2024-2025学年辽宁省朝阳市建平高中高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省朝阳市建平高中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=i3−1(i是虚数单位)的共轭复数z在复平面内对应的点在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.某团队尝试用回归模型甲、乙、丙、丁描述人的1000米跑步成绩与肺活量的关系，已知模型甲、乙、丙、丁对应的决定系数R2分别为0.14，0.17，0.72，0.45，则拟合效果最好的模型是(

)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁3.设抛物线的方程为y=4x2，则其准线方程为(

)A.x=−116 B.x=−1 C.y=−14.以A，B分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若P(A)=0.2，P(B)=0.1，P(A|B)+P(B|A)=0.75，则这两个村庄同时发生停电事件的概率为(

)A.0.03 B.0.04 C.0.06 D.0.055.记单调递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2且A.70 B.65 C.55 D.506.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是(

)A.若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α/​/β

B.若α⊥β，m⊥β，则m/​/α

C.若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n⊥β

D.若m//α，m⊂β，α∩β=n，则m//n7.直线mx+y−m−1=0被圆x2+y2A.10 B.23 C.48.如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为43，侧棱长为25，点P在侧面A.2

B.22

C.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在△ABC中，AB=3，AC=1，B=π6，则△ABCA.32 B.1 C.310.设椭圆C：x22+y2=1的左右焦点为F1，FA.|PF1|+|PF2|=22

B.离心率e=62

11.已知函数f(x)=x+2x3+4A.函数f(x)在(−∞,−1)上单调递增

B.函数f(x)在(1,+∞)上单调递减

C.函数f(x)的极小值为13

D.若f(x)=m有3个不等实根x1，x2，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5=3，S13.已知x(a−x)6的展开式中含x2的项的系数为−192，则a=14.设函数f(x)=ln(ax+b)−x(a,b∈R)，若f(x)≤0恒成立，则a−b的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=π4，a=32b．

(1)求sinB的值；

(2)若a=616.(本小题15分)

面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节，某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分．

(1)若一共有200人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布N(60,144)，规定X≥84为达标，求进入面试环节的人数大约为多少(结果四舍五入保留整数)；

(2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为12，后两题答对的概率均为13，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望．

附：若X～N(μ,σ2)(σ>0)，则P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.683，P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0.95417.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面PAB，AP⊥BP，M是PB的中点．

(1)证明：DP/​/平面AMC；

(2)若AB=2，AD=1，AP=3，求平面PCD与平面AMC18.(本小题17分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1过点M(3,4)，左、右顶点分别为A，B，直线MA与直线MB的斜率之和为3．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)过双曲线右焦点F2的直线l交双曲线右支于P，Q(P在第一象限)两点，19.(本小题17分)

已知函数f(x)=xex−12x2−ax(a∈R)，g(x)=2xlnx+1．

(1)求g(x)的极值；

(2)若f(x)恰有3个零点，求a的取值范围；

答案解析1.【答案】B

【解析】解：∵i3=−i，

∴z=i3−1=−1−i，

∴z−=−1+i，

其对应点(−1,1)2.【答案】C

【解析】解：已知模型甲、乙、丙、丁对应的决定系数R2分别为0.14，0.17，0.72，0.45，

又R2越大，模型的拟合效果越好，因为0.72>0.45>0.17>0.14，

所以模型丙拟合效果最好．

故选：C．

线性回归模型中R2越接近13.【答案】C

【解析】解：由题意，抛物线的标准方程为x2=14y，

∴p=18，开口朝上，

∴准线方程为y=−1164.【答案】D

【解析】解：根据题意，P(A|B)+P(B|A)=0.75，则P(AB)P(B)+P(AB)P(A)=0.75，

又P(A)=0.2，P(B)=0.1，变形可得10P(AB)+5P(AB)=0.75，

所以P(AB)=0.05．

故选：D5.【答案】B

【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，

由题意可知，d>0，

a1=2且a1a5=a2a3，

则2(2+4d)=(2+d)(2+2d)，解得d=1，

故S6.【答案】D

【解析】解：已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，

对于A：若m⊂α，n⊂α，m//β，n/​/β，

当m/​/n时，不能推出α/​/β，

故A错误；

对于B：直线m可能在平面α内，

故B错误；

对于C：若m⊥n，α⊥β，m⊥α，

则n与β垂直、平行，相交不垂直或n⊂β，

故C错误；

对于D：若m/​/α，m⊂β，α∩β=n，则m/​/n，

故D正确．

故选：D．

根据面面平行判定定理、线面平行的性质定理及线线、线面、面面关系逐一分析即可．

本题考查了空间点、线、面的位置关系，属基础题．7.【答案】C

【解析】解：由题意圆方程x2+y2+2x−8=0配方得(x+1)2+y2=32，

所以圆心为(−1,0)，半径r=3，

直线mx+y−m−1=0化简可得直线y=m(1−x)+1，

所以直线过定点(1,1)，因为定点和圆心的距离(−1−1)2+8.【答案】B

【解析】解：如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，取B1C1的中点Q，连接PQ，A1Q，

因为正三角形A1B1C1，所以A1Q⊥B1C1，

又因为CC1⊥平面A1B1C1，

且A1Q⊂平面A1B1C1，

所以CC1⊥A1Q，

又因为CC1∩B1C1=C1，CC1，B1C1⊂平面BB1C1C，

所以A1Q⊥平面BB1C1C，

而BP⊂平面BB1C1C9.【答案】AD

【解析】解：∵AB=3，AC=1，B=π6，

∴由正弦定理可得：ABsinC=ACsinB，

∴sinC=AB⋅sinBAC=32，

∴C=π3，A=π2，S=12AB⋅10.【答案】AD

【解析】解：由椭圆C：x22+y2=1可知，a=2，b=1，c=1，

所以左、右焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)，

根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=22，故A正确；

离心率e=ca=22，故B错误；

所以△PF1F2面积的最大值为12×2c×b=bc=111.【答案】BCD

【解析】解：对于A，f′(x)=x3+4−3x2(x+2)(x3+4)2=−2(x+1)(x2+2x−2)(x3+4)2=−2(x+1)(x+3+1)(x−3+1)(x3+4)2，x≠3−4，

令f′(x)>0，解得x∈(−∞,−3−1)，

令f′(x)<0，解得x∈(−3−1,3−4)∪(3−4,−1)，

则函数f(x)在(−∞,−3−1)上单调递增，在(−3−1,3−4),(3−4,−1)上单调递减，故A错误；

对于B，在(1,+∞)12.【答案】21

【解析】解：因为Sn为等比数列{an}的前n项和，

所以S5，S10−S5，S15−S10为等比数列，

故3(S1513.【答案】2

【解析】解：已知x(a−x)6的展开式中含x2的项的系数为−C61⋅a5=−192，∴a=2，

故答案为：2．14.【答案】−1【解析】解：因为f(x)=ln(ax+b)−x，所以ax+b>0，

即x>−ba(a≠0)，

对函数求导得：f′(x)=aax+b−1=a−b−axax+b=−ax−a+bax+b．

①当a=0时，b>0，此时f′(x)=−1，那么函数f(x)在R上单调递减．

要使得f(x)≤0，则f(x)=lnb−x≤0，

即x≥lnb并不恒成立，

所以a≠0；

②当a>0时，令f′(x)>0，则ax−a+b<0，

即−ba<x<a−ba，

所以此时函数在(−ba,a−ba)上单调递增；

令f′(x)<0，则ax−a+b>0，即x>a−ba，

所以此时函数在(a−ba,+∞)上单调递减；

此时函数在x=a−ba处取得最大值，为f(a−ba)=ln(a⋅a−ba+b)−a−ba=lna−a−ba．

要使得f(x)≤0恒成立，

则lna−a−ba≤0，a−ba≥lna，

即b≤a−alna，

此时a−b=a−(a−alna)=alna．

令g(a)=alna，a>0，

求导得g′(a)=lna+1，

令g′(a)=lna+1=0，解得a=1e，

因为a>0，所以当a>1e时，g′(a)>0，

所以g(a)在(1e,+∞)上单调递增；

当0<a<1e时，g′(a)<0，

所以g(a)在(0,1e)上单调递减，15.【答案】解：(1)因为asinA=bsinB，a=32b，所以sinA=32sinB，

因为A=π4，所以sinB=23×22=23．

(2)因为a=6，所以b=4．

因为b<a【解析】(1)由已知结合正弦定理即可求解sinB的值；

(2)由已知结合同角平方关系可求cosB，然后结合和角正弦公式可求sinC，代入三角形的面积公式即可求解．

本题主要考查了正弦定理及和差角公式，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．16.【答案】解：(1)因为X服从正态分布N(60,144)，所以μ=60，σ=12，84=μ+2σ，

所以P(X≥84)=1−P(μ−2σ<X<μ+2σ)2≈1−0.9542=0.023，

进入面试的人数Z～B(200,0.023)，E(Z)=200×0.023=4.6，

因此进入面试大约为5人；

(2)由题意可知，Y的可能取值为0，2，4，6，

则P(Y=0)=(1−12)×(1−13)2=2【解析】(1)根据正态分布的性质求出P(X≥84)，即可估计人数；

(2)依题意可得Y的可能取值为0，2，4，6，求出所对应的概率，即可求出数学期望．

本题考查了正态分布的应用及离散型随机变量的期望，属于中档题．17.【答案】证明见解析；

57【解析】(1)证明：如图，连接BD，与AC相交于点N，

因为四边形ABCD为矩形，对角线BD，AC相交于点N，则BN=DN，

又因为M是PB的中点，则BM=PM，

因为BN=DN，BM=PM，则MN//DP，

因为MN//DP，DP⊄平面AMC，MN⊂平面AMC，

所以DP/​/平面AMC；

(2)因为平面ABCD⊥平面PAB，AD⊥AB，平面ABCD∩平面ABP=AB，AD⊂平面ABCD，

所以AD⊥平面PAB，

则以AB，AD所在的直线分别为y轴，z轴，过点A，在平面PAB内作AB的垂线为x轴，建立如图所示空间直角坐标系．

由AP=3，AB=2，AP⊥BP，可得∠BAP=π6，可得点P的坐标为(32,32,0)，

各点坐标如下：A(0,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,1)，C(0,2,1)，M(34,74,0)，

设平面PCD的法向量为m=(x1,y1,z1)，由DC=(0,2,0)，PD=(−32,−32,1)，

则m⊥DCm⊥PD，则m⋅DC=2y1=0m⋅PD=−32x1−32y1+z1=0，

取x1=2，y1=0，z1=3，

可得平面PCD的一个法向量为m18.【答案】解：(1)易知双曲线C的左、右顶点分别为A(−a,0)，B(a,0)，

所以kMA+kMB=43+a+43−a=249−a2=3，

解得a2=1，

因为点M(3,4)在双曲线上，

所以9−16b2=1，

解得b2=2，

则双曲线方程为x2−y22=1；

(2)设直线l的方程为x=ty+3，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

联立x=ty+3x2−y22=1，消去x并整理得(2t2−1)y2+43ty+4=0【解析】(1)首先表示出左右顶点，由斜率公式求出a2，将点的坐标代入方程求出b2，即可得解；

(2)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线l的方程为19.【答案】g(x)的极小值为g(1e)=−2e+1，无极大值；

a>【解析】(1)函数g(x)=2xlnx+1的定义域为(0,+∞)，

g(x)=2(lnx+x⋅1x)=2(lnx+1)，2(lnx+1)=0⇒lnx=−1⇒x=e−1=1e，

又因为g′(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g′(x)在(0,1e)小于0，在(1e,+∞)大于0；

所以g(x)在(0,1e)单调递减，在(1e,+∞)单调递增；

所以g(x)的极小值为g(1e)=2⋅1e⋅ln(1e)+1=2⋅1e⋅(−1)+1=−2e+1，无极大值；

(2)函数f(x)=xex−12x2−ax，

可因式分解为：f(x)=x(ex−12x−a)，

显然，x=0是一个零点．零点由x=0和方程ex−12x=a的解组成，

令ℎ(x)=ex−12x，求导：ℎ(x)=ex−12，

令导数为零：ex=12⇒x=−ln2；又因为ℎ(x)在R上单调递增，

所以ℎ′(x)在(−∞,−ln2)小于0，在(−ln2,+∞)大于0，

所以ℎ(x)在(−∞,−ln2)单调递减，在(−ln2,+∞)单调递增，

所以ℎ