2024-2025学年重庆市沙坪坝区西藏中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆市沙坪坝区西藏中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知曲线y=f(x)在x=5处的切线方程是y=−2x+8，则f(5)与f′(5)分别为(

)A.3，3 B.3，−1 C.−1，3 D.−2，−22.一个袋子中装有3个红球和3个黑球，除颜色外没有其他差异.现采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设A=“第一次摸到黑球”，B=“第二次摸到红球”，则A与B的关系为(

)A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.相等3.在二项式(x−2x)5的展开式中，含xA.−10 B.5 C.10 D.404.国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为(

)A.65 B.125 C.780 D.15605.设0<a<2，随机变量X的分布列为X0a2P111当随机变量X的方差D(X)取得最小值时，a=(

)A.13 B.12 C.236.(x2+1)(x−2)10A.2 B.0 C.−2 D.−47.排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为(

)A.1481 B.13 C.17818.对于函数f(x)=lnxx，下列说法错误的是(

)A.f(x)在x=e处取得极大值1eB.f(x)有两个不同的零点

C.f(2)<f(π)<f(3)D.若f(x)<k−1x在二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下面几种概率是条件概率的是(

)A.甲、乙两人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率

B.猎人打猎时，有一猎物在100米处，第一次击中的概率是50%，在第一次没有击中的情况下，猎物逃跑到150米处，第二次击中的概率

C.一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，则这个家庭在有一个小孩是女孩的条件下，另一个是男孩的概率

D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是2510.下列说法正确的是(

)A.设随机变量X等可能取1，2，3，⋯，n，如果P(X<4)=0.3，则n=10

B.若随机变量ξ的概率分布为P(ξ=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4)，且a是常数，则a=34

C.已知An3=11.对于函数f(x)=2lnxx2，下列说法正确的有A.f(x)在x=e处取得极大值1e

B.f(x)只有一个零点

C.f(π)>f(2)

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=x3−2lnx，那么f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

13.在(3x−3x14.已知随机变量X的分布列为：XmnP1a其中m>0，n>0，若E(X)=1，则1m+四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

有

4名男生和2名女生排成一排，下列各种情况分别有多少种排法？

(Ⅰ)

男生甲不站排头和排尾．

(Ⅱ)

两名女生必须相邻．

(Ⅲ)

甲、乙、丙三名同学两两不相邻．

(Ⅳ)

甲不站排头，乙不站排尾．16.(本小题15分)

已知函数f(x)=exx−ax−alnx．

(1)当a=0时，求函数f(x)在[117.(本小题15分)

在一个盒子中有大小与质地相同的10个球，其中5个红球，5个白球，两人依次不放回地各摸个1球，求：

(1)在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率；

(2)第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球的概率．18.(本小题17分)

某学校对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核我合格，授予1个学分；考核为优秀，授予2个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45,23,23，他们考核所得的等次相互独立．

(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ax−1−lnx(a∈R)．

(1)若a=2，求f(x)在[1e,e]上的最大值和最小值；

(2)若a=1，当x>1时，证明：xlnx>f(x)恒成立；

(3)若函数f(x)在x=1处的切线与直线l：x=1垂直，且f(x)+xlnx+k>kx−1−lnx对任意的x∈(1,+∞)恒成立，求k答案解析1.【答案】D

【解析】解：由题意得f(5)=−10+8=−2，f′(5)=−2．

故选：D．

利用导数的几何意义得到f′(5)等于直线的斜率−2，由切点横坐标为5，得到纵坐标即f(5)．

本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．2.【答案】C

【解析】解：根据题意，采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设A=“第一次摸到黑球”，B=“第二次摸到红球”，

根据互斥事件、对立事件的定义可知A与B的关系不是互斥与对立，

而A与B两个事件发生互不影响，故A与B的关系为相互独立事件．

故选：C．

根据相互独立事件的概念可解．

本题考查相互独立事件的概念，属于基础题．3.【答案】C

【解析】解：由题意，二项式(x−2x)5展开式的通项公式为Tr+1=C5rx5−r(−2)rx−r=(−2)rC5rx5−2r，r=0，1，2，3，4，4.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了排列组合的简单应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．

6个人先分成4组再进行排列，最后用分步乘法计数原理即可求解．【解答】

解：先将6个人分成4组，有两种方案：“2+2+1+1”，“3+1+1+1”，

故有C62C42C21C11A22A225.【答案】B

【解析】解：将表格数据代入期望公式和方差公式可得：E(X)=0×12+a×13+2×16=a+13，

D(X)=(0−a+13)2×12+(a−a+13)2×16.【答案】C

【解析】解：已知(x2+1)(x−2)10=a0(x−1)12+a1(x−1)11+…+a11(x−1)1+a12，

令x=1，得a127.【答案】C

【解析】解：解法一：乙队获胜可分为乙队以3：0或3：1或3：2的比分获胜．

乙队以3：0获胜，即乙队三场全胜，概率为C33×(13)3=127；

乙队以3：1获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为C32×(13)2×23×13=227；

乙队以3：2获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为C42×(13)2×(23)2×8.【答案】B

【解析】解：f′(x)=1−lnxx2，x>0，令f′(x)=0，得x=e，

当0<x<e时，f′(x)>0，当x>e时，f′(x)<0，

所以函数f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，

所以当x=e时，函数取得极大值，极大值为f(e)=1e，故A正确；

由f(x)=0，得lnx=0，解得x=1，即函数f(x)只有一个零点，故B错误；

因为f(4)=ln44=ln22=f(2)，f(3)>f(π)>f(4)，故f(2)<f(π)<f(3)成立，故C正确；

若f(x)<k−1x在(0,+∞)上恒成立，则k>lnxx+1x，

设ℎ(x)=lnxx+1x，x>0，则ℎ′(x)=−lnxx2，

当0<x<1时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，当x>1时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，

所以当x=1时，函数ℎ(x)取得极大值，同时也是最大值为ℎ(1)=1，

所以k>1，故D正确．

故选：B．

对于A：求导得f′(x)=1−lnxx2，分析f(x)的单调性，进而可得f(x)的极值，即可判断A是否正确；

对于B：由f(x)=0，可求得x的值，即可判断B是否正确；

对于C：根据题意可得f(2)=f(4)，又f(x)9.【答案】BC

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，要求计算两人同时投篮命中这一事件的概率，并没有涉及到一个事件在另一个事件已经发生的条件下的概率，所以它不是条件概率；

对于B，此概率是在“第一次没有击中”这个事件已经发生的条件下，计算第二次击中的概率，符合条件概率的定义，所以它是条件概率；

对于C，这是在“有一个小孩是女孩”这个事件已经发生的条件下，去求另一个小孩是男孩的概率，符合条件概率的定义，所以它是条件概率；

对于D，要求计算小明上学遇到红灯这一普通事件的概率，没有体现出一个事件在另一个事件已发生条件下的概率，所以它不是条件概率．

故选：BC．

条件概率是指事件A在事件B已经发生的条件下发生的概率，我们需要根据这个定义，对每个选项进行分析，判断其是否为条件概率．

本题考查条件概率的定义，属于基础题．10.【答案】ACD

【解析】解：对于A，X所有可能取值为1，2，3，⋯，n，

所以P(X=i)=1n(i=1,2,⋯,n)，

P(X<4)=3n=0.3，n=10，A正确；

对于B，ξ的分布为P(ξ=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4)，

则a1×2+a2×3+a3×4+a4×5=a(1−15)=4a5=1，解得a=54，B错误；

对于C，因为An3=Cn4，根据排列数和组合数公式可得n(n−1)(n−2)=n(n−1)(n−2)(n−3)4!，解得n=27，11.【答案】ABC

【解析】解：A，已知f(x)=2lnxx2，因此f′(x)=2−4lnxx3，x∈(0,+∞)，

令f′(x)=2−4lnxx3=0，解得x=e，

当0<x<e时，f′(x)>0，f(x)在(0,e)上单调递增，

当x>e时，f′(x)<0，f(x)在(e,+∞)上单调递减，

f(x)在x=e上取得极大值，极大值f(e)=1e，因此A选项正确；

B，由A选项知，f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，

其中f(1e)=−2e2<0，f(e)=1e>0，

当x>1时，f(x)=2lnxx2>0恒成立，

由零点存在性定理得(1e,e)上存在唯一零点，

因此f(x)只有一个零点，因此B选项正确；

C，因为f(x)在(e,+∞)上单调递减，e<π<4，

因此f(π)>f(2)，因此C选项正确；

D，当f(x)<k−1x2在(0,+∞)上恒成立，即2lnx+1x2<k在(0,+∞)上恒成立，

令g(x)=2lnx+1x2，因此12.【答案】x−y=0

【解析】解：函数f(x)=x3−2lnx的导数为f′(x)=3x2−2x，

可得f(x)在点(1,1)处的切线的斜率为3−2=1，

切线的方程为y−1=x−1，

即为x−y=0．

故答案为：13.【答案】252

【解析】解：∵在(3x−3x)n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，

∴2n=256，解得n=8，

∴(3x−3x)8中，Tr+1=C8r(3x)8−r(−3x)r=(−3)rC14.【答案】1+2【解析】解：由分布列性质可知a=23，

所以E(X)=m3+2n3=1，

所以1m+1n=(1m+1n)(m3+2n3)=1+2n3m+m15.【答案】解：(Ⅰ)∵甲不站排头也不站排尾，

∴甲要站在除去排头和排尾的四个位置，

余下的五个位置使五个元素全排列，

根据分步计数原理知共有A41A55=480种；

(Ⅱ)

两名女生必须相邻，利用捆绑法，有A22A55=240种；

(Ⅲ)∵甲、乙、丙不相邻，

∴可以采用甲，乙和丙插空法，

首先排列除去甲，乙和丙之外的三个人，有A33种结果，

再在三个元素形成的四个空中排列3个元素，共有A【解析】(Ⅰ)甲不站排头也不站排尾，甲要站在除去排头和排尾的四个位置，余下的五个位置使五个元素全排列，根据分步计数原理得到结果．

(Ⅱ)

两名女生必须相邻，利用捆绑法；

(Ⅲ)甲、乙、丙不相邻，可以采用甲，乙和丙插空法，首先排列除去甲，乙和丙之外的三个人，有A33种结果，再在三个元素形成的四个空中排列3个元素，共有A43，根据分步计数原理得到结果．

(Ⅳ)16.【答案】极小值为e，无极大值；

f(x)的单调递增区间为(0,ln2)，(1,+∞)，单调递减区间为(ln2,1)．

【解析】(1)因为函数f(x)=exx−ax−alnx，

所以，当a=0时，函数f(x)=exx，其定义域为[12,2]，则f′(x)=ex(x−1)x2(12≤x≤2)，

令f′(x)=0，解得x=1，

当12<x<1时，f′(x)<0，当1<x<2时，f′(x)>0，

所以f(x)在(12,1)单调递减，在(1,2)单调递增，

所以f(x)在[12,2]上的极小值为f(1)=e，无极大值；

(2)当a=2时，函数f(x)=exx−2x−2lnx，其定义域为(0,+∞)，

则f′(x)=(ex−2)(x−1)x2，

令f′(x)=(ex−2)(x−1)x2=0，解得x=ln2或17.【答案】解：(1)设事件A表示：第一个人摸出红球，B表示：第二个人摸出白球，

第一个人摸出1个红球后，盒子中还有9个球，其中4个红球，5个白球，

故在第一个人摸出1个红球的条件下，第二个人摸出1个白球的概率P(B|A)=59；

(2)设事件A表示：第一个人摸出红球，B表示：第二个人摸出白球，

事件：第一个人摸出1个红球，且第二个人摸出1个白球即事件AB，

所以P(AB)=【解析】(1)根据条件概率的定义求解；

(2)利用古典概型的概率公式求解．

本题主要考查了条件概率的定义，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．18.【答案】解：(1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，

“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件D．

则P(D)=1−P(A−B−C−)=1−P(A−)P(B−)P(C−)

=1−15×13×13

=4445．

(2)由题意，得XX3456P18416E(X)=3×145【解析】(1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件D.由此利用P(D)=1−P(A−B−C−)，能求出在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率．

(2)由题意，得X的可能取值是3，4，519.【答案】(1)解：当a=2时，f(x)=2x−1−lnx，f′(x)=2x−1x(x>0)，

当x∈(0,12)时，f′(x)<0，f(x)在(0,12)单调递减；

当x∈(12,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(12,+∞)单调递增；

故f(x)在[1