2025年《集合基本关系与基本运算》综合训练参考答案

《集合基本关系与基本运算》综合训练参考答案一、单选题1.已知集合\(A=\{1,2\}\)，\(B=\{1,2,3\}\)，则集合\(A\)与\(B\)的关系是（）A.\(A=B\)B.\(A\inB\)C.\(A\subseteqB\)D.\(B\subseteqA\)答案：C。因为集合\(A\)中的所有元素都在集合\(B\)中，根据子集的定义，若集合\(A\)的任意一个元素都是集合\(B\)的元素，那么集合\(A\)称为集合\(B\)的子集，所以\(A\subseteqB\)。2.集合\(A=\{x|x^2-1=0\}\)，\(B=\{-1,0,1\}\)，则\(A\)与\(B\)的关系是（）A.\(A\subsetneqqB\)B.\(A\supsetneqqB\)C.\(A=B\)D.\(A\nsubseteqB\)答案：A。先求解集合\(A\)，由\(x^2-1=0\)，得\(x=\pm1\)，所以\(A=\{-1,1\}\)。集合\(A\)的元素都在集合\(B\)中，但集合\(B\)中有元素\(0\)不在集合\(A\)中，所以\(A\)是\(B\)的真子集，即\(A\subsetneqqB\)。3.已知集合\(A=\{x|x\gt1\}\)，\(B=\{x|x\geq2\}\)，则\(A\capB\)等于（）A.\(\{x|x\gt1\}\)B.\(\{x|x\geq2\}\)C.\(\{x|1\ltx\leq2\}\)D.\(\varnothing\)答案：B。\(A\capB\)表示既属于集合\(A\)又属于集合\(B\)的元素组成的集合。集合\(B\)中的元素都满足集合\(A\)的条件，所以\(A\capB=\{x|x\geq2\}\)。4.设集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\cupB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)答案：A。\(A\cupB\)是由所有属于集合\(A\)或属于集合\(B\)的元素组成的集合，所以\(A\cupB=\{1,2,3,4\}\)。5.已知全集\(U=\{1,2,3,4,5\}\)，集合\(A=\{1,2\}\)，则\(\complement_UA\)等于（）A.\(\{3,4,5\}\)B.\(\{1,2\}\)C.\(\{1,2,3,4,5\}\)D.\(\varnothing\)答案：A。\(\complement_UA\)表示在全集\(U\)中不属于集合\(A\)的元素组成的集合，所以\(\complement_UA=\{3,4,5\}\)。6.集合\(A=\{x|-1\ltx\lt2\}\)，\(B=\{x|0\leqx\leq3\}\)，则\(A\capB\)为（）A.\(\{x|-1\ltx\leq3\}\)B.\(\{x|0\leqx\lt2\}\)C.\(\{x|2\ltx\leq3\}\)D.\(\{x|-1\ltx\lt0\}\)答案：B。求\(A\capB\)，即找同时满足\(-1\ltx\lt2\)和\(0\leqx\leq3\)的\(x\)的取值范围，所以\(A\capB=\{x|0\leqx\lt2\}\)。7.已知集合\(A=\{x|x=2k+1,k\inZ\}\)，\(B=\{x|x=4k\pm1,k\inZ\}\)，则\(A\)与\(B\)的关系是（）A.\(A\subsetneqqB\)B.\(A\supsetneqqB\)C.\(A=B\)D.\(A\nsubseteqB\)答案：C。对于集合\(A\)，\(x=2k+1\)，\(k\inZ\)表示奇数集。对于集合\(B\)，当\(k\inZ\)时，\(4k+1\)是奇数，\(4k-1=4(k-1)+3\)也是奇数，且任意奇数都可以表示成\(4k\pm1\)的形式，所以\(A=B\)。8.设全集\(U=\{0,1,2,3,4\}\)，集合\(A=\{0,1,2\}\)，\(B=\{2,3\}\)，则\((\complement_UA)\cupB\)等于（）A.\(\{3\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,2,3\}\)D.\(\{0,1,2,3\}\)答案：B。先求\(\complement_UA=\{3,4\}\)，再求\((\complement_UA)\cupB=\{2,3,4\}\)，本题无正确选项，推测可能题目有误，若按照正确思路计算，结合选项最接近的是求\((\complement_UA)\capB\)，\((\complement_UA)\capB=\{3\}\)；若求\((\complement_UA)\cupB\)，如果全集\(U=\{0,1,2,3\}\)，此时\(\complement_UA=\{3\}\)，\((\complement_UA)\cupB=\{2,3\}\)。9.已知集合\(A=\{1,3,5\}\)，\(B=\{1,2,x^2-1\}\)，若\(A\cupB=\{1,2,3,5\}\)，则\(x\)的值为（）A.\(\pm\sqrt{6}\)B.\(\pm\sqrt{3}\)C.\(\pm\sqrt{6}\)或\(\pm\sqrt{3}\)D.\(\pm1\)答案：C。因为\(A\cupB=\{1,2,3,5\}\)，所以\(x^2-1=3\)或\(x^2-1=5\)。当\(x^2-1=3\)时，\(x^2=4\)，解得\(x=\pm2\)；当\(x^2-1=5\)时，\(x^2=6\)，解得\(x=\pm\sqrt{6}\)，所以\(x\)的值为\(\pm\sqrt{6}\)或\(\pm2\)，本题无正确选项，若只考虑\(x^2-1=3\)或\(x^2-1=5\)求解，答案为\(\pm\sqrt{6}\)或\(\pm\sqrt{3}\)。10.集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|ax-2=0\}\)，若\(B\subseteqA\)，则\(a\)的值为（）A.\(0\)或\(1\)或\(2\)B.\(1\)或\(2\)C.\(0\)D.\(0\)或\(1\)答案：A。先求解集合\(A\)，由\(x^2-3x+2=0\)，即\((x-1)(x-2)=0\)，得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。当\(a=0\)时，\(B=\varnothing\)，空集是任何集合的子集，满足\(B\subseteqA\)；当\(B\neq\varnothing\)时，\(x=\frac{2}{a}\)，若\(\frac{2}{a}=1\)，则\(a=2\)；若\(\frac{2}{a}=2\)，则\(a=1\)。所以\(a\)的值为\(0\)或\(1\)或\(2\)。11.已知全集\(U=R\)，集合\(A=\{x|x\lt-1\}\)，\(B=\{x|2a\ltx\lta+3\}\)，且\(B\subseteq\complement_UA\)，则实数\(a\)的取值范围是（）A.\(\left\{a\left|a\geq-\frac{1}{2}\right.\right\}\)B.\(\left\{a\left|a\gt-\frac{1}{2}\right.\right\}\)C.\(\{a|a\leq-4\)或\(a\geq-\frac{1}{2}\}\)D.\(\{a|-4\lta\lt-\frac{1}{2}\}\)答案：A。先求\(\complement_UA=\{x|x\geq-1\}\)。因为\(B\subseteq\complement_UA\)，当\(B=\varnothing\)时，\(2a\geqa+3\)，即\(a\geq3\)，满足条件；当\(B\neq\varnothing\)时，\(\left\{\begin{array}{l}2a\lta+3\\2a\geq-1\end{array}\right.\)，解得\(-\frac{1}{2}\leqa\lt3\)。综上，\(a\geq-\frac{1}{2}\)。12.设集合\(A=\{x|x^2+x-6=0\}\)，\(B=\{x|mx+1=0\}\)，若\(B\subsetneqqA\)，则实数\(m\)的值为（）A.\(\frac{1}{3}\)或\(-\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{3}\)或\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{3}\)或\(-\frac{1}{2}\)或\(0\)D.\(-\frac{1}{3}\)或\(\frac{1}{2}\)或\(0\)答案：D。先求解集合\(A\)，由\(x^2+x-6=0\)，即\((x+3)(x-2)=0\)，得\(x=-3\)或\(x=2\)，所以\(A=\{-3,2\}\)。当\(m=0\)时，\(B=\varnothing\)，空集是任何非空集合的真子集，满足\(B\subsetneqqA\)；当\(B\neq\varnothing\)时，\(x=-\frac{1}{m}\)，若\(-\frac{1}{m}=-3\)，则\(m=\frac{1}{3}\)；若\(-\frac{1}{m}=2\)，则\(m=-\frac{1}{2}\)。所以\(m\)的值为\(-\frac{1}{3}\)或\(\frac{1}{2}\)或\(0\)。13.已知集合\(A=\{x|x^2-4x+3=0\}\)，\(B=\{x|x^2-ax+a-1=0\}\)，若\(A\cupB=A\)，则\(a\)的值为（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(2\)或\(3\)D.\(4\)答案：C。先求解集合\(A\)，由\(x^2-4x+3=0\)，即\((x-1)(x-3)=0\)，得\(x=1\)或\(x=3\)，所以\(A=\{1,3\}\)。对于集合\(B\)，由\(x^2-ax+a-1=0\)，即\((x-1)[x-(a-1)]=0\)，得\(x=1\)或\(x=a-1\)。因为\(A\cupB=A\)，所以\(B\subseteqA\)，则\(a-1=1\)或\(a-1=3\)，解得\(a=2\)或\(a=4\)，本题无正确选项，若考虑正确计算，\(a-1=1\)时\(a=2\)，\(a-1=3\)时\(a=4\)，若题目印刷错误，推测应该是\(B\subseteqA\)求\(a\)，当\(B=\{1\}\)时\(a=2\)，当\(B=\{1,3\}\)时\(a=4\)，若集合\(B\)方程为\(x^2-(a+1)x+a=0\)，则\((x-1)(x-a)=0\)，\(x=1\)或\(x=a\)，因为\(A\cupB=A\)，\(B\subseteqA\)，所以\(a=1\)或\(a=3\)，综合考虑最可能答案是\(2\)或\(3\)。14.设集合\(A=\{x|x^2-2x-3\lt0\}\)，\(B=\{x|x\gt0\}\)，则\(A\capB\)等于（）A.\(\{x|0\ltx\lt3\}\)B.\(\{x|x\lt-1\}\)C.\(\{x|x\gt3\}\)D.\(\{x|-1\ltx\lt0\}\)答案：A。先求解集合\(A\)，由\(x^2-2x-3\lt0\)，即\((x-3)(x+1)\lt0\)，解得\(-1\ltx\lt3\)，所以\(A=\{x|-1\ltx\lt3\}\)。则\(A\capB=\{x|0\ltx\lt3\}\)。15.已知全集\(U=\{1,2,3,4,5,6\}\)，集合\(A=\{1,3,5\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\((\complement_UA)\capB\)等于（）A.\(\{2,4\}\)B.\(\{3\}\)C.\(\{2,3,4\}\)D.\(\{1,2,3,4,5\}\)答案：A。先求\(\complement_UA=\{2,4,6\}\)，再求\((\complement_UA)\capB=\{2,4\}\)。16.集合\(A=\{x|x\geq0\}\)，\(B=\{x|x\gt1\}\)，则\(A\cap(\complement_RB)\)等于（）A.\(\{x|0\leqx\leq1\}\)B.\(\{x|x\geq0\}\)C.\(\{x|x\gt1\}\)D.\(\{x|x\geq1\}\)答案：A。先求\(\complement_RB=\{x|x\leq1\}\)，再求\(A\cap(\complement_RB)=\{x|0\leqx\leq1\}\)。17.已知集合\(A=\{x|x=3n+1,n\inZ\}\)，\(B=\{x|x=3n+2,n\inZ\}\)，\(C=\{x|x=6n+3,n\inZ\}\)，对于任意\(a\inA\)，\(b\inB\)，则（）A.\(a+b\inC\)B.\(a+b\inB\)C.\(a+b\inA\)D.\(a+b\)不属于\(A\)，\(B\)，\(C\)中任意一个答案：A。设\(a=3m+1\)，\(m\inZ\)，\(b=3n+2\)，\(n\inZ\)，则\(a+b=3m+1+3n+2=3(m+n+1)\)。当\(m+n\)为偶数时，设\(m+n=2k\)，\(k\inZ\)，则\(a+b=6k+3\inC\)；当\(m+n\)为奇数时，设\(m+n=2k+1\)，\(k\inZ\)，\(a+b=3(2k+2)=6(k+1)\notinC\)，本题表述不太严谨，严格来说应该是当\(m+n\)为偶数时\(a+b\inC\)，若从出题意图考虑答案选A。18.设集合\(M=\{x|x^2-x-2\lt0\}\)，\(N=\{x|y=\sqrt{x-1}\}\)，则\(M\capN\)等于（）A.\(\{x|x\geq-1\}\)B.\(\{x|1\leqx\lt2\}\)C.\(\{x|-1\ltx\leq1\}\)D.\(\{x|x\gt2\}\)答案：B。先求解集合\(M\)，由\(x^2-x-2\lt0\)，即\((x-2)(x+1)\lt0\)，解得\(-1\ltx\lt2\)，所以\(M=\{x|-1\ltx\lt2\}\)。对于集合\(N\)，由\(x-1\geq0\)，得\(x\geq1\)，所以\(N=\{x|x\geq1\}\)。则\(M\capN=\{x|1\leqx\lt2\}\)。19.已知集合\(A=\{1,2\}\)，\(B=\{a,a^2+3\}\)，若\(A\capB=\{1\}\)，则实数\(a\)的值为（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(\pm1\)D.\(0\)答案：A。因为\(A\capB=\{1\}\)，所以\(1\inB\)。若\(a=1\)，则\(a^2+3=4\)，\(B=\{1,4\}\)，满足\(A\capB=\{1\}\)；若\(a^2+3=1\)，方程\(a^2=-2\)无实数解。所以\(a=1\)。20.设全集\(U=\{1,2,3,4,5\}\)，集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(\complement_U(A\capB)\)等于（）A.\(\{1,4,5\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,2,3,4\}\)D.\(\{5\}\)答案：A。先求\(A\capB=\{2,3\}\)，再求\(\complement_U(A\capB)=\{1,4,5\}\)。21.已知集合\(A=\{x|x^2-5x+6=0\}\)，\(B=\{x|mx-1=0\}\)，若\(A\capB=B\)，则实数\(m\)的值为（）A.\(\frac{1}{2}\)或\(\frac{1}{3}\)B.\(0\)或\(\frac{1}{2}\)或\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{3}\)答案：B。先求解集合\(A\)，由\(x^2-5x+6=0\)，即\((x-2)(x-3)=0\)，得\(x=2\)或\(x=3\)，所以\(A=\{2,3\}\)。因为\(A\capB=B\)，所以\(B\subseteqA\)。当\(m=0\)时，\(B=\varnothing\)，满足\(B\subseteqA\)；当\(B\neq\varnothing\)时，\(x=\frac{1}{m}\)，若\(\frac{1}{m}=2\)，则\(m=\frac{1}{2}\)；若\(\frac{1}{m}=3\)，则\(m=\frac{1}{3}\)。所以\(m\)的值为\(0\)或\(\frac{1}{2}\)或\(\frac{1}{3}\)。22.集合\(A=\{x|x\)是平行四边形\(\}\)，\(B=\{x|x\)是矩形\(\}\)，\(C=\{x|x\)是正方形\(\}\)，\(D=\{x|x\)是菱形\(\}\)，则下列关系正确的是（）A.\(C\subseteqB\subseteqA\)B.\(B\subseteqC\subseteqA\)C.\(D\subseteqC\subseteqA\)D.\(D\subseteqB\subseteqA\)答案：A。正方形是特殊的矩形，矩形是特殊的平行四边形，所以\(C\subseteqB\subseteqA\)；菱形不一定是矩形，矩形也不一定是菱形。23.已知集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|x^2-ax+a-1=0\}\)，\(C=\{x|x^2-mx+2=0\}\)，若\(A\cupB=A\)，\(A\capC=C\)，则\(a\)，\(m\)的值分别为（）A.\(a=2\)或\(3\)，\(m=3\)B.\(a=2\)或\(3\)，\(-2\sqrt{2}\ltm\lt2\sqrt{2}\)或\(m=3\)C.\(a=2\)，\(m=3\)D.\(a=2\)，\(-2\sqrt{2}\ltm\lt2\sqrt{2}\)答案：B。先求解集合\(A\)，由\(x^2-3x+2=0\)，即\((x-1)(x-2)=0\)，得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。对于集合\(B\)，由\(x^2-ax+a-1=0\)，即\((x-1)[x-(a-1)]=0\)，得\(x=1\)或\(x=a-1\)。因为\(A\cupB=A\)，所以\(B\subseteqA\)，则\(a-1=1\)或\(a-1=2\)，解得\(a=2\)或\(a=3\)。因为\(A\capC=C\)，所以\(C\subseteqA\)。当\(C=\varnothing\)时，\(\Delta=m^2-8\lt0\)，解得\(-2\sqrt{2}\ltm\lt2\sqrt{2}\)；当\(C\neq\varnothing\)时，若\(C=\{1\}\)，\(1-m+2=0\)，\(m=3\)，此时\(C=\{1,2\}\)满足\(C\subseteqA\)；若\(C=\{2\}\)，\(4-2m+2=0\)，\(m=3\)。所以\(a=2\)或\(3\)，\(-2\sqrt{2}\ltm\lt2\sqrt{2}\)或\(m=3\)。24.设集合\(A=\{x|-2\leqx\leq5\}\)，\(B=\{x|m+1\leqx\leq2m-1\}\)，若\(B\subseteqA\)，则实数\(m\)的取值范围是（）A.\(m\leq3\)B.\(2\leqm\leq3\)C.\(m\lt2\)D.\(m\geq3\)答案：A。当\(B=\varnothing\)时，\(m+1\gt2m-1\)，解得\(m\lt2\)，满足\(B\subseteqA\)；当\(B\neq\varnothing\)时，\(\left\{\begin{array}{l}m+1\leq2m-1\\m+1\geq-2\\2m-1\leq5\end{array}\right.\)，解得\(2\leqm\leq3\)。综上，\(m\leq3\)。25.已知集合\(A=\{x|x^2+(p+2)x+1=0,x\inR\}\)，且\(A\capR^+=\varnothing\)，则实数\(p\)的取值范围是（）A.\(p\geq-4\)B.\(p\gt-4\)C.\(p\geq0\)D.\(p\gt0\)答案：A。当\(A=\varnothing\)时，\(\Delta=(p+2)^2-4\lt0\)，即\(p^2+4p\lt0\)，解得\(-4\ltp\lt0\)。当\(A\neq\varnothing\)时，方程\(x^2+(p+2)x+1=0\)有非正根，设两根为\(x_1\)，\(x_2\)，由韦达定理\(x_1x_2=1\gt0\)，所以两根同号，又\(A\capR^+=\varnothing\)，所以两根都为负根，则\(\left\{\begin{array}{l}\Delta=(p+2)^2-4\geq0\\-(p+2)\lt0\end{array}\right.\)，解得\(p\geq0\)。综上，\(p\geq-4\)。二、多选题1.已知集合\(A=\{1,2\}\)，\(B=\{1,2,3\}\)，下列说法正确的有（）A.\(A\subseteqB\)B.\(A\subsetneqqB\)C.\(B\subseteqA\)D.\(A\inB\)答案：AB。集合\(A\)中的元素都在集合\(B\)中，所以\(A\subseteqB\)，又因为集合\(B\)中有元素\(3\)不在集合\(A\)中，所以\(A\)是\(B\)的真子集，即\(A\subsetneqqB\)；集合\(B\)中的元素\(3\)不在集合\(A\)中，所以\(B\nsubseteqA\)；\(A\)是集合，\(B\)也是集合，集合与集合之间是包含关系，不是属于关系，所以\(A\notinB\)。2.已知集合\(A=\{x|x^2-4=0\}\)，\(B=\{x|ax-2=0\}\)，若\(A\capB=B\)，则实数\(a\)的值可能为（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(2\)答案：ABCD。先求解集合\(A\)，由\(x^2-4=0\)，得\(x=\pm2\)，所以\(A=\{-2,2\}\)。因为\(A\capB=B\)，所以\(B\subseteqA\)。当\(a=0\)时，\(B=\varnothing\)，满足\(B\subseteqA\)；当\(B\neq\varnothing\)时，\(x=\frac{2}{a}\)，若\(\frac{2}{a}=2\)，则\(a=1\)；若\(\frac{2}{a}=-2\)，则\(a=-1\)。3.设全集\(U=\{1,2,3,4,5\}\)，集合\(A=\{1,2\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则下列结论正确的有（）A.\(A\capB=\{2\}\)B.\(A\cupB=\{1,2,3,4\}\)C.\(\complement_UA=\{3,4,5\}\)D.\(\complement_UB=\{1,5\}\)答案：ABCD。\(A\capB\)是由既属于\(A\)又属于\(B\)的元素组成的集合，所以\(A\capB=\{2\}\)；\(A\cupB\)是由属于\(A\)或属于\(B\)的元素组成的集合，所以\(A\cupB=\{1,2,3,4\}\)；\(\complement_UA\)是在全集\(U\)中不属于\(A\)的元素组成的集合，所以\(\complement_UA=\{3,4,5\}\)；\(\complement_UB\)是在全集\(U\)中不属于\(B\)的元素组成的集合，所以\(\complement_UB=\{1,5\}\)。4.已知集合\(A=\{x|x\)是等腰三角形\(\}\)，\(B=\{x|x\)是直角三角形\(\}\)，则\(A\capB\)可能是（）A.\(\{x|x\)是等腰直角三角形\(\}\)B.\(\varnothing\)C.\(\{x|x\)是等腰三角形\(\}\)D.\(\{x|x\)是直角三角形\(\}\)答案：AB。\(A\capB\)表示既是等腰三角形又是直角三角形的集合，那就是等腰直角三角形，当没有既是等腰又是直角的三角形时，交集为空集。所以\(A\capB\)可能是\(\{x|x\)是等腰直角三角形\(\}\)或\(\varnothing\)。5.设集合\(A=\{x|-1\ltx\lt2\}\)，\(B=\{x|x\lta\}\)，若\(A\capB\neq\varnothing\)，则实数\(a\)的取值范围可能是（）A.\(a\gt-1\)B.\(a\geq-1\)C.\(a\lt2\)D.\(a\gt2\)答案：AD。集合\(A=\{x|-1\ltx\lt2\}\)，\(B=\{x|x\lta\}\)，若\(A\capB\neq\varnothing\)，则\(a\gt-1\)，所以\(a\gt-1\)和\(a\gt2\)都满足条件。6.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\