2024-2025学年湖南省娄底三中高二（下）期末数学试卷（B卷）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省娄底三中高二（下）期末数学试卷（B卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数(2+1i)(2+i)=A.−5i B.5 C.−3 D.3i2.已知f(x2−1)=2x+3，则f(6)的值为A.15 B.7 C.31 D.173.已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为πA.32 B.12 C.−4.某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度ℎ(单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系式是ℎ(t)=100+1.5t2+4t，设其在t=0s时的瞬时速度为v0，则当其瞬时速度为4vA.3s B.4s C.6s D.8s5.若a=0.20.3，b=0.30.2，c=A.b>c>a B.c>a>b C.a>b>c D.c>b>a6.函数f(x)=ax+b(x+c)2的图象如图所示，则(

)A.a>0，b>0，c>0 B.a<0，b>0，c>0

C.a>0，b>0，c<0 D.a<0，b<0，c<07.已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=4n−3，bn=5n−4，由A.1941 B.1961 C.1981 D.20018.已知函数f(x)=ex+1,x≤02sinx,0<x≤π，若y=f(x)−a(a∈R)有三个零点x1，x2，xA.11π4−1 B.11π4+1 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在等比数列{an}中，a2=2，a6A.−1 B.−2 C.2 D.410.若(2−x)2025=aA.a0=2B.a0+a111.下列说法中，正确的是(

)A.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差

B.关于一元线性回归，若相关系数r=−0.98，则y与x的相关程度很强

C.决定系数R2=1−i=1n(yi−yi)2i=1n(y三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.双曲线C的离心率为2，且双曲线C与圆O：x2+y2=1有且仅有两个交点，则双曲线C13.已知△ABC的面积为3，A=2π3,BA⋅14.若a,b∈{12,2,3,4}，则在“函数f(x)=ln(ax2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosA=acosC+ccosA．

(1)求A；

(2)若sinB=2sinC，证明：△ABC是直角三角形．16.(本小题15分)

某兴趣小组研究发现昼夜温差变化的大小与患感冒人数之间具有较强的线性相关关系，该兴趣小组在惠民医院抄录了2025年2～5月份每月5日期2月5日3月5日4月5日5月5日昼夜温差x(℃)1113128因患感冒就诊人数y(人)25292616(1)求因患感冒到惠民医院就诊的人数y关于昼夜温差x的线性回归方程y​=b​x+a​；

(2)如果8月5日昼夜温差是9℃时，试预测因患感冒到惠民医院就诊的人数(精确到整数)．17.(本小题15分)

在四棱台A1B1C1D1−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，AC=2AA1=2A1C1=2CC1，DD1=BB1，过AC1的平面α分别交BB18.(本小题17分)

设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，过F且垂直于AB的直线交抛物线C的准线l于点E，A，B在直线l上的射影点分别为P，Q，|AB|的最小值为6．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)①求证：|PE|=|EQ|；

②求19.(本小题17分)

设a，b是不同的正数，我们称a−blna−lnb为a，b的对数平均值，且ab<a−blna−lnb<a+b2，该不等式称为“对数平均不等式”．

(1)任意选择“对数平均不等式”的一边给出证明.(注：如果两边都给出证明，按第一个证明计分)

(2)已知函数f(x)=xlnx−12mx2−x(m∈R)有两个极值点x1，x答案解析1.【答案】B

【解析】解：复数(2+1i)(2+i)=(2−i2i)(2+i)=(2−i)(2+i)=4−(−1)=5，故B正确．

2.【答案】C

【解析】解：f(x2−1)=4⋅(x2−1)+7；

∴f(x)=4x+7；

∴f(6)=4×6+7=31．

故选：C．

可根据原函数解析式求出f(x)的解析式，从而带入3.【答案】A

【解析】解：因为函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π2，

所以T=2πω=π2，解得ω=4，f(x)=sin(4x+π34.【答案】B

【解析】解：由题可得：ℎ′(t)=3t+4，

则v0=ℎ′(0)=4，

令3t+4=4v0=16，

得t=4．

故选：B5.【答案】D

【解析】解：根据幂函数y=x0.3在(0,+∞)上单调递增，得0.20.3<0.30.3，

根据指数函数y=0.3x在R上单调递减，得0.30.3<0.30.2<0.30，

所以a<b<1，

又因为y=2x在R6.【答案】C

【解析】解：根据题意，函数f(x)=ax+b(x+c)2，其定义域为{x|x≠−c}，

则有−c>0，即c<0，

又由f(0)=bc2>0，则有b>0，

在区间(−c,+∞)上，f(x)=ax+b(x+c)2>0，则有ax+b>0，必有a>0，

故选：C7.【答案】C

【解析】解：由已知得，{an}是首项为1，公差为4的等差数列，{bn}是首项为1，公差为5的等差数列，

则{cn}是首项为1，公差为20的等差数列，故c100=1+(100−1)×20=1981．

故选：C8.【答案】A

【解析】解：根据函数解析式，可得函数的大致图象如图所示，

由于函数y=f(x)−a(a∈R)有三个零点，因此0<a<2．

令ex+1=2，那么可得x=ln22−1，

由于x1<x2<x3，因此x1<ln22−1<0<x2<π2<x3<π，

又因为ex1+1=2sinx2=2sinx3=a，且x2+x3=π，

那么x1+2x2+3x3=x1−x2+3π．

ex1−9.【答案】BC

【解析】解：因为在等比数列{an}中，a2=2，a6=32，

设等比数列的公比为q，则q4=a110.【答案】BCD

【解析】解：(2−x)2025=a0+a1x+a2x2+⋯+a2025x2025，

令x=0得a0=22025，所以A错误；

令x=1得a0+a1+a2+⋯+a2025=1，所以B正确；

令x=−1得a0−a1+a2−a3+⋯−a2025=32025，

显然a0，a2，a11.【答案】BD

【解析】解：残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，A错误；

相关系数|r|=0.98很接近1，则随机变量y与x的相关程度很强，故B正确；

因为甲的决定系数比乙的决定系数更接近1，甲、乙两个模型的R2分别约为0.98和0.80，

所以模型甲的拟合效果更好，故C错误；

由随机变量方差的性质知加减不改变方差，缩放后方差变为平方倍，故D(η)=9D(ξ)，故D正确．

故选：BD．

根据残差图的意义可判断A的真假；根据相关系数的意义判断B的真假；根据决定系数的意义判断C的真假；根据两个变量之间的关系，求其方差的关系，判断D的真假．

12.【答案】x2−y【解析】解：因为双曲线C的离心率为2，且双曲线C与圆O：x2+y2=1有且仅有两个交点，

根据双曲线和圆都关于原点对称，

故交点在坐标轴上，

当双曲线C的焦点在x轴上时，a=1，因为离心率e=ca=2，所以c=2，则b2=3，

所以双曲线C的标准方程为x2−y23=1．

同理，当双曲线的焦点在y轴上时，a=1，b2=313.【答案】2

【解析】解：由题设12bcsinA=34bc=3，则bc=4，

又BA⋅BC=AB⋅(AB−AC)=AB2−AB⋅AC14.【答案】49【解析】解：若a,b∈{12,2,3,4}，则有序实数对(a,b)表示的所有结果有4×4=16种情况，

记“函数f(x)=ln(ax2+bx+1)的定义域为R”为事件A，Δ=b2−4a<0，

满足这个条件有(12,12),(2,12),(3,12),(4,12),(2,2),(3,2),(4,2),(3,3),(4,3)共9种情况，

所以P(A)=916．

记“函数g(x)=ax−b−x为奇函数”为事件B，

因为g(1)=−g(1)，

则a−1b=−(1a−b)，a−b+1a−1b=(a−b)(ab−1)ab=0，

所以a=b，或15.【答案】A=π3；

【解析】(1)因为2bcosA=acosC+ccosA，

所以由正弦定理得：2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，

即2sinBcosA=sin(A+C)，得2sinBcosA=sinB，

又因为B∈(0,π)，所以sinB≠0，所以2cosA=1，解得cosA=12，

又因为A∈(0,π)，所以A=π3．

(2)证明：因为sinB=2sinC，所以由正弦定理得b=2c，

由余弦定理得：b2+c2−a2=2bccosA，

即(2c)2+c2−a2=2×2c×ccosπ3，

化简得516.【答案】y​=187x−30【解析】(1)根据题意可知，x−=11,y−=24，

i=14xi2=112+132+122+82=498，

i=14xiyi=11×25+13×29+12×26+8×16=1092，

∴b=1092−4×11×24498−4×112=17.【答案】证明见解析；

13013【解析】(1)证明：连接B1D1，MN，

因BD/​/平面α，BD⊂平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面α=MN，所以BD/​/MN，

设B1D1∩A1C1=O1，BD∩AC=O，连接OO1，

由在四棱台A1B1C1D1−ABCD中，平面ABCD//平面A1B1C1D1，

平面ABCD∩平面ACC1A1=AC，平面A1B1C1D1∩平面ACC1A1=A1C1，

因此得AC/​/A1C1，

又由题意知AA1=CC1，因此得四边形ACC1A1是等腰梯形，

所以OO1⊥AC，同理可证OO1⊥BD，

因AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，所以OO1⊥平面ABCD，

又底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，

因此以O为原点，直线OA，OB，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

因为菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，因此BD=2，AC=23，

因此AA1=A1C1=CC1=3，B1D1=1，因此OO1=32，

所以A(3,0,0)，C1(−32,0,32)，B(0,1,0)，D(0,−1,0)，C(−3,0,0)，

因此AC1=(−332,0,32)，BD=(0,−2,0)，CC1=(18.【答案】y2=6x；

①证明见解析；②18【解析】(1)因为抛物线C：y2=2px(p>0)，所以焦点为F(p2,0)，准线l为x=−p2，

如图，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=my+p2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立x=my+p2y2=2px，得y2−2pmy−p2=0，

易知Δ>0，则y1+y2=2pm，y1y2=−p2，

又x1=my1+p2，x2=my2+p2，

所以|AB|=x1+x2+p=m(y1+y2)+2p=2pm2+2p≥2p，当且仅当m=0时取等号，

因为|AB|的最小值为6，所以2p=6，p=3，

所以抛物线的标准方程为y2=6x．

(2)①证明：当AB⊥x轴时，E(−32,0)，|PE|=|EQ|．

当AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为x=my+32，m≠0，

则直线EF的方程为x=−1my+32，

令x=−32，得yE=3m=y1+y22，即E为PQ的中点，所以|PE|=|EQ|．

综上可得，|PE|=|EQ|．

②如图，连接PF，QF，因为kFP=yP−32−32=−y13，kFQ=yQ−319.【答案】证明见解析；

(i)(0,1e)；【解析】(1)证明左边不等式：ab<a−blna−lnb(a>0,b>0)．

证明：不妨设a>b>0，要证上式成立，即证lna−lnb<a−bab成立，即证lnab<ab−ba成立．

令ab=t，t>1，即证2lnt−t+1t<0．

设g(x)=2lnx−x+1x(x>1)，则g′(x)=−(x−1)2x2≤0，所以g(x)在(1,+∞)上单调递减，

所以当t>1时，g(t)<g(1)=0，即2lnt−t+1t<0成立，故原不等式成立．

证明右边不等式：a−blna−lnb<a+b2．

证明：设a>b>0，要证上式成立，即证lna−lnb>2(a−b)a+b成立，即证明lnab−2(ab−1)ab+1>0成立．

令ab=t，t>1，即证lnt−2(t−1)t+1>0．

设g(x)=lnx−2(x−1)x+1，则g′(x)=(x−1)2x(x+1)2≥0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增．

所以当t>1时，g(t)>g(1)=0，即lnt−2(t−1)t+1>0成立，故原不等式成立．

(2)(i)f(x)的定义域为(0,+