分布列；(4分)(2)求数列{an}的通项公式；(6分)(3)求Xn的期望.(10分)解：(1)由题可知，X1的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：PX1=0=13×PX1=1=13×13+2PX1=2=23×故X1的分布列如下表：X1012P252(2)由全概率公式可知：P(Xn+1=1)=P(Xn=1)·P(Xn+1=1|Xn=1)+P(Xn=2)·P(Xn+1=1|Xn=2)+P(Xn=0)·P(Xn+1=1|Xn=0)=13×13+23×23P(Xn=1)+23×1P(X=59P(Xn=1)+23P(Xn=2)+23P(Xn=即an+1=59an+23bn+23(1-an-b所以an+1=-19an+2所以an+1-35=-1又a1=PX1=1所以数列an-35是以a1-35以-19为公比的等比数列所以an-35=-245·-19n即an=35+25·(3)由全概率公式可得：P(Xn+1=2)=P(Xn=1)·P(Xn+1=2|Xn=1)+P(Xn=2)·P(Xn+1=2|Xn=2)+P(Xn=0)·P(Xn+1=2|Xn=0)=23×13·PXn=1+13×1·PXn=2+0·PXn=又an=35+25·所以bn+1=13bn+2所以bn+1-15+15-又b1=PX1=2所以b1-15+15×-19=29-1所以bn-15+15-所以bn=15-1所以E(Xn)=an+2bn+01-an-bn=an+4.(20分)(2024·河北邯郸模拟)邯郸是历史文化名城，被誉为“中国成语典故之都”.为了让广大市民更好的了解并传承成语文化，当地文旅局拟举办猜成语大赛.比赛共设置n道题，参加比赛的选手从第一题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目.设某选手答对每道题的概率均为p(0<p<1)，各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)记答题结束时答题个数为X，当n=3时，若E(X)>1.75，求P的取值范围；(6分)(2)(ⅰ)记答题结束时答对个数为Y，求E(Y)；(ⅱ)当p=56时，求使E(Y)>4的n的最小值参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477.(14分)解：(1)当n=3时，根据题意，X可取1，2，3，P(X=1)=1-p，P(X=2)=p(1-p)，P(X=3)=p2，所以E(X)=1-p+2p(1-p)+3p2=p2+p+1，由E(X)=p2+p+1>1.75，得p>12又0<p<1，所以P的取值范围是12(2)(ⅰ)P(Y=k)=pk(1-p)，其中k=0，1，2，…，n-1，P(Y=n)=pn，所以Y的数学期望为E(Y)=p(1-p)+2p2(1-p)+…+(n-1)pn-1(1-p)+npn=(1-p)[p+2p2+3p3+…+(n-1)pn-1]+npn，设Sn=p+2p2+3p3+…+(n-1)pn-1，利用错位相减可得(1-p)Sn=p+p2+p3+…+pn-1-(n-1)pn，所以E(Y)=p+p2+p3+…+pn-1-(n-1)pn+npn=p+p2+p3+…+pn-1+pn=p-另解：E(Y)=(p-p2)+(2p2-2p3)+(3p3-3p4)+…+[(n-1)pn-1-(n-1)pn]+npn=p+p2+p3+…+pn-1+pn=p-(ⅱ)依题意，56-56n+11即n+1>log5616=lg6lg6-lg5=lg2+lg32lg2+lg3又n∈N+，故n的最小值为9.5.(26分)为了选拔创新型人才，某大学对高三年