江西省上饶市2020-2021学年高二上学期期末质量测试数学（理）试题含答案

上饶市2020—2021学年度上学期期末教学质量测试高二数学（理科）试题卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某校高三年级有学生500人，为了调查某次考试数学成绩情况，现将学生数学成绩按001,002,003，…，500随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本（等距抽样），已知抽得第一组的编号为003号，则抽得第3组的编号是（）A．013B．023C．033D．0432．已知向量的夹角为，，，则（）A．B．3C．D．123．设样本数据，，，…，，的均值和方差分别为和，若()，则，，，…，，的均值和方差分别为（）A．，B．， C．，D．，4．的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，的面积为2，则（）A．B．或C．D．或5．若满足约束条件，则的最大值是（）A．2B．3C．4D．56．的展开式中项的系数为（）A．30B．35C．20D．2583832412344467586140735879甲乙A．56B．57C．58D．598．在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：x4681012y3由表中数据求得y关于x的回归直线方程，则，，，这四个样本点中，距离回归直线最近的点是（）A．B．C．D．9．《易经》是中国传统文化中的精髓．如图是易经后天八卦图，每一卦由三根线组成（“___”表示一根阳线，“__”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目之和为3的概率是（）A．B．C．D．10．将底面各边边长均不相等的四棱锥S﹣ABCD的每一个面都染上一种颜色，并使有公共边的两个面异色，现有5种颜色可供使用，则不同的染色方法有（）A．420种B．360种C．480种D．320种11．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠8小时，假定它们在同一昼夜时间段中随机地到达且期间无其它轮船停靠，则这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是（）A．B．C．D．OPNMCBA12．在中，点是的中点，，线段与交于点，动点在内部活动（不含边界），且，其中，则的取值范围是（）OPNMCBAA．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．输出xx=x+1输出xx=x+1是x=1否开始结束14．某学校随机抽查了本校20个学生，调查他们平均每天进行体育锻炼的时间（单位：min），根据所得数据，以5为组距将数据分为8组，分别是[0，5），[5，10），…，[35，40]，作出频率分布直方图如图所示，则以各组中值为组平均值可估计这20个学生的每天平均锻炼时间为分钟．15．已知实数满足，若恒成立，则实数的取值范围是．16．现有学号分别为1号、2号、3号、……、9号的9位同学依次站成一排，老师请他们从1号同学开始依次从如右图所示的装有标号为1至9号球的三个圆柱形容器中随意选择一个有球的容器并取出最上面的一个球，再根据自己手中所拿球的号码，按照球号从小到大的顺序从左到右重新站成一排，则所有可能的不同站法有种（用数字作答）．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知向量，．（1）若时，求的值；（2）若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围．18．（本小题满分12分）从包括，两人的7个人中选出5人排成一排．（1）若任意选5人，有多少种不同的排法？（2）若，两人中有且只有一人在内，有多少种不同的排法？（3）若，两人都在内且，不相邻，有多少种不同排法？（4）若排头和排尾不允许站，正中间（第三位）不允许站，有多少种不同的排法？19．（本小题满分12分）2020年4月底，随着新冠疫情防控进入常态化，为了促进消费复苏增长，上饶市开展“五一消费黄金周”系列活动，并发放亿元电子消费券．活动过后，我们随机抽取了50人，对是否使用过电子消费券进行调查，结果如下表：年龄(单位：岁)抽取人数2101312103使用过消费券的人数1913861若以“年龄40岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为使用电子消费券与按照40岁为分界点的人的年龄有关．年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数合计使用过消费券的人数没有使用消费券的人数合计参考数据：，其中．20．（本小题满分12分）某市交警大队在辖区内开展“机动车不礼让行人整治行动”．下表是该市一主干路口监控设备抓拍的5个月内“机动车驾驶员在斑马线前不礼让行人”行为统计数据：月份34567斑马线前不礼让行人的机动车驾驶员人数170140125115100（1）请利用所给数据求该路口在斑马线前不礼让行人的机动车驾驶员人数与月份之间的回归直线方程；（2）预测该路口9月份斑马线前不礼让行人的机动车驾驶员人数；（3）预测经过整治后该路口到哪个月份开始可以使斑马线前不礼让行人的机动车驾驶员人数不多于50人．参考公式：，．21．（本小题满分12分）某位病人为了维持身体的健康状态，需要长期服用药物类营养液以补充食物难以提供的两种微量元素和.根据医学建议：病人每天微量元素的摄入量应控制在（单位：微克），微量元素的摄入量应控制在（单位：微克）.目前，市面上可供选择的营养液主要是和.已知1毫升营养液中含微量元素是30微克，含微量元素是10微克，每毫升费用5元；1毫升营养液中含微量元素是15微克，含微量元素是20微克，每毫升费用4元．（1）若该病人每天只吃单价较便宜的营养液，判断他的两种微量元素的摄入量能否同时符合医学建议，并说明理由；（2）如果你是医生，为了使得该病人两种微量元素的摄入量同时符合医学建议，且每天所需的费用最低，应该推荐病人每天服用营养液和营养液各多少毫升？该病人每天所需的营养液最低费用是多少元？22．（本小题满分12分）某商场调研了一年来日销售额的情况，日销售额ξ（万元）服从正态分布．为了增加营业收入，该商场开展“游戏赢奖券”促销活动，购物满300元可以参加1次游戏，游戏规则如下：有一张共10格的方格子图，依次编号为第1格、第2格、第3格、……、第10格，游戏开始时“跳子”在第1格，顾客抛掷一枚均匀的硬币，若出现正面，则“跳子”前进2格（从第k格到第k+2格），若出现反面，则“跳子”前进1格（从第k格到第k+1格），当“跳子”前进到第9格或者第10格时，游戏结束．“跳子”落在第9格可以得到20元奖券，“跳子”落在第10格可以得到50元奖券．（1）根据调研情况计算该商场日销售额在8万元到14万元之间的概率；（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．）（2）记“跳子”前进到第n格（1≤n≤10）的概率为Pn，证明：（2≤n≤9）是等比数列；（3）求某一位顾客参加一次这样的游戏获得奖券金额的期望．上饶市2020—2021学年度上学期期末教学质量测试高二数学（理科）试题卷参考答案及评分标准（客观题详解版）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．BCDBB，DCCAA，AD1．某校高三年级有学生500人，为了调查某次考试数学成绩情况，现将学生数学成绩按001,002,003，…，500随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本（等距抽样），已知抽得第一组的编号为003号，则抽得第3组的编号是（）A．013B．023C．033D．043【答案】B1．解：样本容量为50，样本间隔为，故选：B．2．已知向量的夹角为，，，则（）A．B．3C．D．12【答案】C2．解：向量与的夹角为，，，∴，故选：C．3．设样本数据，，，…，，的均值和方差分别为和，若()，则，，，…，，的均值和方差分别为（）A．，B．， C．，D．，【答案】D3．解：设样本数据的均值为，方差为，则新样本的均值为，方差为，故选：D．4．的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，的面积为2，则（）A．B．或C．D．或【答案】B4．解：，∴，∵，∴，∴，∴或，故选：B．5．若满足约束条件，则的最大值是（）A．2B．3C．4D．5【答案】B5．解：目标函数转化为，由满足约束条件，画出可行域，易得在点处目标函数取得最大值为3，故选：B．6．的展开式中项的系数为（）A．30B．35C．20D．25【答案】D6．解：展开式中项为：，故选：D．832412832412344467586140735879甲乙A．56B．57C．58D．59【答案】C7．解：甲的中位数为（32+34）/2=33，乙的中位数为（23+27）/2=25，所以，中位数之和为58，故选：C．8．在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：x4681012y3由表中数据求得y关于x的回归直线方程，则，，，这四个样本点中，距离回归直线最近的点是（）A．B．C．D．【答案】C8．解：根据回归直线方程的性质可知，平均值点在回归直线上，离回归直线最近．故选：C．（回归直线方程为y=0.46x-0.68，其它样本点都不在回归直线上）9．《易经》是中国传统文化中的精髓．如图是易经后天八卦图，每一卦由三根线组成（“___”表示一根阳线，“__”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目之和为3的概率是（）A．B．C．D．【答案】A9．解：从八卦中任取两卦，基本事件总数，这两卦的阳线数目之和为3的基本事件有1+3*3=10种，这两卦的阳线数目之和为3的概率为．故选：A．10．将底面各边边长均不相等的四棱锥S﹣ABCD的每一个面都染上一种颜色，并使有公共边的两个面异色，现有5种颜色可供使用，则不同的染色方法有（）A．420种B．360种C．480种D．320种【答案】A10．解：先染底面，有种；再染四个侧面，有种；所以，共有种不同的染色方法．故选：A．11．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠8小时，假定它们在同一昼夜时间段中随机地到达且期间无其它轮船停靠，则这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是（）A．B．C．D．【答案】A11．解：设甲到达的时刻为x，乙到达的时刻为y，则所有基本事件构成的平面区域为乙船到达时间甲船到达时间，设“这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待”为事件A，则事件A包含的基本事件构成的平面区域为，如图中阴影部分所示．由几何概型概率公式得，即这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为，选A．乙船到达时间甲船到达时间OPNMCBA12．在中，点是的中点，，线段与交于点，动点在内部活动（不含边界），且，其中，则的取值范围是（）OPNMCBAA．B．C．D．【答案】D12．OPNMCBA解：若点为交点时，．①若点在线段上运动时，；②若点在线段上运动时，,,，；③若点在线段上运动时，,,，；OPNMCBA综上，由于不含边界，∴．另解：按照三点共线定理可知，当点P在直线BN上时，，当点P在直线BN的下方且平行于直线BN的直线上时，随着直线向下平行移动，的值越来越大，因为点P在内部活动（不含边界）上运动，所以到达临界点C时的值为上限值，∴．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．输出xx=x+1是x=输出xx=x+1是x=1否开始结束【答案】16113．解：由程序框图可知：输出的的值为使不等式成立的最小整数，解得，故输出的的值为161．故答案为161．14．某学校随机抽查了本校20个学生，调查他们平均每天进行体育锻炼的时间（单位：min），根据所得数据，以5为组距将数据分为8组，分别是[0，5），[5，10），…，[35，40]，作出频率分布直方图如图所示，则以各组中值为组平均值可估计这20个学生的每天平均锻炼时间为分钟．【答案】2214．解：由频率分布直方图可得：平均值=，故答案为22．15．已知实数满足，若恒成立，则实数的取值范围是．【答案】15．解：实数满足的可行域如图，132465798由，得，，设点，可行域内动点，即，可得点，由图可知连线的斜率的最大值为，可得现有学号分别为1号、2号、3号、……、9号的9位同学依次站成一排，老师请他们从1号同学开始依次从如右图所示的装有标号为1至9号球的三个圆柱形容器中随意选择一个有球的容器并取出最上面的一个球，再根据自己手中所拿球的号码，按照球号从小到大的顺序从左到右重新站成一排，则所有可能的不同站法有种（用数字作答）．【答案】16．解：相当于先将9位同学看成9个排成一列的盒子，先从这9个不同的盒子中选出3个，并从左往右依次放入1、2、3号球，再从剩余的6个盒子中选出3个并从左往右依次放入4、5、6号球，最后将7、8、9号球从左往右依次放入剩余的3个盒子，共有种不同的站法．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知向量，．（1）若时，求的值；（2）若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围．17．（本小题满分10分）解：（1）∵向量，，∴，……………1分∵∴，∴，……3分解得或……………5分（2）∵向量与向量的夹角为锐角，∴，且，即，且向量与向量不共线，…………7分∴，得，且，∴的取值范围为，且………10分18．（本小题满分12分）从包括，两人的7个人中选出5人排成一排．（1）若任意选5人，有多少种不同的排法？（2）若，两人中有且只有一人在内，有多少种不同的排法？（3）若，两人都在内且，不相邻，有多少种不同排法？（4）若排头和排尾不允许站，正中间（第三位）不允许站，有多少种不同的排法？18．（本小题满分12分）解：（1）从7人中任选5人来排队共有种不同的排法；……………………2分（2）先从，两人中任选1人有种不同的方法，再从剩余的5人中任选4人有种不同的方法，再将选出的5人进行全排列，共有种不同的排法；……………………5分（3）因，都在内，所以只需从余下5人中选3人有种不同结果，，不相邻，使用插空法共有种不同排法；……………8分（4）第一类：所选5人无A、B，有种不同排法；第二类：所选5人有A无B，有种不同排法；第三类：所选5人无A有B，有种不同排法；第四类：所选5人有A、B，若A排中间时，有种不同排法，若A不排中间时，有种不同排法，共有种不同排法；综上，共有种不同排法．………12分第（4）小题另解：按照A是否取出进行分类，一类不取A，有种不同排法；另一类取出A，取出A的排法又分两类，分别是A站正中间和A站第2、4位，有种，共1560种不同排法．……12分19．（本小题满分12分）2020年4月底，随着新冠疫情防控进入常态化，为了促进消费复苏增长，上饶市开展“五一消费黄金周”系列活动，并发放亿元电子消费券．活动过后，我们随机抽取了50人，对是否使用过电子消费券进行调查，结果如下表：年龄(单位：岁)抽取人数2101312103使用过消费券的人数1913861若以“年龄40岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为使用电子消费券与按照40岁为分界点的人的年龄有关．年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数合计使用过消费券的人数没有使用消费券的人数合计参考数据：，其中．19．（本小题满分12分）解：由以上统计数据填写下面列联表，如下：年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数合计使用过消费券的人数231538没有使用消费券的人数21012合计252550…………………………4分根据公式计算，…10分∴有99%的把握认为使用电子消费券与按照40岁为分界点的人的年龄有关．…………………12分20．（本小题满分12分）某市交警大队在辖区内开展“机动车不礼让行人整治行动”．下表是该市一主干路口监控设备抓拍的5个月内“机动车驾驶员在斑马线前不礼让行人”行为统计数据：月份34567斑马线前不礼让行人的机动车驾驶员人数170140125115100（1）请利用所给数据求该路口在斑马线前不礼让行人的机动车驾驶员人数与月份之间的回归直线方程；（2）预测该路口9月份斑马线前不礼让行人的机动车驾驶员人数；（3）预测经过整治后该路口到哪个月份开始可以使斑马线前不礼让行人的机动车驾驶员人数不多于50人．参考公式：，．20．（本小题满分12分）解：（1）由表中数据知：∴，………4分，………………6分∴所求回归直线方程为．……………7分（2）由（1）知，令，则人．……9分（3）令，则∴…………11分答：（2）可预测该路口9月份斑马线前不礼让行人的机动车驾驶员人数为64人；（3）预测经过整治后该路口到10月份开始可以使斑马线前不礼让行人的机动车驾驶员人数不多于50人．……………12分21．（本小题满分12分）某位病人为了维持身体的健康状态，需要长期服用药物类营养液以补充食物难以提供的两种微量元素和.根据医学建议：病人每天微量元素的摄入量应控制在（单位：微克），微量元素的摄入量应控制在（单位：微克）.目前，市面上可供选择的营养液主要是和.已知1毫升营养液中含微量元素是30微克，含微量元素是10微克，每毫升费用5元；1毫升营养液中含微量元素是15微克，含微量元素是20微克，每毫升费用4元．（1）若该病人每天只吃单价较便宜的营养液，判断他的两种微量元素的摄入量能否同时符合医学建议，并说明理由；（2）如果你是医生，为了使得该病人两种微量元素的摄入量同时符合医学建议，且每天所需的费用最低，应该推荐病人每天服用营养液和营养液各多少毫升？该病人每天所需的营养液最低费用是多少元？21．（本小题满分12分）解：（1）若该病人每天只吃单价较便宜的营养液，则为了将微量元素的摄入量控制在（单位：微克），营养液的服用量必须控制在（单位：毫升），此时相应微量元素的摄入量在（单位：微克），不符合医学建议.………………4分另解：“若该病人每天只吃单价较便宜的营养液，则为了将微量元素的摄入量控制在（单位：微克），营养液的服用量必须控制在（单位：毫升），此时相应微量元素的摄入量在（单位：微克），不符合医学建议”………………4分（2）设该病人每天需服用毫升营养液，毫升营养液，则每天的营养液费用为，…………5分由题意满足，即……7分可行域如下图所示………9分把变形为，得到斜率为，在轴上截距为的一族平行直线．由图可以看出，当直线经过直线和直线的交点时，截距最小，此时最小．解方程组，得点为，∴元，…………11分答：推荐病人每天服用5毫升营养液，服用10毫升营养液，既能符合医学建议又能使每天的营养液费用最少．病人每天服用营养液的最低费用为65元．…………12分22．（本小题满分12分）某商场调研了一年来日销售额的情况，日销售额ξ（万元）服从正态分布．为了增加营业收入，该商场开展“游戏赢奖券”促销活动，购物满300元可以参加1次游戏，游戏规则如下：有一张共10格的方格子图，依次编号为第1格、第2格、第3格、……、第10格，游戏开始时“跳子”在第1格，顾客抛掷一枚均匀