九年级下册 二次函数的综合应用

九下二次函数的综合应用题

一、【拱桥问题】

I.图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m,建立如图所示的平面

直角坐标系：

（1）求拱桥所在抛物线的解析式；

（2）当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？

2.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m,水面下降2m,水面宽度增加

3.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在图（1）位置时，拱顶（拱桥洞的

最高点）离水面2m,水面宽4m.如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）

图1图2

A.y=-2x2B.y=2x2C.y=-0.5x2D.y=0.5x2

4.如图,一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m时,拱高为2m,一艘木船宽2m.要能顺

利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m,那么木船的高不得超过m.

5.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同.当水面刚好淹没小

孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面L5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时,

单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）

A.46米B.5&米C.2拒米D.7米

6.如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为时,

桥洞与水面的最大距离是5m.

（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是—（填

方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是,求出你所选方案中抛物线的表达式;

（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6〃?，求水面上涨的高度.

7.如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m,宽是4m.按照图

中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=-?x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平

0

17

距离为3m,到地面0A的距离为了m.

（1）求抛物线的函数关系式，并订算出拱顶D到地面OA的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双向车道，那么

这辆货车能否安全通过?

（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度

不超过8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米？

8.竖直上抛物体离地面的高度〃（〃?）与运动时间，（s）之间的关系可以近似地用公式

h=-5r+vor+%表示，其中为（根）是物体抛出时离地面的高度，%（〃〃$）是物体抛出时的速

度.某人将一个小球从距地面15〃的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地

面的最大高度为（）

A.23.5mB.22.5mC.21.5///D.20.56

9.向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为

y=ax2+bx+c（4/0）,若此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹

所在高度最高的是（）

A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒

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10.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线.不

考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：S）

之间的关系如下表：

t0123456J•・•

h08141820201814・・・

o

卜.列结论；①足球距离地面最大高度为20m；②足球飞吁路线的对称轴是直线/-2；③足

球被踢出9s时落地;④足球被踢出1.5s时，距离地面高度是11m.其中正确结论个数是（）

A.1B.2C.3D.4

11.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球

运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心距离

A.此抛物线的解析式是y=-gx2+3.5B,篮圈中心的坐标是（4,3.05）

C.此抛物线的顶点坐标是（3.5,0）D,篮球出手时离地面的高度是2m

12.一位运动员在距篮筐正下方水平距离4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运

行的水平距离为25n时，达到最大高度3.5m,然后准确落入篮筐.如图所示，建立平面直

角坐标系，已知篮筐中心到地面的距离为3.05m,该运动员身高1.9m,在这次跳投中，球

在头顶上方0.25m处出手，球出手时，他跳离地面的高度是（）

13.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看

成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-k）2+h.已知

球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m,球网与D点的水平距离为9m.高度为2.43m,

球场的边界距O点的水平距离为18m,则下列判断正确的是（）

球不会过网B.球会过球网但不会出界

17.如图1,排球场长为18加，宽为9〃?，网高为2.24〃?.队员站在底线。点处发球，球从

点。的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点AHL高

度为2.88，〃.即BA=2.88次.这时水平距离0B=7〃i,以直线0B为x轴，直线0C为y轴，

建立平面直角坐标系，如青2.

（1）若球向正前方运动：即工轴垂直于底线），求球运动的高度），（机）与水平距离x（加）

之间的函数关系式（不必写出x取值范围）.并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理

由：

（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点尸（如图1,点P距底线1〃?，边线0.5#,

问发球点。在底线上的哪个位置？（参考数据：收取1.4）

三、【喷水问题】

18.西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管

的水平距离为:米，在如绍所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（）

A.y=-（x-1）2+3B.y=-3（x+1）2+3C.y=-12（A-1）2+3D.y=-12（X+1）2+3

乙乙乙乙

19.某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度力（单位：m）与水流运动时间/（单位⑼之间

的关系式为〃=30/-5/，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是（）

A.6sB.4sC.3sD.2s

20.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平

面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出

的最大高度是（）

（米）y

O]x(*)

A.4米B.3米C.2米D.1米

21.某建筑物，从l（）m高的窗口A,用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在

40

的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙Im,离地面gm,则水流落

地点B离墙的距离。8是（）

22.如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管A8.水管的顶端安有一个喷水管、使喷

出的抛物线形水柱在与池中心4的水平距离为\m处达到最高点C.高度为3〃?.水柱落地

点。离池中心A处3〃1.建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题.

（1）求水柱所在抛物线的函数解析式；

（2）求水管的长.

23.某游乐场的圆形喷水池中心。有一雕塑。4从4点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，

且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点。为原点建立直角坐标系，点A在），轴上，x轴

上的点C，。为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为广Y（X-5『+6.

O

（2）求落水点C,。之间的距离.

（3）若需要在。。上的点£处竖立雕塑EROE=10m,EF=1.8m,EE_L。。.问：顶部厂

是否会碰到水样？请通过计算说明.

24.体育公园的圆形喷水池的中央竖言安装「一个柱形喷水装置OA,A处为喷头向外喷水，

水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落卜.（如图I）.如果曲线APB表示的是落点B离

点O最远的一条水流（如图2）,水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式是

O

y=-x2+4x+（x>0）,那么圆形水池的半径至少为_____米时，才能使喷出的水流不至于

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落在池外.

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图1

-立x+5表示，点A,8分别在

25.如图，斜坡A6长1。米，按图中的直角坐标系可用

3

x轴和1y轴上，且NQ48=30’.在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到8

处，抛物线可用y=+云+

(1)求抛物线的函数关系式(不必写自变量取值范围)；

(2)求水柱离坡面A3的最大高度；

(3)在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的板，水柱能否越过这棵树？

四、【销售问题】

26.某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价

不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念

册的售价x(元)之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售

单价为24元时，销售量为32本.

(1)求出y与x的函数关系式；

(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元？

(3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利涧为“元，将该纪念册销售单价定为多少

元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？

27.某企'也设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据

市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就

可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本.

(1)求出每天的销售利润N元)与销售单价M元)之间的函数关系式；

(2)求出销伐单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4(X)0元，那么销售单价应控制在什么范围内？

28.“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40

元，当售价为每条80元时，每月可俏售100条.为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施.据

市场调查反映：销售单价每降17E,则每月可多销售5条.设每条裤子的售价为X元（1为正

整数），每月的销售量为）'条.

（I）直接写出》与工的函数关系式：

（2）设该网店每月获得的利润为卬元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最

大利润是多少？

（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出20（）元资助贫困学生.为了保证涓款

后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？

29.当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说

销量也急剧上升.书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元.根

据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天

的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元.

（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量）'（本）与销售单价工（元）之间的函

数关系式及自变量的取值范围.

（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠。（（）＜。＜6）元给困难职工，每天扣除捐赠后

可获得最大利润为I960元，求”的值.

30.“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销

售量丁（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示.

（1）求）'与工之间的函数关系式；

（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于24（）件，当销售单价为多少元时，每天获取的

利润最大，最大利润是多少？

（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保

证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.

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31.某水果超市以每千克2（）元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不

高于40元，经市场调查发现，樱桃的日俏售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函

数关系，其部分对应数据如下表所示：

每千克售价X（元）•・•253035・..

日销售量y（千克）・・・11010090・.・

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）该超市要想获得10CO的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？

（3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？

32.某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行

预测，并建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在

如图所示的函数关系，其图象是函数的图象与线段AB的组合；设第，

个月销售该原料药每吨的毛利涧为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q=

2r+8,0</<12

-r+44,12<r<24

（1）当8V624时，求P关于t的函数解析式；

（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）

①求w关于I的函数解析式；

②该药厂销售部门分析认为，3360VW513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润

范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值.

33.某厂按用户的月需求量加（件）完成一种产品的生产，其中至法4®.每件的售价为18万元，

每件的成本融（万元）是基拙价与浮动价的和，其中基础价保持不变,浮动价与月需求量定（件）

成反比.经市场调研发现，月需求量忘与月份室（髓为整数，1三隆&符合关系式

案=加？-篁跖¥峥子期段为常数），且得到了表中的数据.

月份室（月）I2

成本朋（万元/件）1112

需求量客（件/月）120100

（1）求朋与需满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；

（2）求盘,并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；

（3）在这一年12个月中，若第恤个月和第制起普须个月的利润相差最大，求哪.

五、【图形（动点）运动图像判断】

34.如图，点P是菱形A8C。边上的动点，它从点8出发沿8fC—OfA路径匀速运动

到点A,设的面积为）‘，点”的运动时间为X,则丫关于x的函数图象大致为（）

35.如图，正方形ABC。边长为20〃，动点尸，。同时从点A出发，在正方形边上，分别按

A->A->C的方向，都以ka/s速度运动，到达点。运动终止，连接尸Q,设

运动时间为xs，AA尸。面积为），。/，则下列中能大致表示》与％的函数关系是（）

36.如图，在正方形ABCD中，边长CD为3cm.动点P从点A出B发，以&cm/s的速

度沿AC方向运动到点C停止.动点Q同时从点A出发，以lcm/s的速度沿折线AB-BC

方向运动到点C停止.设△APQ的面积为y（cm2）,运动时间为x（s）,则下列图象能反映y

与x之间关系的是（）

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37.如图，△•€：中，，ACB=90,NA=30，AB=I6,点P是斜边AB上任意一点，

过点P作PQ_LAB,垂足为P,交边AC（或边CB）于点Q,设AP=x,4APQ的面积为y,

则y与x之间的函数图象大致是（）

C

径运动，同时点Q从点A出发沿着A-C-D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C

时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x,y=PQ2,下列图象中大致反映y与x之间

39.如图，正方形ABCD的边长为4,点P、。分别是CD、AD的中点，动点E从点A向

点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P-D-Q运动，点E、F的

运动速度相同.设点E的运动路程为x,4AEF的面积为y,能大致刻画y与x的函数关系

的图象是（）

40.如图“BC和都是边长为2的等边三角形，它们的边BC,M在同一条直线/上,

点C,石重合，现将A48C沿着直线/向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，

设点移动的距离为不，两个三角形重叠部分面积为）'，则）'随x变化的函数图像大致为（）

外外>4冲

41.如图，等腰氏△八8c（乙4cB=90）的直角边与正方形。E/G的边长均为2,且AC与。£

在同一直线上，开始时点C与点。重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点石

重合为止•设CD的长为X,△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为>,

则），与x之间的函数关系的图象大致是（

♦y

24xO24x

42.如图，“14C为直角三角形，ZC=90°,

OE=26cm,砂=6cm,且点C、B、E、厂在同一条直线上，点8与点E重合.RtAABC

以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边夕'向右平移，当点C与点”重合时停止.设RtaABC

与矩形DEFG的重叠部分的面积为ycnr,运动时间心.能反映j'cnr与心之间函数关系的

大致图象是（）

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43.如图1,小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中,

小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间I（单位：$）的函数图象如图2,则该小球的

运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象大致是（）

44.如图所示，已知△ABC中，BC=12,BC边上的高h=6,D为BC上一■点，EF〃BC,交

AB于点E,交AC于点F,设点E到边BC的距离为x.则4DEF的面积y关于x的函数图

象大致为（）

45.如图，在直角三角形川8。中，ZC=90°MC=BC,E是AB的中点，过点七作A。和8c

的垂线，垂足分别为点。和点尸，四边形8E尸沿着C4方向匀速运动，点C与点A重合时

停止运动，设运动时间为3运动过程中四边形CD所与AA8C的重叠部分面枳为S.则S关

46.如图，在矩形ABCD中，AD=6,AB=10,一个三角形的直角顶点E是边AB上的一动

点，一直角边过点D,另一直角边与BC交于F,若AE=x,BF=y,则y关于x的函数关系

47.如图，正方形ABCD中，AB=8cm,对角线AC,BD相交于点0,点E,F分别从B,

C两点同时出发，以lcm/s的速度沿BC,CD运动，到点C,D时停止运动，设运动时间为

t(s),ZkOEF的面积为s(cm2),则s(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为()

48.如图，菱形A8C力的边长是4cm,ZABC=30°,动点P从点A出发，以lcm/s的速度

沿A-运动至点C,动点Q从点A出发，以2ciWs的速度沿A-4-C运动至点C.若P,

。同时出发，设运动时间为rs,V8PQ的面积为Scn?(当B,P,Q三点共线时，不妨设S=0),

则卜曲图象中能表小S与1之间的函数关系的是()

49.如图，抛物线y=V-辰+。交x轴于点A(l,0),交y轴于点B,对称轴是直线x=2.

(1)求抛物线的解析式；

(2)P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P,使△PA8的周长最小？若存在，求

出点P的坐标：若不存在，请说明理由.

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50.如图，已知抛物线y=-W+mx+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点B的坐

标为(3,0),

(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.

(2)点P是抛物线对称轴1上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标.

51.如图，已知点A(-I,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线广ax?+bx+c上.

(I)求抛物线解析式；

(2)在直线BC上方的抛物线上求一点P,使^PBC面积为1；

(3)在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q,使/BQC=/BAC?若存在，求

出Q点坐标：若不存在，说明理由.

52.如图，已知抛物线y=-x?+bx+c与一直线相交于A(-1,0)、C(2,3)两点，与y

轴交于点N,其顶点为D.

(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；

(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P

的坐标；

(3)设点M(3,n),求使MN+MD取最小值时n的值.

53.如图，已知抛物线＞=加+队+以。工0)的对称轴为直线x=-l,且抛物线与x轴交于A、

3两点，与y轴交于C点，其中4L0),C(0,3).

(1)若直线y=皿+〃经过8、C两点，求直线8C和抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴x=-l上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，

求出点例的坐标：

(3)设点/，为抛物线的对称轴工=-1上的一个动点，求使MPC为直角三角形的点。坐标.

17

54.如图，抛物线yEeV+ht+c过点43,2),且与直线y=-工+,交于B、C两点，点8

(2)点。为抛物线上位于直线3C上方的一点，过点。作OE_Lx轴交直线4C于点b点

P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求尸。十?人的最小值：

(3)设点M为抛物线的顶点，在)，轴上是否存在点Q,使NAQ例=450?若存在，求点Q

的坐标；若不存在，请说明理由.

55.如图，抛物线y=a?+b—c与工轴交于点A(T0),点B(3,0),与‘，轴交于点C,且过

点。(2,-3).点夕、。是抛物线y=尔+〃x+c上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点。在直线()1)下方时，求△PO。面积的最大值.

(3)直线OQ与线段相交于点，当AOBE与AA6C相似时，求点。的坐标.

图2

56.如图，以D为顶点的抛物线y=-x?+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C,直线

BC的表达式为y=・x+3.

(1)求抛物线的表达式；

(2)在直线BC上有一点P,使PO+PA的值最小，求点P的坐标；

(3)在x轴上是否存在一点Q,使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在,

请求出点Q的坐标；若不,存在，请说明理由.

八”v

57.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-1,0)B(3,0)两

点，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

(3)试探究：在抛物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点，AC为直角边的三角形

是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

58.已知：如图，抛物线y=ax¥bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(-2,

0),点P是线段AB上方效物线上的一个动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D,再过点P做PE〃x轴交抛物线于点E,连

结DE,请问是否存在点P使aPDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存

在，说明理由.

59.如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点，交y轴于点C.直线y=x-5经过点B,C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点A的直线交直线BC于点M.

①当AM_LBCUH，过抛物线上一动点P(不与点B,C重合)，作直线AM的平行线交直线

BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标：

②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于NACB的2倍时，请直接写出点M的坐标.

60.如图，在平面直角坐标系中，二次函数)，=以2+灰+。交工轴于点4工0)、8(2,0),

交轴于点C(0,6),在y轴上有一点七(0,-2),连接

(1)求二次函数的表达式；

(2)若点。为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求AADE面积的最大值；

(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使AA针为等腰三角形，若存在，请直接写出所有2点

的坐标，若不存在请说明理由.

61.如图，已知二次函数y=ax?+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分别交于点A,点B

(3,0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点.

(1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；

(2)连接PO,PC,并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP9,若四边形POP9为菱形，

请求出此时点P的坐标；

(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形

ACPB的最大面积.

62.如图，抛物线y=gx2+bx+c与直线y=gx+3交于A,B两点，交x轴于C、D两点，连

接AC、BC,已知A(0,3),C(-3,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线对称轴1上找一点M,使|MB-MD|的值最大，并求出这个最大值；

(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA,过点P作PQJ_PA交y轴于点Q,何：是

否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件

的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

63.如图，已知抛物线y=ax?+bx+c(a^O)经过点A(3.0),B(-1,0),C(0,-3).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M,求切点M的坐标；

(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平

行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

64.如图，抛物线)，=笠3/+法与x轴交于人，8两点，点A,8分别位于原点的左、

右两侧，8。=34。=3,过点8的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C,/),

RC=j3CD.

(1)求方，c的值；

(2)求直线8。的函数解析式：

(3)点，在抛物线的对称轴上且在X轴下方，点。在射线84上，当A4BD与MPQ相似时,

请直接写出所有满足条件的点。的坐标.

65.如图，已知二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点，

与y轴相交于点C(0,-3).

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH_Lx轴于点H,与BC交于点

M,连接PC.

①求线段PM的最大值；

②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标.

66.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x?+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B

点的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,—3),点P是直线BC下方抛物线上的一个动点.

(1)求二次函数解析式；

(2)连接PO,PC,并将△POC沿y轴时折，得到四边形POP'C.是否存在点P,使四边形POPC

为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形

ABPC的最大面积.

67.如图，抛物线顶点P(l,4),与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A,B.

(I)求抛物线的解析式.

(2)Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与ABCP的面积相等，求点Q的坐标.

(3)若M,N为抛物线上两个动点，分别过点M,N作直线BC的垂线段，垂足分别为D,

E.是否存在点M,N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如

果不存在，请说明理由.

AjOB

第20页，共103页

68.如图：在平面直角坐标系中，直线1：y=：x-：与x釉交于点A,经过点A的抛物线

JJ

3

y=ax2-3x+c的对称轴是x=；.

(1)求抛物线的解析式；

(2)平移直线1经过原点0,得到直线m,点P是直线m上任意一点，PB_Lx轴于点B,

PC_Ly轴于点C,若点E在线段0B上，点F在线段0C的延长线上，连接PE,PF,且PF=3PE,

求证：PE±PF；

(3)若(2)中的点P坐标为(6,2),点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE_LPF

时，抛物线上是否存在点Q,使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如

果不存在，请说明理由.

69.在平面直角坐标系X。)，中，直线)=4x+4与a•轴、)，轴分别交于点A,B,抛物线

y=3。经过点A,将点3向右平移5个单位长度，得到点C.

(1)求点C的坐标；

(2)求抛物线的对称轴；

(3)若抛物线与线段8c恰有一个公共点，结合函数图象，求〃的取值范围.

70.如图，若是正数，直线/：产力与y轴交于点4直线a：产与)，轴交于点E：抛

物线小)，=-/+队的顶点为。，且£与x轴右交点为D

(I)若48=8,求〃的值，并求此时/.的对称轴与〃的交点坐标；

(2)当点C在/下方时，求点。与/距离的最大值；

1

(3)设防K),点(的，yi)»(xo,1y2),(xo,/)分别在/,a和L上，且丁3是广，”的平均

数，求点(xo,0)与点。间的距离；

(4)在乙和。所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别

直接写出"二2019和b=2019.5时“美点”的个数.

71.如图I,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交

于C点，点P是抛物线上在第一象限内的•个动点，且点P的横坐标为I

(1)求抛物线的表达式；

(2)设抛物线的对称轴为1,1与x轴的交点为D,在直线1上是否存在点M,使得四边形

CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)如图2,连接BC,PB,PC,设APBC的面积为S

①求S关于t的函数表达式；

②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标.

过线段OA的中点M作MPL轴,交双曲线尸》皿＞。)于点P,且。AMP".

(2)当t=l时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离：

(3)把L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G,用［表示图象G最

高点的坐标；

(4)设L与双曲线有个交点的横坐标为xo,且满足4&0W6,通过L位置随t变化的过程,

直接写出I的取值范围.

73.如图，已知点O(0,0),A(-5,0),B(2,1),抛物线I：y=-(x-h)2+1(h

为常数)与y轴的交点为C.

(1)I经过点B,求它的解析式，并写出此时1的对称轴及顶点坐标：

(2)设点C的纵坐标为yc,求yc的最大值，此时1上有两点(xi,yi),(X2»y2)»

其中川＞X2K),比较yi与yi的大小；

(3)当线段OA被I只分为两部分，H这两部分的比是I；4时，求h的值.

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参考答案

I.(1)y=-yx2+2;(2)2限

【分析】

(1)设出抛物线解析式，由已知条件求出点从点C的坐标，将8、C的坐标代入抛物线

解析式，列方程组求出未知参数即可；(2)令尸-I,解出-即可求出水面的宽度.

【详解】

解：(1)由题意设抛物线解析式为：产ad+b(〃翔)，

V当拱顶离水面2m时,水面宽4m,

.,.点C(0,2),点B(2,0),

2=b

代入得：L八八，

4a+b=0

解得：＜"二一5,

b=2

・••拱桥所在抛物线的解析式为产-；/+2；

(2)当水位下降1皿时，水位纵坐标为-1,

令尸・1,

则-1=-yx2+2,

解得尸土«,

・.・水面宽度为2G米.

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，建立直角坐标系，求出他物线的解析式是解题的关键.

2.472-4

【分析】

根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-2代入抛物线解析

式得出水面宽度，即可得出答案.

【详解】

建立平面直角坐标系，设横轴x通过4B,纵轴)，通过AB中点。且通过。点，则通过画图

可得知。为原点，

抛物线以），轴为对称轴，且经过4,6两点，04和08可求出为46的一半2米，抛物线顶

点C坐标为（0,2）.

通过以上条件可设顶点式），=公2+2,其中。可通过代入A点坐标（-2,0）.

代入到抛物线解析式得出：a=-0.5,所以抛物线解析式为_y=-0.5x2+2,

当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当丁=-2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线了=-2与抛物线相交的两点之间

的距离，

可以通过把y=-2代入抛物线解析式得出：

-2=~0.5/+2,解得：x=±2x/2,

所以水面宽度增加I到4a米，比原先的宽度当然是增加了4人-4.

故答案是：472-4.

【点睛】

考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键.

3.C

【分析】

由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2,

利用待定系数法求解.

【详解】

由题意可得，设抛物线解析式为：y=ax2,由图意知抛物线过（2,-2）,故-2=ax22,解得：

a=-0.5,故解析式为y=-0.5x2,选C.

【点睛】

根据题意得到抛物线经过点的坐标，求解函数解析式是解决本题的关键.

4.1.2

【详解】

以水面所在水平线为x轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为y轴，建立坐标系.

第24页，共103页

设水平面与拱桥的交点为A(-2,0),B(2,0),C(0,2),

利用待定系数法设函数的解析式为y=a(x+2)(x-2)代入点C坐标,

求得,

即抛物线的解析式为y=4(x+2)(x-2),

令x=l,解得y=L5,

船顶与桥拱之间的间隔应不少于0.3,则木船的最高高度为1.5-0.3=1.2米.

故答案为：1.2.

【分析】

根据题意，可以画出相应H勺抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A

的小孔所在抛物线的解析式，将x=-10代入可求解.

【详解】

3

解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4,EF=14,BC=10,DO=-,

设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+1,

VBC=10,

，点B(-5,0),

3

AO=ax(-5)2+二，

2

.3

.•a=-----,

5()

，大孔所在抛物线解析式为y=43x2+31,设点A(b,0),则设顶点为A的小孔所在抛物

线的解析式为y=m(x-b)2,

VEF=14,

・••点E的横坐标为-7,

•••点E坐标为(7-1)'

=m(x-b)2,

25

6

•X|=-

5

・MN=4,

,号E+"(4^l+b)1=4

.m=U，

.顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y二-六(x-b)2,

•大孔水面宽度为20米,

9

・当x=-10时，y=--，

2

9Q

厂方(X-b)2,

.xi=­x/2+b,X2=-2也+b,

22

,单个小孔的水面宽度=1(|&+b)・(-1V2+b)|=5&(米),

故选：B.

【点睛】

本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的

思想解答.

6.(1)方案1;B(5,0);y=-1(x+5)(x-5);(2)3.2m.

【详

第26页，共103页

试题分析：(I)根据抛物线在坐标系的位置，可用待定系数法求抛物线的解析式.

(2)把入=3代入抛物线的解析式，即可得到结论.

试题解析：解：方案1：(1)点8的坐标为(5,0),设抛物线的解析式为：y=〃(x+5)(x-5).由

题意可以得到抛物线的顶点为(0,5),代入解析式可得：〃=-：,・••抛物线的解析式为:

y=-1(A+5)(x-5)；

(2)由题意：把x=3代入丁=一5。+5)(%-5),解得：y=y=3.2,二水面上涨的高度为

3.2/〃.

方案2：(1)点8的坐标为(10,0).设抛物线的解析式为：y=ar(x-10).

由题意可以得到抛物线的顶点为(5,5),代入解析式可得：4=-：，・•・抛物线的解析式为：

y=x(x-10)；

5

(2)由题意：把x=2代入y=-gx(x-10)解得：y=£=3.2,・••水面上涨的高度为3.2〃?.

方案3：(I)点B的坐标为(5,-5),由题意可以得到抛物线的顶点为(0,0).

设抛物线的解析式为：y=av2,把点8的坐标(5,-5),代入解析式可得：〃=-?,

••・抛物线的解析式为：

19

(2)由撅意：把x=3代入)，=一彳/解得：),=一一］用，.・.7K而卜涨的高度为57.8=3.2〃?.

7.(1)抛物线的函数关系式为y=-9x2+2x+4,拱顶D到地面OA的距离为1()m；(2)两排

6

灯的水平距离最小是46m.

【详解】

试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函

数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交

点为(2,0)(或(10,0)),然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大

就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值.

(17、

试题解析：(1)由题知点以0,4),C3,—在抛物线上

乙)

(?=4

所以)，二」/+2工+4

所以122

~-x9+3h+c6

~26

所以，当x=—二=6时，％,=1()

2a

答：y=-