2024-2025学年福建省部分达标校高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省部分达标校高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列关于空间向量的说法正确的是(

)A.任意两个空间向量不一定共面

B.模相等的两个向量是相等向量

C.平行于同一个平面的向量叫做共面向量

D.空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底2.设向量e1,e2,e3不共面，已知AB=e1+A.1 B.2 C.3 D.43.若函数f(x)=asinx+1满足f′(0)=π，则a=(

)A.1 B.−1 C.π2 D.4.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点E在棱A1C1上，且A1A.23a+b+13c

5.函数f(x)=ex(x−1)2x−1A.B.C.D.6.函数f(x)=12lnx图象上一点P到直线y=xA.2 B.22 C.7.如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，AA.24 B.C.62 8.记f′(x)是f(x)的导函数，f″(x)是f′(x)的导函数，若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的曲率K=|f″A.1627 B.2716 C.108125二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知定义在(x1,x5)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，f′(x)A.f(x)在(x2,x5)上单调递增

B.f(x)在(x3,x4)上单调递减10.已知函数f(x)=x3−3xA.f(x)有3个零点

B.f(x)的图象关于点(1,−24)对称

C.f(x)既有极大值又有极小值

D.经过点(−2,0)且与f(x)的图象相切的直线有2条11.在四棱锥P−ABCD中，AB⊥PB，AB=PB=BC=22，四边形ABCD是平行四边形，F，H分别为棱PD，AB的中点，CE=EH，点C在平面PAB的射影恰好是棱PA的中点，则A.AF//平面PCH

B.线段EF的长为102

C.三棱锥P−ABC的外接球的表面积为32π

D.平面AEF与平面PAB夹角的余弦值为357

三、填空题：本题共3小题，每小题12.已知空间中的三点A(1,2,3)，B(1,2,5)，C(3,0,1)，则点C到直线AB的距离为______．13.若函数f(x)=lnx+mx在(1,+∞)上单调递增，则m的取值范围是______．14.若将一块体积为4π的橡皮泥捏成一个圆柱，则圆柱表面积的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=2x3+3x2．

(1)求f(x)在x=12处的切线方程；

(2)16.(本小题15分)

如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=22,M为棱DD1的中点．

17.(本小题15分)

已知函数f(x)=−x2+(a2+a)lnx+(1−a)x．

(1)若a=1，求f(x)的极值；

(2)18.(本小题17分)

在矩形ABCD中，E，F为CD上两个不同的三等分点，如图1.将△AFD和△BEC分别沿AF，BE向上翻折，使得点C，D重合，记重合后的点为P，如图2.已知AB=6，四棱锥P−ABEF的体积为833．

(1)求AD；

(2)求平面PAF与平面PBE所成角的正弦值．19.(本小题17分)

已知函数f(x)=aln(x+1)+1ex−1．

(1)若f(x)在其定义域内单调递增，求a的取值范围．

(2)若a=0，证明：∀x∈(0,+∞)，f(x)+x2x2+1<0．

参考答案1.C

2.B

3.D

4.A

5.A

6.C

7.A

8.C

9.AD

10.ACD

11.ABD

12.213.(−∞,1]

14.6×215.解：(1)f′(x)=6x2+6x，

则f′(12)=6×14+6×12=92，

又f(12)=2×18+3×14=1，

则所求直线方程为y−1=92(x−12)，即y=92x−54；

(2)当点(12,f(12))为切点坐标时，由(1)可知，直线方程为y=916.(1)易知三棱锥D1−A1CD即三棱锥A1−CDD1，

其体证明：积为13×12×2×22×2=423．

(2)证明：以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0),D1(0,2,22)，M(0,2,2)，A1(0,0,22)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，B(2,0,0)，

AM=(0,2,2),A1D=(0,2,−22),CD=(−2,0,0),BD1=(−2,2,22)17.解：(1)根据a=1，得f(x)=−x2+2lnx，x>0，则f′(x)=−2x+2x=−2(x2−1)x，

当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．

故当x=1时，f(x)取得极大值−1，无极小值．

(2)由f(x)=−x2+(a2+a)lnx+(1−a)x，x>θ，

得f′(x)=−2x+a2+ax+1−a=

−2x2+(1−a)x+a2+ax=−(x+a)(2x−a−1)x．

令(x+a)(2x−a−1)=0，得x=−a或x=a+12．

若a≥0，则−a≤0，a+12>0，当x∈(0,a+12)时，f′(x)>0，当x∈(a+12,+∞)时，f′(x)<0．

若−13<a<0，则a+12>−a>0，当x∈(0,−a)∪(a+1218.解：(1)取AB，EF的中点分别为G，H，连接PH，HG，PG，

过点P作PM⊥HG，垂足为M，

设AD=a，则HG=a，

△PEF为等边三角形，EH=12EF=1,PH=3，

在△PAB中，PA=PB=a，PG=a2−9，

在△PGH中，cos∠PHG=PH2+HG2−PG22PH⋅HG=23a，sin∠PHG=a2−12a，

PM=PH⋅sin∠PHG=3⋅a2−12a，

又梯形ABEF的面积S=(EF+AB)⋅HG2=4a，

所以四棱锥P−ABEF的体积为13⋅S⋅PM=13⋅4a⋅3⋅a2−12a=43⋅a2−123=833，

解得a=4(a=−4舍去)，

即AD=4；

(2)由(1)可得HG=AD=4，PM=32，HM=32，GM=52，

以M为坐标原点，19.解：(1)因为f(x)在(−1,+∞)上单调递增，所以f′(x)=ax+1−1ex=aex−(x+1)(x+1)ex≥0在(−1,+∞)上恒成立，

即a≥x+1ex在(−1,+∞)上恒成立．

设φ(x)=x+1ex，则φ′(x)=−xex，则φ(x)在(−1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，

所以φ(x)max=φ(0)=1，则a≥1，即a的取值范围为[1,+∞)．

(2)证明：若a=0，则f(x)+x2x2+1=1ex−1x2+1=x2+1−exex(x2+1)，

设g(x)=ex−(x2+1)，则g′(x)=ex−2x，g“(x)=ex−2，

则g′(x)在(0,ln