黑龙江省齐齐哈尔市部分学校2025届九年级下学期中考四模数学试卷（含解析）

2025年黑龙江省齐齐哈尔市部分学校中考四模数学试题一、单选题1．﹣5的绝对值是（）A．5 B．﹣5 C． D．2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A． B．C． D．3．下列计算正确的是（

）A． B． C． D．4．如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（

）A． B． C． D．5．榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（

）A． B． C． D．6．下列说法错误的是（

）A．张票中有张奖票，人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大B．从，，，，中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较大C．小明一次掷出颗质地均匀的骰子，颗全是点朝上是随机事件D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币次不一定有次正面朝上7．已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且8．在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（

）A．12种 B．15种 C．16种 D．14种9．如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（

）A． B． C． D．10．已知抛物线（是常数）的顶点为．小赵同学得出以下结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④若的一个根为3，则；⑤抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中结论正确的个数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题11．截至月日，电影《哪吒》全球总票房突破亿元，长沙万象城影院某天《哪吒》的票房累计约元，数字用科学记数法表示为．12．在函数中，自变量的取值范围是．13．一个圆锥的高为4，底面半径为3，它的侧面展开图的面积是．14．如图，在三角形中，以点为圆心画弧，交线段于点和点，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，直线交线段于点．若，，则的长为．15．如图，将抛物线沿向下平移，使平移后的抛物线经过原点，且平移后的抛物线的对称轴与原抛物线交于点，则经过点的反比例函数的解析式为．16．如图，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点，在轴上，将绕顶点A旋转，得到，则点的坐标为．17．2024年巴黎奥运会的吉祥物是“弗里热”．“弗里热”可以看作是数学中常见的三角形，数学活动小组将这个三角形置于平面直角坐标系中，如图，以所在直线为轴，点为坐标原点，建立平面直角坐标系，，将沿轴正半轴无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为按此规律，滚动2025次后停止滚动，则点的坐标为．三、解答题18．（1）计算：；（2）分解因式：．19．解方程：．20．齐齐哈尔市为了推广新能源汽车，对市民购买新能源汽车的意愿进行了调查．调查结束后，统计部门根据收集到的数据，绘制了关于市民购买新能源汽车意愿的条形统计图和扇形统计图．请根据以下信息，解答下列问题：(1)此次调查共涉及了___________名市民；(2)补全条形统计图；(3)扇形统计图中“不愿意”所在扇形的圆心角度数为___________度；(4)如果该城市有100万名市民，请根据调查结果估计有多少万名市民对购买新能源汽车的意愿为“愿意”．21．如图，已知是的外接圆，．分别是的中点，连接并延长至点，使，连接．(1)求证：与相切；(2)若，求的半径．22．一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：(1)甲车行驶的速度是_____，并在图中括号内填上正确的数；(2)求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(3)请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．23．在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平；操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕；操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H．根据以上操作，得________．【探究证明】（1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明；（2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：．【深入研究】若，请求出的值（用含k的代数式表示）．24．综合与探究如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点是抛物线顶点．(1)求抛物线的解析式并直接写出点的坐标；(2)若是第一象限内抛物线上的任意一点．①过点作轴，过点作轴，则___________②连接，交于点，连接，记的面积为的面积为，求的最大值；(3)如图②，为轴上一条定线段且，则的最小值为___________．参考答案1．A解：|﹣5|=5．故选A．2．B解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．故选：B．3．C解：A、，原计算错误，不符合题意；B、，原计算错误，不符合题意；C、，原计算正确，符合题意；D、，原计算错误，不符合题意；故选：C．4．B解：∵，∴，∵，，∴，故选：B．5．A解：由图可知：几何体的主视图为：故选A．6．A解：A.张票中有张奖票，人去摸，每个人摸到奖票的概率一样，故该选项不正确，符合题意；B.从，，，，中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较大，故该选项正确，不符合题意；C.小明一次掷出颗质地均匀的骰子，颗全是点朝上是随机事件，故该选项正确，不符合题意；D.抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币次不一定有次正面朝上，故该选项正确，不符合题意；故选：A．7．B解：去分母得：，解得：，方程的解为非正数，，解得，又，，，，的取值范围是．故选：B．8．D解：设购买、、三种奖品分别为个，根据题意列方程得，即，由题意得均为正整数．①当时，，分别取，，，，，，，共种情况时，为正整数；②当时，，可以分别取，，，，，共种情况，为正整数；综上所述：共有种购买方案．故选：D．9．B解：由图象得：，当时，，此时点P在边上，设此时，则，，在中，，即：，解得：，，故选：B．10．B解：∵抛物线的顶点为，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即故①正确∴的符号无法判断，故结论②错误；∵，∴抛物线开口向下，∵对称轴为直线，∴当时，随的增大而增大，故结论③正确；∵，，∴，∵的一个根为，∴，∴，故结论④正确；∵抛物线的顶点为，∴，∴将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到，故结论⑤错误；∴正确的是①③④．故选：B．11．解：，故答案为：．12．解：由题意得：，解得：，故答案为：．13．15∵圆锥的底面半径是3，高是4，∴圆锥的母线长为=5，∴这个圆锥的侧面展开图的面积是π×3×5=15π．故答案为15π．14．解：由作图知，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，故答案为：．15．解：∵将抛物线沿向下平移得到新抛物线，∴可设将抛物线向下平移t个单位长度，向左平移t个长度可得到新抛物线，∴新抛物线解析式为，∵平移后的抛物线经过原点，∴，解得或（舍去），∴平移后的抛物线解析式为，∴平移后的抛物线对称轴为直线，在中，当时，，∴，设经过点A的反比例函数解析式为，∴，∴，∴经过点A的反比例函数解析式为，故答案为：．16．或∵，，，，∴，．在中，，即，∴．情况一：顺时针旋转，∴，∴，则．过作轴于点，在中，，，．∴，．∵，∴，∴坐标为．情况二：逆时针旋转过作轴于点，此时，则．∵，点坐标，∴的横坐标为，纵坐标为，即坐标为．故答案为：或．17．解：如图，过点B作，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，根据题中规律可得点的坐标每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加，∵，，∴点的坐标为，故答案为：．18．（1）1；（2）解：（1）原式．（2）原式19．解：，或．20．(1)400(2)见解析(3)126(4)估计有30万名市民对购买新能源汽车的意愿为“愿意”（1）解：此次调查涉及市民人数为：，故答案为：400；（2）解：“非常愿意”人数：，“不愿意”人数：，补全条形统计图如下：（3）解：“不愿意”所在扇形的圆心角度数为：，故答案为：126；（4）解：（万）答：估计有30万名市民对购买新能源汽车的意愿为“愿意”．21．(1)证明见解析(2)（1）证明：如图①，连接，，为的中点，，过圆心，为的中点，，又∵，，，∴，，∵为的半径，为的切线；（2）解：如图②，过点作于点，连接，，设，则，，，，∵，，，，，，，设的半径为，则，在中，，解得，的半径为．22．(1)70，300(2)(3)或（1）解：由图可知，甲车小时行驶的路程为，甲车行驶的速度是，∴A、C两地的距离为：，故答案为：70；300；（2）解：由图可知E，F的坐标分别为，，设线段所在直线的函数解析式为，则，解得，线段所在直线的函数解析式为；（3）解：由题意知，A、C两地的距离为：，乙车行驶的速度为：，C、B两地的距离为：，A、B两地的距离为：，设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，分两种情况，当甲乙相遇前时：，解得；当甲乙相遇后时：，解得；综上可知，两车出发或时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．23．[操作判断]45；[探究证明]（1）等腰直角三角形，理由见详解；（2）见详解；[深入研究][操作判断]解：如图，由题意得，，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，即，故答案为：45；[探究证明]解：（1）如图，∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴是等腰直角三角形；（2）如图，由翻折得，，∵四边形是正方形，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；[深入研究]解：如图，连接，∵四边形是正方形，∴，，，∵是对角线，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴,∵，∴设，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．24．(1)，(2)①；②有最大值为(3)（1）解：∵抛物线与轴交于点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：，∴顶点D的坐标为；（2）解：①设点M的坐标为，∵轴，轴