2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（湘教版）-12 重难突破二　突破5　最值、范围问题

突破5最值、范围问题处理圆锥曲线中最值、范围问题的方法：(1)几何法：利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；(2)代数法：把要求最值、范围的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数法、不等式法等进行求解.技法一巧用数形结合法求最值(范围)(2020·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(2，3)，点A为其左顶点，(1)求C的方程；(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.解：(1)由题意可知直线AM的方程为y-3=12(x-2)，即x-2y=-4当y=0时，解得x=-4，所以a=4.由椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M可得416+9b2=1，解得b2所以C的方程为x216+y2(2)设与直线AM平行的直线方程为x-2y=m.如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联立x-2y=m，x216+y212=1，化简可得16y2+12my+3m2-48=0，所以Δ=144m2-4×16(3m2-48)=0，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程为x-2y=8，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，即d=|4-(由两点之间的距离公式可得|AM|=(2+4)所以△AMN的面积的最大值为12×35×1255若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用直线与曲线的定义、图形、几何性质来解决.对点练1.(1)已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x-3)2+(y-2)2=1上任意一点，则|MN|-|MF1|A．22-5 B．22-3C．22+1 D．22-1(2)已知过抛物线C：y2=4x的焦点F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点(A在B的右边)，P为C上一点，5AB=8QB，则|PF|+|PQ|的最小值为()A．3 B．113C．133 D．答案：(1)A(2)A解析：(1)如图所示，由题意得|MF1|+|MF2|=4，|MN|≥|ME|-1，当且仅当M，N，E三点共线，且N在线段ME上时取等号，所以|MN|-|MF1|=|MN|-(4-|MF2|)=|MN|+|MF2|-4≥|ME|+|MF2|-5≥|EF2|-5，当且仅当M，N，E，F2共线，且M，N在线段EF2上时取等号，因为F2(1，0)，E(3，2)，所以|EF2|=3-12+2-02=22，所以|MN|-|MF1|的最小值为(2)由题意，得焦点F(1，0)，又因为直线的倾斜角为60°，得斜率k=tan60°=3，故直线AB的方程为y=3(x-1)，联立方程组y=3(x-1)，y2=4x，整理得3x2-10x+3=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2设QxQ，yQ，因为5AB=8QB，所以5(x2-x1)=8x2-xQ，解得xQ=2，过点P作PH垂直准线于点H，根据抛物线的定义，得|PF|+|PQ|=|PH|+|PQ|，当Q，P，H三点共线且与x轴平行时，|PF|+|PQ|有最小值，最小值为|QH|=2+1=3，所以|PF|+|技法二构造函数法求最值(范围)已知点A1-6，0，A26，0，直线PA1，PA2的斜率之积为-16，(1)求曲线C的方程；学生用书⬇第246页(2)若抛物线y2=2px(p>0)与曲线C交于点A，B，设M(-1，0)，求△ABM面积最大时p的值.解：(1)设点P的坐标为(x，y)，显然y≠0.由题意得yx+6·yx化简得x26+y2=1(2)不妨设点A在第一象限，A(x1，y1)，则0<x1<6，0<y1<1，Bx1△ABM的面积S△ABM=12x1+1×2y1因为点A在曲线C上，所以x126+y所以S△ABM=x1令fx=(x+1)1-x26，0<x<6，则f'(x)=由f'(x)=0得x=32，当x∈0，32时，f'(x)>0，f(x)当x∈32，6时，f'(x)<0，f(x)在32，6上单调递减，故当x=32时即当x1=32时，S△ABM有最大值，此时y1=104，抛物线过点32，104函数法求最值(范围)问题就是构建关于变量的目标函数，将问题转化为求函数的最值(或值域)，解决问题时要注意自变量的取值范围.对点练2.如图所示，点A，B分别是椭圆x236+y220=1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.解：(1)由已知可得点A(-6，0)，F(4，0)，设点P的坐标是(x，y)，则AP=x+6，因为PA⊥PF，所以AP·FP=0，则x可得2x2+9x-18=0，得x=32或x=-6由于y>0，故x=32，于是y=5所以点P的坐标是32(2)由(1)可得直线AP的方程是x-3y+6=0，点B(6，0).设点M的坐标是(m，0)，则点M到直线AP的距离是|m+6|2，于是|m+又-6≤m≤6，解得m=2.由椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，得d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-59x2=49x由于-6≤x≤6，由fx=49x-922当x=92时，d取最小值，且最小值为15学生用书⬇第247页技法三利用不等关系求最值(范围)已知F(3，0)是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点，点M(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且kOA+kOB=-12(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围解：(1)由题意，得椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为(根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为3+32+1即2a=4，所以a=2，又因为c=3，可得b=a2-c2=1，所以椭圆C的方程为x24(2)当直线l的斜率为0或不存在时，结合椭圆的对称性可知，kOA+kOB=0，不符合题意.故设直线l的方程为y=kx+m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组y=kx+m，x24+y2=1，可得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0，则x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-14k2+可得m2=4k+1，所以k≥-14，又由Δ>0可得16(4k2-m2+1)>0，所以4k2-4k>0，解得k<0或k>1.综上可得，直线l的斜率的取值范围是-14，寻找不等关系的突破口1.利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围.2.利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系.3.利用隐含的不等关系，从而求出所求范围.4.利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求范围.5.利用函数值域的求法，确定所求范围.对点练3.已知双曲线的焦点在x轴上，中心在原点，离心率为233，且过点(6，1(1)求双曲线的标准方程；(2)双曲线的左、右顶点分别为A，B，且动点C(m，n)，D(m，-n)在双曲线上，直线BC与直线AD交于点P，M(-2，0)，N(2，0)，求PM·PN的取值范围.解：(1)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0联立6a2-1b2=1，c2所以双曲线的标准方程为x23-y2=(2)已知C(m，n)，D(m，-n)，A(-3，0)，B(3，0).当m=±3时，动点P与点A，B重合，当m≠±3时，直线AD：y=n-3-mx+3，直线BC：y=联立两直线方程得y2=n2又因为m23-n2=1，即-3n2=3-m所以y2=-13即点P的坐标(x，y)满足方程x23+y2=又PM·PN=PO+OM·PO-OM=|PO|2-|OM|2=|PO|2-2，|OP|=x2+y2=23x2+1，又因为-3≤x≤3，且x≠0(当x=所以PO∈(1，3]，所以PM·PN∈-1学生用书⬇第248页技法四构造基本不等式求最值(范围)(2024·山东德州二模)已知椭圆Γ：x2a2+y23=1a>0的右焦点为F1，0，过点F且不垂直于坐标轴的直线交Γ于A，B两点，(1)求证：点Q在定直线上，并求出该直线方程；(2)设点M为直线OQ上一点，且AB⊥AM，求AM的最小值.解：(1)证明：由题意可知，a2-3=1，所以a2=4，所以椭圆方程为x24+y2设直线AB方程为y=kx-1k≠0，A联立x24+y23=1，y=kx-1，消去y可得3所以x1+x2=8k23+4k2，因为过点A的切线为x1x4+y1y3=1，过点B的切线为由对称性可得，点Q处于与x轴垂直的直线上.法一：联立x1x4+y1y3将y1=kx1-1，y2=kx2-1代入上式得xQ=所以Q点在直线x=4上.法二：因为点QxQ，yQ在两切线上，所以x1xQ4+y1所以直线AB的方程为xQ4x+yQ3又直线AB过点F1，0，所以xQ4×1+yQ3×0=1，所以Q点在直线x=4上.(2)将x=4代入x1x4+y1y3=1得，yQ=3直线OQ的方程为y=-34k设直线AB和OQ交于点P，联立y=kx-1，又xP=4k23+4k2=12·8k因为AB=1+k2x1所以AP=6k又因为tan∠APM=k+34k1所以AM=4k2+3k·AP=4k2+当且仅当k=±1时，等号成立，故AM的最小值为12.构造基本不等式求最值的步骤对点练4.椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意知c所以c=2，b=1，所以所求椭圆方程为x23+y2=(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y=kx+m.由已知|m|1+k2=32把y=kx+m代入椭圆方程并整理，得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0，Δ=36k2m2-4(3k2+1)(3m2-3)=36k2-12m2+12>0.所以x1+x2=-6km3k2+1，所以|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)36=12=3=3+12k29k4+6|AB|2=3+129k2+1k2当且仅当9k2=1k2，即k=±3当k=0时，|AB|=3，综上所述，|AB|max=2.所以当|AB|最大时，△AOB的面积取得最大值(S△AOB)max=12×|AB|max×32=课时测评72最值、范围问题对应学生(时间：60分钟满分：100分)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!)(每小题8分，共24分)1.已知F为抛物线C：y2=6x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为()A．24 B．22 C．20 D．16答案：A解析：设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，由抛物线的性质及题意可得|AB|=61+1k12，|DE|=61+1k22，所以|AB|+|DE|=61+1k12+61+1k22=12+61k12+1k22.又因为l1⊥l2，所以k1·k2=-1，所以|AB|+|2.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0)，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过C，B分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a答案：(-1，0)∪(0，1)解析：设渐近线的斜率为k.如图，因为AB⊥BD，且BF⊥AD，所以|BF|2=|AF|·|DF|，因为A(a，0)，F(c，0)，所以Bc，b2a，则|DF|=|BF|2|AF|=b4a2c-a，又因为D到直线BC的距离即为|DF|，所以b4a2c-a<a+c，即b4<a2(c2-a2)，又知b2=c2-a2，所以b4<a2b2，即b2<a2，所以b2a2<1，所以k2<1，解得-1<3.过原点的直线与双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)相交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AF·BF=0，|BF|答案：(1，1+3]解析：由题意知A，B两点关于原点对称，原点为线段AB的中点，因为点F为双曲线的右焦点，且满足AF·BF=0，所以△ABF为直角三角形，且|AO|=|OB|=|OF|=c，设∠BAF=α，则|AF|=2ccosα，|BF|=2csinα，设双曲线的左焦点为F1，连接AF1，BF1，因为原点为线段F1F的中点，所以四边形AFBF1为矩形，即|AF1|=|BF|，所以，由双曲线定义可知，|AF1|-|AF|=|BF|-|AF|=2a，即2c(sinα-cosα)=2a．因为|BF||AF|≥3，所以tanα≥3，因为α是锐角，所以α∈π3，π2，所以e=ca=1sinα-cosα=12sinα-π4.因为α∈π3，π2，所以α-π4∈π12，π4，sinα-π4.(18分)(2023·全国甲卷)已知直线x-2y+1=0与抛物线C：y2=2px(p>0)交于A，B两点，|AB|=415.(1)求p；(6分)(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且FM·FN=0，求△MFN面积的最小值.(12分)解：(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由x-2y+1=0y2=2px可得所以yA+yB=4p，yAyB=2p，所以|AB|=(xA-xB)2+(yA-yB)2=5即2p2-p-6=0，因为p>0，解得p=2.(2)因为F(1，0)，显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x=my+n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由y2=4xx=my+n可得，y2所以y1+y2=4m，y1y2=-4n，Δ=16m2+16n>0⇒m2+n>0，因为FM·FN=0，所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0，即(my1+n-1)(my2+n-1)+y1y2=0，即(m2+1)y1y2+m(n-1)(y1+y2)+(n-1)2=0，将y1+y2=4m，y1y2=-4n代入得，4(m2+n)=(n-1)2>0，4m2=n2-6n+1，所以n≠1，且n2-6n+1≥0，解得n≥3+22或n≤3-22.设点F到直线MN的距离为d，所以d=|n|MN|=(x1-x2)2+(y1=1+m24(n-1)所以△MFN的面积S=12×|MN|×d=12×21+m2|n-1|×|n-1而n≥3+22或n≤3-22，所以当n=3-22时，△MFN的面积Smin=(2-22)2=12-82.5.(18分)(2024·山东日照模拟)已知椭圆M：x2a2+y23=1(a>3)的一个焦点为F(-1，0)，左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于(1)当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；(6分)(2)设△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1-S2|的最大值.(12分)解：(1)由题意得，c=1，b2=3，所以a2=4，所以椭圆M的方程为x24+y2易求直线l的方程为y=x+1，联立方程，得x消去y，得7x2+8x-8=0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，Δ=288，x1+x2=-87，x1x2=-8所以|CD|=2|x1-x2|=2·(x1+(2)当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=-1，此时△ABD与△ABC的面积相等，|S1-S2|=0；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k(x+1)(k≠0)，联立方程，得x24+整理得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0，Δ>0，且x1+x2=-8k23+4k2，此时|S1-S2|=2||y2|-|y1||=2|y2+y1|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|kx2+x1+2k因为k≠0，所以上式=123|k|+4|k|≤1223|k|·所以|S1-S2|的最大值为3.6.(20分)(2024·江西吉安模拟)已知点M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆C：x2a2+y2=1(a>1)上，直线OM，ON的斜率之积是-13，且x12(1)求椭圆C的方程；(8分)(2)若过点Q(0，2)的直线与椭圆C交于A，B两点，且|QB|=t|QA|(t>1)，求t的取值范围.(12分)解：(1)椭圆方程改写为x2+a2y2=a2，点M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，有a2y12=a2-x12，a2y22两式相乘，得a4y12y22=a2-x12a2-x由x12+x22=a2，得a4由直线OM，ON的斜率之积是-13得y1y2x1x2=-1所以a4=9，则a2=3，则椭圆C的方程为x23+y2=(2)若直线斜率不存在，则有A(0，1)，B(0，-1)，此时t=3；当过点Q(0，2)的直线斜率存在，设直线方程为y=kx+2，由y=kx+2，x23+y2=1，消去y，整理得(1+3k2)x2+12所以Δ=(12k)2-4×9×(1+3k2)=36k2-36>0，解得k2>1.设Ax'1，y'1，Bx'2，y'2，|QB|=t|QA|(t由根与系数的关系得x消去x'1，得t1+t由k2>1，得0<