第二章一元二次方程第9课应用一元二次方程课件-北师大版数学九年级上册

第二章一元二次方程

第9课应用一元二次方程(1)——面积问题

(1)矩形的面积＝

×

⁠.(2)列方程解应用题的步骤：①审；②设；③列；④解；⑤验；⑥答.长

宽

边框问题1母题演变

(教材P44)如图，在一幅长为8

dm、宽为6

dm的矩形风景

画的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂画.要使整个挂画

的面积是80

dm2，求金色纸边的宽.解：设金色纸边的宽为x

dm，则矩形挂画的长为

dm，宽为

dm.列方程，得

⁠.解得

⁠.答：金色纸边的宽为

dm.(8＋2x)

(6＋2x)

(8＋2x)(6＋2x)＝80

x1＝1，x2＝－8(不合题意，舍去)

1

2变式训练如图，某学校打算把一块长18

m、宽10

m的矩形空地修建成一个校史馆，向全体师生、校友和社会大众展示学校建校以来的发展历程.若三面修成宽度相等的花砖路，中间空地的面积是144

m2，请计算花砖路的宽度.解：设花砖路的宽为x

m，则中间空地的长为(18－2x)m，宽为(10－x)m.依题意，得(18－2x)(10－x)＝144.整理，得x2－19x＋18＝0.解得x1＝1，x2＝18(不合题意，舍去).答：花砖路的宽度为1

m.

修路问题3母题演变

(教材P57)我校有一块长18

m、宽12

m的矩形试验园.为

了便于同学们参观，现要开辟一横两纵三条等宽的小路(如图).要使

种植面积为176

m2，小路应该多宽？解：设该小路的宽为x

m.依题意，得(18－2x)(12－x)＝176.整理，得x2－21x＋20＝0.解得x1＝1，x2＝20(不合题意，舍去).答：该小路的宽为1

m.4变式训练如图，在宽为12

m、长为20

m的矩形地面上修筑同样宽

的道路，余下的部分种上草.要使草坪的面积为180

m2，求道路的

宽.设路宽为x

m，可列方程为

⁠.

如果图形不规则，可以割、补或平移成规则图形，找

出各部分面积之间的关系，进而列方程求解.(12－x)(20－x)＝180

无盖纸盒问题5母题演变

(教材P57)如图，有一块长12

cm、宽8

cm的矩形铁皮，如

果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起

来，刚好能做成一个底面面积为32

cm2的无盖的盒子，求截去的小

正方形的边长.解：设截去的小正方形的边长为x

cm.根据题意列方程，得(12－2x)(8－2x)＝32.整理，得x2－10x＋16＝0.解得x1＝8，x2＝2.当x＝8时，8－2x＜0，不合题意，舍去.∴x＝2.答：截去的小正方形的边长为2

cm.

基础过关1.

(2023·深圳外国语学校月考)一份摄影作品【七寸照片(长7英寸，

宽5英寸)】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露

衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍.设照片四周外

露衬纸的宽度为x英寸(如图)，下面所列方程正确的是(

D

)A.

(7＋x)(5＋x)×3＝7×5B.

(7＋x)(5＋x)＝3×7×5C.

(7＋2x)(5＋2x)×3＝7×5D.

(7＋2x)(5＋2x)＝3×7×5D2.

如图，小明同学用一张长11

cm、宽7

cm的矩形纸板制作一个底

面积为21

cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同

样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形

边长为

x

cm，则可列出关于x的方程为

⁠.(11－2x)(7－2x)＝21

能力过关3.

【应用意识】如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为

33

m，宽为20

m.停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积

为510

m2，求车道的宽度(单位：m).解：设车道的宽为x

m.由题意，得(20－x)(33－x)＝510.解得x1＝3，x2＝50(舍去).答：车道的宽度为3

m.4.

(2024·佛山南海区月考)现有一块长16

m，宽8

m的矩形菜地，现

要在中间铺设同样宽度的石子路如图所示，余下的部分用于种植，

且种植面积为105m2.求石子路的宽度.解：设石子路的宽度为x

m，则菜地的总长度为(16－x)m，总宽度为(8－x)m.根据题意，得(16－x)(8－x)＝105.解得x1＝1，x2＝23(不合题意，舍去).答：石子路的宽度为1

m.

思维过关5.

如图，有一矩形土地，该土地长为x

m，宽为120

m，建筑商将它分成了三部分：甲、乙、丙，甲和乙为正方形.现计划将甲建设成住宅区，将乙建设成商场，将丙开辟为公园.若已知丙地的面积为3

200

m2，则x的值为

⁠.

甲的边长为

m，则乙的边长为

m，∴丙的长为

m，宽为

m，面积为

⁠

＝3

200

m2.160或200

120

(x－120)

(x－120)

(240－x)

(x－120)(240－x)

第10课应用一元二次方程(2)——长度、动点问题第二章一元二次方程

长度问题1母题演变

(教材P35)用长为20

m的铁丝围成一个面积为24

m2的矩

形，则这个矩形的长与宽各是多少米？解：设长为x

m，则宽为(10－x)m.依题意，得x(10－x)＝24.整理，得x2－10x＋24＝0.解得x1＝6，x2＝4(舍去).10－6＝4(m).故长为6

m，宽为4

m.2变式训练用长为12

m的铝合金材料制成如图所示的矩形窗框，其

中EF∥AD∥BC，设窗框的高度为AD＝x

m.(1)窗框宽度AB为

m(用含x的代数式表示).(2)当窗户的透光面积为6

m2时，窗框的高为

，宽为

⁠

⁠.

2

m

3m

3母题演变

(教材P45)(2023·揭阳期末)如图，某农场要建一个矩形动

物场，场地的一边靠墙(墙AB的长度为10

m)，另外三边用木栏围

成，木栏总长20

m，设动物场CD边的长为x

m.(1)当矩形动物场面积为48

m2时，求CD边的长.解：由题意，得x(20－2x)＝48.解得x1＝4，x2＝6.当CD＝6

m时，DE＝20－2×6＝8(m)，符合题意；

当CD＝4

m时，DE＝20－2×4＝12(m).∵墙AB的长度为10

m，∴CD＝4

m不符合题意.∴CD边的长为6

m.(2)能否围成面积为52

m2的矩形动物场？说明理由.解：不能围成面积为52

m2的矩形动物场.理由如下：由题意，得x(20－2x)＝52.整理，得x2－10x＋26＝0.∵Δ＝100－4×1×26＝－4＜0，

∴方程没有实数根.∴不能围成面积为52

m2的矩形动物场.

注意平行于墙的边要小于墙长.4变式训练如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙(可利用墙长为60

m)，其他的边用总长70

m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1

m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形.(备注信息：距院墙7

m处，规划有机动车停车位)(1)若设车棚宽度AB为x

m，则车棚长度BC为

m.(72－3x)

(2)若车棚面积为285

m2，试求出自行车车棚的长和宽.解：由(1)，可得x(72－3x)＝285.解得x1＝5，x2＝19.又∵距院墙7

m处，规划有机动车停车位，∴x＝5.将x＝5代入72－3x，得72－3×5＝57＜60，符合题意.∴自行车车棚的宽为5

m，长为57

m.(3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为

450m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.解：不能.理由如下：依题意，可得x(72－3x)＝450.整理，得x2－24x＋150＝0.Δ＝b2－4ac＝(－24)2－4×1×150＝－24＜0.∴此方程没有实数根.∴不能围成面积为450

m2的自行车车棚.

动点问题5母题演变(教材P54)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5

cm，

BC＝6

cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1

cm/s的速度移动.

与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2

cm/s的速度移动.点

P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移

动.设移动时间为t

s(t＞0).

2t

(5－t)

1

(3)是否存在t的值，使得△PBQ的面积为4

cm2？若存在，请求出此

时t的值；若不存在，请说明理由.

动点问题要先分析出动点的运动轨迹，把相应线段的

数量关系表示出来，在直角三角形中利用勾股定理列式求解，注意t的取值范围.

基础过关1.

一个矩形的长比宽多4，面积是96，求矩形的长和宽.解：设矩形的宽为x，则它的长为(x＋4).依题意，得x(x＋4)＝96.整理，得x2＋4x－96＝0.解得x1＝8，x2＝－12(舍去).∴x＝8，x＋4＝12.答：矩形的长为12，宽为8.2.

如图，有长为24

m的篱笆，要围成面积为45

m2的花圃，现一面利

用墙(墙的最大可用长度为10

m)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃.

设花圃的宽AB为

x

m，则可列方程为

⁠.x(24－3x)＝45

能力过关3.

如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝10

cm，AD＝4

cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2

cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以1

cm/s的速度向点D移动，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t

s.当PQ＝5

cm时，t的值为(

D

)A.

B.

C.

或4D.

或

D4.

(数形结合思想)如图，有长为22

m的篱笆，一面利用墙(墙的最大

可用长度为14

m)，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃.为了方便出

入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1

m的两个小

门，此时花圃的面积刚好为45

m2，求此时花圃的长和宽.解：设花圃的宽为x

m，则BC＝22＋2－3x＝(24－3x)m.根据题意，得(24－3x)x＝45.解得x1＝3，x2＝5.当x＝3时，24－3x＝15＞14，不合题意，舍去；当x＝5时，24－3x＝9＜14，符合题意.答：花圃的宽为5

m，长为9

m.第二章一元二次方程第11课应用一元二次方程(3)——增长率问题

增长(下降)率问题1经典例题某商品原售价为100元，经连续两次涨价后售价为121元，

求该商品售价的平均增长率.解：设该商品售价的平均增长率为x.则100(1＋x)2＝121.解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去).答：该商品售价的平均增长率为10％.

设该商品售价的平均增长率为x，则第一次涨价后的售

价为

元，第二次涨价后的售价为

元.100(1＋x)

100(1＋x)2

2变式训练(1)(2024·云南)两年前生产1

kg甲种药品的成本为80元，随

着生产技术的进步，现在生产1

kg甲种药品的成本为60元.设甲种药

品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是(

B

)A.80(1－x2)＝60B.80(1－x)2＝60C.80(1－x)＝60D.80(1－2x)＝60B(2)李师傅家的超市今年1月盈利3

000元，3月盈利3

630元.若从1月到

3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是(

B

)A.10.5％B.10％C.20％D.21％B

传播问题3经典例题已知有1人患了某种传染病，经过两轮传染后共有121人患

病.问：(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.依题意，得1＋x＋x(1＋x)＝121.解得x1＝10，x2＝－12(不合题意，舍去).答：每轮传染中平均一个人传染了10个人.

设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共

有(1＋x)人患病，第二轮中这(1＋x)人再每人传染x个人，两轮后共

计1＋x＋

＝(

)2人患病.x(1＋x)

1＋x

(2)三轮感染后共有多少人患了这种传染病？解：121＋10×121＝1

331(人).答：三轮感染后共有1

331人患了这种传染病.4变式训练有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有25台电

脑被感染.(1)每轮传播中平均一台电脑感染几台电脑？解：设每轮传播中平均一台电脑感染x台电脑.依题意，得1＋x＋x(1＋x)＝25.解得x1＝4，x2＝－6(不合题意，舍去).答：每轮传播中平均一台电脑会感染4台电脑.(2)若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑是否超过600台？解：第三轮感染总数为25＋25×4＝125(台).第四轮感染总数为125＋125×4＝625(台)＞600台.答：被感染的电脑会超过600台.

(1)连续增长两次问题、病毒传染两轮问题：原量·(1＋x)2＝新量；(2)连续下降两次问题：原量·(1－x)2＝新量.注意：①增长(下降)率问题通常涉及“三个时间，两次变化(增长或

下降)”，要分清“原量”和“新量”；②解方程时用“直接开方法”；③有时“原量”“新量”不直接

给出.

基础过关1.

某市今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季

度低空飞行航线安全运行将达到401架次.设第二、第三两个季度安

全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为

⁠

⁠.200(1＋x)2

＝401

2.

近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程

度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月售

价为23万元，5月售价为16万元.设该款汽车这两月售价的月均下降

率是x，则可列方程为

⁠.23(1－x)2＝16

3.

(2023·衢州)某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设

每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程(

C

)A.

x＋(1＋x)＝36B.2(1＋x)＝36C.1＋x＋x(1＋x)＝36D.1＋x＋x2＝36C4.

某电影上映第一天票房收入约3亿元，以后每天票房收入按相同的

增长率增长，三天后累计票房收入达到10亿元.若增长率为x，则可

列方程为

⁠.

三天后累计票房收入包含第一天、第二天和第三天的

票房收入.3＋3(1＋x)＋3(1＋x)2＝10

能力过关5.

(2024·江门江海区月考)某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲

猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一

天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病.(1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？解：设每头发病生猪平均每天传染x头生猪.依题意，得1＋x＋x(1＋x)＝196.解得x1＝13，x2＝－15(不合题意，舍去).答：每头发病生猪平均每天传染13头生猪.(2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头

数会超过2

500头吗？解：3天后生猪发病头数为196×(1＋13)＝2

744(头).2

744＞2

500，答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2

500头.6.

(易错题)某校研学活动小组在一次野外实践中，发现一种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支.若在一个主干上，主干、支干和小分支的数量之和是57个，求x的值.解：由题意，得1＋x＋x2＝57.整理，得x2＋x－56＝0.解得x1＝7，x2＝－8(不合题意，舍去).∴x＝7.

思维过关7.

【运算能力】某人将10

000元存入银行，一年后取出5

000元另作

他用，再将余下的本利和再存入银行，但此时银行的年利率已下降3个百分点，且到期后还要缴20％的利息税.第二年到期他取出全部存款共5

588元，则银行原来的年利率为

％.5

第二章一元二次方程第12课应用一元二次方程(4)——循环问题

双循环(互赠)问题

x人互赠礼物，每人要送

份礼物，共赠出

⁠

份礼物.(x－1)

x(x－

1)

1经典例题在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠卡片，共送卡片

42张，则参加活动的学生有多少人？解：设参加活动的学生有x人，则每个学生需送出(x－1)张卡片.依题意，得x(x－1)＝42.整理，得x2－x－42＝0.解得x1＝7，x2＝－6(不合题意，舍去).答：参加活动的学生有7人.2变式训练某年级举办篮球友谊赛，比赛采用双循环制(参赛的每两

个队之间比赛两场)，共要比赛20场，共有多少个球队参加比赛？设

有x个球队参加比赛，则可列方程为(

B

)A.

x(x＋1)＝20B.

x(x－1)＝20C.

x(x＋1)＝20D.

x(x－1)＝20B

单循环(握手)问题

x人两两握手，每人和他人握手

次，共握手

⁠

次.(x－1)

1)

3母题演变

(教材P58)已知在一次会议中，参会的每两个人之间握手

一次.若全部参会人员一共握手45次，则参会的人数是多少？

解得x1＝10，x2＝－9(不合题意，舍去).答：参会的人数为10人.4变式训练

(2023·东莞期中)某次商品交易会上，所有参加会议的商家

每两家之间都签订了一份合同，共签订合同45份.如果设有x家商家

参加了交易会，可列出的方程是(

D

)A.

x(x＋1)＝45B.

x(x－1)＝45C.

2x(x－1)＝45D.

x(x－1)＝45D

基础过关1.

要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一

场)，邀请x个球队参加比赛，共比赛了15场，则下列方程中符合题意的是(

A

)A.

x(x－1)＝15B.

x(x＋1)＝15C.

x(x－1)＝15D.

x(x＋1)＝15A2.

(2024·云浮云城区月考)王老师购买了2

304张签名卡，在毕业典礼

上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签

名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是

(

C

)A.

＋x＝2

304B.

＝2

304C.

x(x－1)＋x＝2

304D.

x(x－1)＝2

304C3.

某小组有若干人，新年大家互相发一条微信祝福，已知全组共发

微信72条，则这个小组有多少人？解：设这个小组有x人，则每人需发送(x－1)条微信.依题意，得x(x－1)＝72.

整理，得x2－x－72＝0.解得x1＝－8(不合题意，舍去)，x2＝9.答：这个小组有9人.4.

参加毕业典礼的老师见面两两握手，共握手15次，求参加毕业典

礼的老师的人数.

解得x1＝6，x2＝－5(不合题意，舍去).答：参加毕业典礼的老师有6人.

能力过关5.

要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间要比赛一场，根据

场地和时间等条件，赛程计划安排了7天，每天安排4场比赛，设比

赛组织者应邀请x支队伍，则根据题意列方程为

⁠

⁠.6.

北京与上海之间的某条铁路沿线有多个火车停靠站(包括北京站、

上海站)，且有30种不同行程的火车票，则共有

个停靠站.

6

思维过关7.

【推理能力】如图①，从四边形ABCD的一个顶点能引1条对角

线，四边形ABCD共有2条对角线；如图②，从五边形ABCDE的一

个顶点能引2条对角线，五边形ABCDE共有5条对角线；如图③，从六边形ABCDEF的一个顶点能引3条对角线，六边形ABCDEF共有9条对角线.(2)若一个多边形共有35条对角线，求这个多边形的边数.

(1)根据上述规律，从n边形的一个顶点能引

条对角线，n

边形共有

条对角线；(用含n的式子表示)(n－3)

第二章一元二次方程第13课应用一元二次方程(5)——营销问题

营销问题(1)利润＝实际售价－成本；总利润＝每件利润×销售量.(2)若单价每涨a元，销量减少b件，则涨价x元时，销量共减少

件；若单价每降a元，销量增加b件，则降价x元时，销

量共增加

件.

1母题演变

(教材P55)某超市销售一种国产品牌台灯，平均每天可售出100盏，每盏台灯的利润为12元.为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价.据调查，每盏台灯每降价1元，平均每天会多售出20盏.若要实现每天销售获利1

400元，则每盏台灯应降价多少元？解：设每盏台灯降价x元.则(12－x)(100＋20x)＝1

400.解得x1＝2，x2＝5.答：每盏台灯降价2元或5元..

这种台灯的利润为12元/盏，设每盏台灯降价x元，则

台灯的利润为

元/盏，每天的销量为

盏，

每天获利

元.(12－x)

(100＋20x)

(12－x)(100＋20x)

2经典例题某商店以每个8元的成本价购进了一批玩具陀螺，如果以每个14元的价格出售，那么每天可销售40个，经市场调查发现，每个陀螺的售价每上涨1元，每天的销售量就减少2个.每个陀螺涨价多少元时，才能让商店每天获得的利润为320元，同时又能让顾客得到实惠？解：设每个陀螺涨价x元，则每天可售出(40－2x)个.依题意，得(14－8＋x)(40－2x)＝320.解得x1＝4，x2＝10.∵要让顾客得到实惠，∴x＝4.答：当每个陀螺涨价4元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为320元.

陀螺的进价为每个8元，售价为每个14元，设每个陀螺

涨价x元，则每个陀螺的售价为

元，利润为

⁠

元，每天的销量为

个，每天获利

⁠元.(14＋x)

(6＋x)

(40－2x)

(6＋x)(40－2x)

注意要让顾客得到实惠即令售价最低.3母题演变(教材P54)某商店销售某种服装，每件进货价为50元.市场

调研表明：当每件服装的售价为60元时，平均每个月可售出800件；

售价每提升1元，平均每个月的销售量就减少20件.已知每件服装的

售价不低于60元，商店要想使这种服装平均每个月的销售利润达到

12

000元，且每月的成本不超过24

000元，则每件服装的定价应为

多少元？

服装的进价为每件50元，设每件服装的定价为x元，则

每件服装的利润为

元，每月的销量为

件，每月获利

元.(x－50)

(2

000－20x)

(x－50)(2

000－20x)

注意成本也有要求.解：设每件服装的定价应为x元，则每件服装的销售利润为(x－50)元，每个月的销售量为800－20(x－60)＝(2

000－20x)件.依题意，得(x－50)(2

000－20x)＝12

000.整理，得x2－150x＋5

600＝0.解得x1＝70，x2＝80.当x＝70时，50(2

000－20x)＝50×(2

000－20×70)＝30

000＞24

000，不合题意，舍去；当x＝80时，50(2

000－20x)＝50×(2

000－20×80)＝20

000＜24

000，符合题意.答：每件服装的定价应为80元.

基础过关1.

某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个.调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，