山东省德州市2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省德州市2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.已知向量，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，则，故选：A.2.在中，已知，，，则（）A. B. C. D.7【答案】C【解析】因为在中，，，，由余弦定理，即，所以.故选：C.3.若函数，则（）A.函数的最小正周期为B.函数在区间上单调递增C.函数图象关于直线对称D.函数图象关于点中心对称【答案】B【解析】A.函数的最小正周期为，故A错误；B.当，则，故B正确；C.，所以函数关于对称，故C错误；D.，所以不关于对称，故D错误.故选：B4.在中，点在边上，.记，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如下图所示：易知.故选：C5.若，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，又，可得，即，因此可得；所以.故选：B6.已知，，且向量在上的投影的数量为，则（）A.49 B.41 C.7 D.【答案】D【解析】由条件可知，，所以，.故选：D7.记的内角的对边分别为，若的外接圆半径为，且，则面积的最大值为（）A. B.8C. D.【答案】C【解析】因，则由余弦定理得，，因，则，设的外接圆半径为，则，由正弦定理得，，则化简为，因，则，等号成立时，时成立，则则面积的最大值为.故选：C8.将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的4倍，得到函数的图象，若，是函数在上的两个零点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意将函数的图象向右平移个单位长度后可得到；再将所得图象上各点的横坐标变为原来的4倍，可以得到，易知的最小正周期为，且在上，当时，取得最大值；画出函数的图象如下图所示：令，即，根据正弦函数图象可知与在上仅有两个交点，且由对称性可知，关于对称，所以；因此.故选：D.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.记的内角的对边分别为，则下列命题正确的是（）A.若，则是钝角三角形B.若，则是等腰三角形C.若，则是等腰三角形D.若，，，则是直角三角形【答案】AC【解析】A.设，则，所以是钝角，故A正确；B.若，则，即，即或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误；C.若，则，即，即，则，所以是等腰三角形，故C正确；D.由正弦定理，可得，且，所以或，所以或，是直角三角形或等腰三角形，故D错误.故选：AC10.下列命题正确的是（）A.若，，则B.若存在实数，使得，则C.已知，，则的取值范围为D.若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为【答案】BC【解析】对于A：如果，则，，则和不一定为共线向量，故A错误；对于B：向量平行的定义，若存在实数，使得，则，故B正确；对于C：由，得，因为，故，即，故C正确；对于D：向量，，且与的夹角为钝角且向量不反向共线，故，即且，解得且，故D错误.故选：BC.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是以为周期的函数B.函数存在无穷多个零点C.D.至少存在三个不同的实数，使得为偶函数【答案】ACD【解析】因为，对A：，故是以为周期的函数，故A正确；对B：因为的周期为，所以只需研究在区间上的正负，当时，，由且，故在上恒成立；当时，，设，则，当时，有最大值，当时，，当时，，故的最小值为，综上所述，在上的取值均大于，没有零点，故在上没有实数根，即在上没有零点，故B错误；对C：，，故，故C正确；对D：由可得的图象关于直线对称，当时，，图象关于轴对称，此时为偶函数，又因为，所以的图象关于直线对称，可知当时，为偶函数，，，故，即的图象关于直线对称，当时，，图象关于轴对称，此时为偶函数，综上所述，当时，至少存在三个值，使得为偶函数，故D正确.故选：ACD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知，且，则______.【答案】【解析】由可得，由于，故，进而，因此，故答案为：13.已知函数的图象在区间上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是______.【答案】【解析】当时，易知，若其图象在区间上有且仅有2条对称轴，可得，解得.故答案为：14.在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，且，则的最小值为______；若是正方形的内切圆的一条弦，当弦的长度最大时，则的最大值为_____【答案】16；【解析】根据题意由为线段上的动点，可知三点共线，又，可得，因此，且，所以；当且仅当时，等号成立，即的最小值为16；取内切圆的圆心为，连接，如下图所示：易知弦的长度最大时，为直径，此时；又；显然当最大时，即在点处时，时，取得最大值，即.故答案为：16；.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，点，，.（1）若，且，求向量的坐标；（2）若向量与共线，求的取值范围.解：（1）由题可得，，因为，所以，即.由，得，即.解得或.所以点或，故向量的坐标或.（2）因为，，且与共线，所以.易知由，得当或1时，取得最小值为0.当时，取得最大值为.综上可得的取值范围为.16.已知函数的最大值为，两条相邻对称轴之间的距离为，对，.（1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）在平面直角坐标系中用五点法画出函数在的图象；（3）当时，方程只有一个解，求实数的取值范围.解：（1）由题可得：，，又，所以，又当时，取得最大值，所以，.得到，，因为，所以，故，令，；解得，；所以的单调递增区间为；（2）五点法作图列表如下：所以函数在的图象如图，（3）方程只有一解，转化为函数与图象在上只有一个交点，由（2）知在区间上单调递增，在区间上单调递减，又，，由（2）中图象可得或.17.已知函数.（1）求函数的最小正周期及对称中心；（2）记的内角的对边分别为，若，，，求.解：（1）由题可得；所以最小正周期为.令，，即，；所以函数对称中心为，.（2）由得，则，因为，即；所以，即.因为，由正弦定理得，因为，，所以，因为，所以.由正弦定理得，即；所以.18.记的内角的对边分别为，已知.（1）证明：；（2）若，，求；（3）若点是边上一点，平分，，且面积是面积的3倍，求的值.（1）证明：由，得，由正弦定理得：所以，即又，所以或（舍去）故，所以结论得证（2）由及正弦定理得由，可得，即得，因为，所以所以，所以又因为且，所以所以（3）由（1）知，所以为等腰三角形，所以，又，所以又是的角平分线，由角平分线的性质定理可知：，所以，在中由余弦定理：在中，由余弦定理：又，所以，解得：，又，所以.19.定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为.（1）设向