第02讲集合间的基本关系-原卷版

第02讲集合间的基本关系知识点1子集1.概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.2.记法：A⊆B（或B⊇A）.3.读法：A包含于B（或"B包含A"）.4.如果A不是B的子集，记作A⊈B（或B⊉A），读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）.6.图形表示：知识点2真子集1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集.2.记法：A⫋B（或BA）.3.读法：A真包含于B（或“B真包含A”）.4.性质：对于集合A，B，C，①如果A⊆B,B⫋C,则A⫋C=2\*GB3②如果A⫋B，B⫋C，则A⫋C；5.图形表示：6.如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1个．（3）A的真子集的个数有2n－1个．（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集【思考】任何两个集合之间是否有包含关系？提示：不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．【特别提醒】符号“∈”与“⊆”的区别：符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系．知识点3空集1、定义：一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，规定：空集是任何集合的子集．在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：（1）空集只有一个子集，即它本身；（2）空集是任何非空集合的真子集．②空集是任何集合的子集（即∅⊆A）；2、0，{0}，∅，{∅}的关系∅与0∅与{0}∅与{∅}相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅中不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅关系0∉∅∅{0}∅{∅}或∅∈{∅}【思考】{0}与∅表示同一集合吗？提示：{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.知识点4Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。韦恩图可以直观、形象地表示出集合之间的关系知识点5集合的相等与子集的关系1.定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等2.图形表示：3.如果A⊆B，且B⊆A则A=B.4.如果A=B则A⊆B且B⊆A.（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作A＝B．（3）对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：①两个集合的元素个数相等；②两个集合的元素之和相等；③两个集合的元素之积相等．由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．常用解题方法1.集合与集合之间的关系判断是通过两个集合间的元素是否相同，注意跟集合与元素之间的属于关系进行区分，通过集合的列举、描述、图示法等进行判断.2.判断集合关系的方法.（1）观察法：一一列举观察.（2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.（3）数形结合法：利用数轴或Venn图.提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系.3.求集合子集、真子集个数的3个步骤4.子集、真子集个数有关的4个结论假设集合A中含有n个元素，则有(1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个．(3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．5．两集合相等常见考法及解法：(1)若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．(2)若两个集合中元素均有无限多个，则要看两集合的代表元素是否一致，再看代表元素满足的条件是否一致．若均一致，则两集合相等．(3)证明集合A与B相等的常用思路是“证A⊆B且B⊆A”．6．集合与集合之间的关系，元素与集合之间的关系是用不同的符号表示的，特别注意空集是不含有任何元素的集合，且规定∅⊆∅.7．求解含参数的集合是确定集合的子集或真子集时，应考虑该集合为空集的特殊情况，因此本题求解的易错之处是忽视集合B为空集的特殊情况而导致漏解．本题若改为A⊆B时，则不需要考虑集合B为空集的特殊情况．8.利用集合的关系求参数问题(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．(2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．题型1：判断集合的子集（真子集）的个数A．7个 B．6个 C．4个 D．3个A．16B．8C．7D．4A．4B．8C．15D．16A．11 B．12 C．15 D．16A．6 B．8 C．9 D．10A．3 B．4 C．6 D．8A．3种 B．5种 C．7种 D．9种A．4 B．6 C．7 D．1511.集合A=1,2,3，B=x,y|x∈A,y∈A,且xy∈A，则集合BA．5 B．15 C．31 D．32A．3 B．5 C．7 D．15A． B． C． D．A．4 B．16 C．8 D．9题型2：根据子集（真子集）个数求参数3.已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}有且仅有两个子集，则实数a＝．4.已知集合A＝{x|（m﹣1）x2+3x﹣2＝0}恰有两个非空真子集，则m的值可以是．（说明：写出满足条件的一个实数m的值）(1)若是，求实数的取值范围(2)是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集，若存在，求出实数及对应的子集，若不存在，说明理由．题型3：求集合的子集（真子集）A． B． C． D．(1)求的值；(2)写出集合的所有真子集.(1)写出集合的子集，真子集；(2)求集合的子集数，非空真子集数．(1)写出集合A的所有子集；(2)若B为非空集合，求a的值．题型4：判断两个集合是否相等1.给出以下集合，其中是相等集合的有（

）2．下列每组集合是相等集合的是（

）4.（多选）给出以下几组集合，其中相等的集合有（

）5．（多选）下列各组中M，P表示相同集合的是（）A．M={x∣x=2n，n∈Z}，P={x∣x=2（n+1），n∈Z}B．M={y∣y=x2+1，x∈R}，P={x∣x=t2+1，t∈R}D．M={y∣y=x2－1，x∈R}，P={（x，y）∣y=x2－1，x∈R}8.下面关于集合的表示正确的序号是.9.已知集合N=xx=n2-13,n∈ZA．NP B．N=P C．PN D．N与P交集为空集题型5：根据集合相等求参数A．或2 B．或1 C． D．1A．0 B．1 C． D．A．B．C．0D．5.已知集合A=1,m，B=2m-2,1，若A=B，则实数m=（A．0 B．1 C．1或2 D．2A．0B．1C．D．题型6：空集的概念判断以及性质与应用1.下列四个集合中是空集的是（

）2.下列四个集合中是空集的是（

）3.下列集合中为的是（

）A． B．4.下列四个说法中，正确的有（

）①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；④任何集合至少有两个子集．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．下列命题中正确的是（

）A．空集没有子集B．空集是任何一个集合的真子集C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集A．1 B． C． D．11.下列集合中为的是（

）A． B．A．3B．4C．5D．616.已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}．（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．题型7：Venn图表示集合的关系A． B．C． D．A． B．C． D．A．

B．

C．

D．

5.下列Venn图能正确表示集合M={0,1,2}和N=xx2A．

B．

C．

D．

6.已知集合M=x|a⩽x<a+1,a∈Z，P=x|logA．-2,-1,1,2 B．-3,-2,-1,0,1,2C．-2,-1,0,1,2 D．-3,-2,-1,1,2题型8：判断元素与集合，集合与集合的关系1.若A=x|xA．∅}⊆A B．1}=AC．-1,1}⊆A D．0}⊆A3.下列集合关系中错误的是（

）4.下列关系式正确的为（）5.下列集合之间关系正确的是（

）6．下列各式正确的是（

）C．⫋ D．⫋A．个 B．个 C．个 D．个10．指出下列各对集合之间的关系：11.已知集合P=x∣x=m2+1,m∈N*,Q=A．P=Q B．P⫋Q C．Q⫋P D．P⊆Q12.已知集合M=x|x=2m+13,m∈Z,N=x|x=n-A．M=N⫋P B．M⫋N=PC．M⫋N⫋P D．N⫋P⫋M13.若P=yyA．P=Q B．P⊆Q题型9：根据集合的包含关系求参A．1 B． C．1或0 D．1或(2)若的子集有两个，求实数的取值集合.(1)求集合；13.已知全集U为实数集，集合A=x-1<x<6，

(1)若a=3，求图中阴影部分的集合M；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围.14.已知集合A=(1)若A中只有一个元素，求a的值(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围(3)若A⊆0,+∞，求(3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少?(2)若⫋，求实数的取值范围.（一）由集合间的关系确定参数的取值范围（必考）1.已知集合A＝{﹣2，3，6m﹣6}，若{3，6}⊆A，则m＝．2.已知A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是．3.已知集合A＝{x|ax﹣6＝0}，B＝{x|2x2﹣3x＝0}，且A⊆B，则a＝．（二）数形结合思想（利用数轴求参数的取值范围）（必考）2.设集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围（）A．a≥﹣1 B．a≥2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2（三）分类讨论思想（必考）1.若集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}中只有一个元素，则实数k的值为（）A．0或1 B．1 C．0 D．k＜1易错点1：忽视空集导致出错1．已知集合A＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|﹣m＜x＜m}，若B⊆A，求m的取值范围．2、已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为______．易错点2：忽视高次项系数导致出错易错点3：忽视判别式导致出错题型10：集合关系的新定义1.定义集合运算A

B=c|c=a+b,a∈A,b∈B，若A=0,1,2,B=A．14 B．0 C．31 D．322.定义A*B=ZZ=xy+1,x∈A,y∈B，设集合A=0,1，集合B=1,2,3，则A．14 B．15 C．16 D．173.定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合A=4,26,81,153,370，B=x∈Ax是自恋数，则A．16 B．8 C．4 D．2A．2 B．4C．6 D．8B．将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集(3)若中有3个元素，求实数的取值范围．巩固练习一、单选题A．5 B．6 C．7 D．8A．3 B．4 C．5 D．6A．2 B．4 C．8 D．16二、多选题5．关于下图说法正确的是（

）A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素B．集合A、B、U中有相同的元素C．集合U中有元素不在集合B中D．集合A、B、U中的元素相同6．下列说法正确的有（

）8．下列关系中正确的有（

）A． B．0 C．1 D．三、填空题四、解答题13．指出下列各组集合之间的关系：14．确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系：(2)若AB，求实数m的取值范围．(2)若，求的值组成的集合．(1)若A中只有一个元素，求a的值(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围(2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围.A．10 B．11 C．12 D．1324．定义A⊗B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}