2024-2025学年新疆哈密十五中高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年新疆哈密十五中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z⋅(1+i)=4+3i，则|z|=(

)A.522 B.52 C.2.已知A(3,1)，B(4,3)，C(x,7)三点共线，则x=(

)A.10 B.8 C.7 D.63.已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，且m⊂α，n⊂β，则下列结论正确的是(

)A.若α⊥β，则m⊥n B.若α//β，则m//n

C.若m//β，n//α，则α//β D.若m⊥β，则α⊥β4.在△ABC中，若AC=6，C=45°，AB=2，则B等于(

)A.π6 B.π3 C.π6或5π6 5.将周长为8的矩形ABCD绕边AB所在直线旋转一周得到圆柱.当该圆柱体积最大时，边AB的长为(

)A.43 B.23 C.136.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线CA.30° B.45° C.60° D.90°7.已知向量a=(2,−1),b=(−3,t),(2a+A.4 B.3 C.2 D.08.等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等.已知一个长方体的体积为12，则用长方体其中的四个顶点构成的等腰四面体的体积为(

)A.3 B.4 C.6 D.8二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z满足z=2−i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是(

)A.|z|=5 B.z−=2−i

C.z10.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1DA.A1C1⊥BD1

B.A1C1/​/平面AC11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,a=7,b=2,A=πA.c=3 B.sinB=217

C.sinC=27 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(−2,λ),b=(1,1)，且a⊥b，则λ=______，a13.已知等边△ABC边长为2，PC⊥平面ABC，且PC=3，则点C到平面PAB的距离为______．14.已知三棱锥S−ABC中，AB⊥BC，SC⊥BC，AB=2BC=2，三棱锥S−ABC的体积为23，则当SA取最小值时，三棱锥S−ABC外接球的体积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知a=(1,2),|b|=5．

(1)若a//b，求b的坐标；

(2)16.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin2B+bsinA=0．

(1)求角B；

(2)若△ABC的面积为1534，周长为15，求17.(本小题15分)

已知正方体ABCD−A1B1C1D1图，

(1)求证：平面AB18.(本小题12分)

在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．

(1)求BP的长度；

(2)求∠MPN的余弦值．19.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD⊥DC，BC=CD=12AD=2，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD．

(1)证明：AB/​/平面PCE；

(2)求证：平面PAB⊥平面PBD；

(3)若二面角P−CD−A的大小为45°，求直线AD与平面PBD

参考答案1.A

2.D

3.D

4.D

5.A

6.C

7.A

8.B

9.ACD

10.ABC

11.ABD

12.2

(−1,−1)

13.614.9π215.(1)已知a=(1,2),|b|=5，

又a//b，

设b=(x,y)，

由题意有y=2xx2+y2=5，

解得x=1y=2或x=−1y=−2，

故b的坐标为(1,2)或(−1,−2)16.解：(1)根据正弦定理可得b=2RsinB，a=2RsinA，

因为asin2B+bsinA=0，所以2RsinA⋅2sinBcosB+2RsinBsinA=0，

所以cosB=−12，

又B∈(0,π)，所以B=2π3；

(2)因为c=3，△ABC的面积为1534，

所以S△ABC=12acsinB=34ac=1534，17.解：(1)证明：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，BB1//AA1//DD1，BB1=AA1=DD1，

则四边形BB1D1D是平行四边形，

所以B1D1//BD，又因为B1D1⊄平面BC1D，BD⊂平面BC1D，

所以B1D1//平面BC1D，

同理AD1//平面BC1D，而AD1∩B1D18.(1)连接MN，则MN是△ABC的中位线，

故MN//AB，且MN=12AB，

在△ABN中，AN=12AC=2，又AB=2，∠BAC=60°，

故△ABN是等边三角形，

所以BN=2，

因为△ABP∽△MNP，所以PNBP=MNAB=12，

所以BP=23BN=43；

(2)在△ABC中，由余弦定理得：

BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcos∠BAC=16+4−16cos60°=12，

解得BC=23，则BM=12BC=3，

因为AB2+BC2=AC2，所以AB⊥BC，

在△ABM中，由勾股定理得AM=AB2+BM2=4+3=7，

因为△ABP∽△MNP，所以PMAP=MNAB=12，解得AP=273，

在△ABP中，由余弦定理得cos∠APB=AP2+BP2−AB22AP⋅BP=289+169−42×273×43=714，

因为∠MPN=∠APB，所以∠MPN的余弦值为714．

19.证明：(1)∵BC//AE且BC=AE，

∴四边形BCEA为平行四边形，

∴AB//EC，

又∵AB⊄平面PCE，EC⊂平面PCE，

∴AB//平面PCE；

(2)∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴PA⊥BD，

连接BE，∵BC//DE且BC=DE，

∴四边形BCDE为平行四边形，

∵DE⊥CD，BC=CD=2，

∴平行四边形BCDE为正方形，

∴BD⊥EC，

又∵AB//EC，∴BD⊥AB，

又∵PA⋂AB=A，PA⊂面PAB，AB⊂面PAB，