2025年高考数学试题分类汇编：概率与统计解析版

概率与统计

・HI

2025高考真题

一、单选题

1.（2025•全国二卷•高考真题）样本数据2,8,14,16,20的平均数为（）

A.8B.9C.12D.18

【答案】C

【分析】由平均数的计算公式即可求解.

【详解】样本数据2,8,14,16,20的平均数为2+8+：+16+20=?=12.

故选：C.

2.（2025・上海•高考真题）己知事件48相互独立，事件/发生的概率为尸（/）=；,事件2发生的概率为

尸（8）=；，则事件发生的概率尸（/门约为（）

A.-B.7C.vD.0

842

【答案】B

【分析】根据独立事件的概率公式可求尸（/c8）.

【详解】因为48相互独立，故尸（Nc8）=P（N）尸（8）=gx；=；,

故选：B.

3.（2025・天津•高考真题）下列说法中错误的是（）

A.若X~N（〃,cf2）,贝！jP（X4〃-cr）=P（XN〃+b）

B.若X:2V（1,22）,y~2V（2,22）,贝ij尸（X<1）<P（y<2）

1/65

C.W越接近1,相关性越强

D.H越接近0,相关性越弱

【答案】B

【分析】根据正态分布以及相关系数的概念直接判断即可.

【详解】对于A,根据正态分布对称性可知，=尸（XN〃+b）,A说法正确；

对于B,根据正态分布对称性可知，P（X<l）=P（r<2）=0.5,B说法错误；

对于C和D,相关系数上|越接近0,相关性越弱，越接近1,相关性越强，故C和D说法正确.

故选：B

二、填空题

（561、

4.（2025・上海•高考真题）己知随机变量X的分布为，则期望£因=

\U.NU.JU.JJ

【答案】6.3

【分析】根据分布列结合期望公式可求期望.

【详解】由题设有E[x]=5x0.2+6x0.3+7x0.5=1+1.8+36=6.3.

故答案为：6.3.

5.（2025・天津•高考真题）在的展开式中，Y项的系数为.

【答案】-20

【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可.

【详解】（x-球展开式的通项公式为八=c"6T,（_iy,

当r=3时，7；=C^3-（-1）3=-20X3,

即展开式中Y的系数为-20.

故答案为：-20

6.（2025・上海•高考真题）在二项式（2x-iy的展开式中，/的系数为.

2/65

【答案】80

【分析】利用通项公式求解可得.

【详解】由通项公式*=q"，/，㈠)，=c>(_iy爹一/,

令5-7=3,得r=2,

可得尤3项的系数为C；.(-1)2.25-2=80.

故答案为：80.

7.(2025・上海•高考真题)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是

家长，则不同的排列个数有种.

【答案】288

【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可.

【详解】先选两位家长排在首尾有以=12种排法；再排对中的四人有P：=24种排法，

故有12x24=288种排法.

故答案为：288

4

8.(2025,北乐,IWJ考真题)已知(1—2x)4=4—2%x+4。,厂—8%丁+16。/,贝］j,=.

%+42+%+。4=.

【答案】115

【分析】利用赋值法可求小，利用换元法结合赋值法可求4+出+%+%的值.

【详解】令x=0,则%=1,

23

又(1-2x)4=a0-2axx+4df2x-8d53x+16%/,

34

故(1-2x)4=4%(一2%)+&(-a3(-2x)+^4(2x),

令^t——2x9贝！I(1+。=%+a/++%户+a/9

令方=1,贝1|%+%+2+〃3+〃4=24,故％+2+。3+。4=15

故答案为：1,15.

9.(2025・天津・高考真题)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5,

3/65

若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4,6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈

的概率为0.6,6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为；若一周至少跑11圈为动量达标,

则连续跑4周，记合格周数为X,则期望£（尤）=

【答案】0.63.2

【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解.

【详解】设小桐一周跑11圈为事件A,设第一次跑5圈为事件B,设第二次跑5圈为事件C,

则/（4）=尸（夕）尸（忌⑻+尸（方）尸（。闾=0.5x0.6+05x06=06；

若至少跑11圈为运动量达标为事件尸（〃）=*/）+尸伍）尸©耳）=0.6+0.5x0.4=0.8,

所以X~3（4,0.8）,£（X）=4x0.8=3.2；

故答案为：0.6；3.2

10.（2025・全国一卷•高考真题）一个箱子里有5个相同的球，分别以1〜5标号，若每次取一颗，有放回地

取三次，记至少取出一次的球的个数X,则数学期望E（X）=.

【答案】||/2.44

【分析】法一：根据题意得到X的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得X的分布列，

从而求得颐X）；法二，根据题意假设随机变量毛，利用对立事件与独立事件的概率公式求得E（X）,进而

利用数学期望的性质求得£（X）.

【详解】法—：依题意，X的可能取值为1、2、3,

总的选取可能数为53=125,

其中X=l：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，

故尸（x=D唱

X=2：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次），

选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，

其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件X=2的可能情况有5x4x3=60种，

4/65

故~X=2)=:U

X=3：三种不同球被取出，

由排列数可知事件X=3的可能情有况5x4x3=60种,

所以E(X)=lx尸(X=l)+2x尸(X=2)+3x尸(X=3)

,5,121261

=lx+2x——+3x——=——.

125252525

故答案为：费.

法二：依题意，假设随机变量％,其中i=1,2,3,4,5：

这3次选取中，球7•至少被取出一次

其中'=[(),这3次选取中，球，一次都没被取出‘总：

由于球的对称性，易知所有相等，

:=区]=5££],

则由期望的线性性质，得E[X]=E

LZ=1」Z=1

4

由题意可知，球，,在单次抽取中未被取出的概率为1,

由于抽取独立，三次均未取出球，的概率为尸(％=0)=(：)=

因此球，至少被取出一次的概率为：p(x,=1)=1-生=黑,

所以矶X]=5£[X,]=5x诏=x

故答案为:

三、解答题

5/65

11.(2025•全国一卷•高考真题)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机

调查了1000人，得到如下列联表:

超声波检查结果组别正常不正常合计

患该疾病20180200

未患该疾病78020800

合计8002001000

(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为尸，求尸的估计值；

(2)根据小概率值a=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.

2=n(ad-bc¥

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

p(x?川0.0050.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】⑴巳o

(2)有关

【分析】(1)根据古典概型的概率公式即可求出；

(2)根据独立性检验的基本思想，求出然后与小概率值a=0.001对应的临界值10.828比较，即可判断.

【详解】(1)根据表格可知，检查结果不正常的200人中有180人患病，所以。的估计值为粤=二；

(2)零假设为名：超声波检查结果与患病无关,

1000x(2—)：765&5>10.828=

根据表中数据可得,2

z,^0.001

800x200x800x200

根据小概率值a=0.001的/独立性检验，我们推断〃。不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该

推断犯错误的概率不超过0.001.

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12.(2025・上海•高考真题)2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4x100米混合泳接力金牌.以下是历届奥

运会男子4x100米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位：秒)，数据按照升序排列.

206.78207.46207.95209.34209.35

210.68213.73214.84216.93216.93

(1)求这组数据的极差与中位数；

(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；

(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为y=-0.3Ux+b,年份x的平均数为2006,预测2028年冠军队的

成绩(精确到0.01秒).

【答案】(1)10.15；210.015；

10

(3)204.56

【分析】(1)由最长与最短用时可得极差，由中间两数平均数可得中位数；

(2)由古典概型概率公式可得；

(3)先求成绩平均数亍，再由叵，歹)在回归直线上，代入方程可得令，再代入年份预测可得.

【详解】(1)由题意，数据的最大值为216.93,最小值为206.78,

则极差为216.93-206.78=10.15；

数据中间两数为209.35与210.78,

209.35+210.68

则中位数为=210.015.

2

故极差为10.15,中位数为210.015；

(2)由题意，数据共10个，211以上数据共有4个,

故设事件/="恰有2个数据在211以上”，

则尸(4)=1苫3

10

3

故恰有2个数据在211以上的概率为；

7/65

(3)由题意，成绩的平均数

206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.93

10

=211,399,

由直线y=-0.311尤+务过(2006,211,399),

贝！13=211.399+0.311X2006=835.265，

故回归直线方程为了=-0.311尤+835.265.

当x=2028时,y=-0.311x2028+835.265=204.557«204.56.

故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒.

13.(2025•北京・高考真题)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级

学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生

该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80,乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相

互独立，用频率估计概率.

(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率P

(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的

概率及X的数学期望；

(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知

识点，甲校学生选择正确的概率为100%,乙校学生选择正确的概率为85%.设甲、乙两校高一年级学生掌

握该知识点的概率估计值分别为R,P2,判断0与0的大小(结论不要求证明).

【答案】(呜4

(2)0.35,E(X)=1.55

⑶Pl＜。2

【分析】(1)用频率估计概率即可求解；

(2)利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及X的分布列，从而可求其

期望;

8/65

（3）根据题设可得关于Pi，小的方程，求出其解后可得它们的大小关系.

【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率〃=瑞=（

（2）设A为“从甲校抽取1人做对"，则尸（/）=0.8,尸（1）=0.2,

设3为“从乙校抽取1人做对“，则尸⑶=0.75,P（A）=0.25,

设C为“恰有1人做对"，故尸©=P（AB）+P（AB）=P（A）P（B）+P（A）P（B）=0.35

依题可知,X可取0,1,2,

p（X=0）=尸（四）=0.05,尸（X=l）=0.35,尸（X=2）=0.8x0.75=0.6,

故X的分布列如下表：

X012

P0.050.350.6

故£（X）=1x0.35+2x0.6=1.55.

（3）设。为“甲校掌握这个知识点的学生做该题”，

因为甲校掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目，

未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，

故尸（0）+^0-P（O））=0,8,即0=,故。1=百，

同理有，0.85/?2+yx（l-p2）=0.75,故=金，

故B＜。2.

14.（2025•全国二卷•高考真题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分.设每个球

甲胜的概率为乙胜的概率为q,P+q=l,且各球的胜负相互独立，对正整数左22,记p*为

打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，qk为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率.

⑴求。3M4（用夕表示）.

9/65

（2）若^*=4,求p.

/一%

（3）证明：对任意正整数m,p2m+i~q2m+x<P2m-q2m<%,+2一％叫+2.

3

【答案】（1）2=03,p4=p（4-3p）

2

（2）P=§

（3）证明过程见解析

【分析】（1）直接由二项分布概率计算公式即可求解；

（2）由题意0=八%=/（4-3q）,联立区二2=4,p+q=l即可求解；

%-%

m+2m

（3）首先P/P*=CW，p2m+2-p2a+l=C^m+lpq，同理有%…川―”

口2m+2—%羽+1=C2m+\（f'+2Pm,作差有。2m+l-%,"+l<。2叫一%,"，另一方面

P2-P2n=-P[P-，且同理有%M+2一Z4/一/I"],作差能

2m+1加！（加+1）!v2m+1）=，:女"\2加+1J

得到0m~q2m<Plm+2~%加+2，由此即可得证.

【详解】（1）P3为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场，

故所求为P3=C；（l-0°p3=p3,

K为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场，

故所求为必=c；（l一p7p3+C：（l-p）°/=4/（1-0）+//=p3（4-3/?）；

（2）由（1）得2=",°4=//（4-3°）,同理见二口/=«3（4-3q）,

则04一△一。」（4一3。）一。3_323（1—。）厂。£?=4

«4-%/（4-3«）-q33q3（l-q）q，p

由于0<°应<1,所以p=2q=2（l-0）>0,解得0=3；

（3）我们有

10/65

m-1加-1fn-1加一1加一1

k

P2m-P2m+1=ZCaPF-ZC……qk=£牖p2口*_£4p2qJ£…q

k=0k=0k=Qk=0k=0

=(i-mp-l)»»"Nm-1cwv=mX-1cMVmL-1"*V

k=0k=0k=0k=0

/w-lm-2

\'「k2m-k^.k+\、'「k2m—k^.k+\C^m+l^,rr,

=IS2mpq-Z1c2mpQ=2mPQ-

左=0左=0

以及

m加一1mmm-\

、'C左2m+2—kk\'「CkIm+i—kk、'r~^k—\2m+2—kk.\'「Ck2m+2—kk、'/C~\k2m+l—kk

P2m+2-P2m+l=X2m+2Pq-X2m+lPq=2S2nl+1Pq+X2m+iP9-L2m+iP

k=0k=0k=0k=0k=0

=ZC露产"+52/“+61Zm-1LL,

k=0k=0

1m-\

XC左一12m+2-kk.cm"加+2、cCk?.m+\—k~后+1

=L2m+iPq+C2m+4Q~2^lm+iPQ

k=0k=0

加-11m-\

X/~\k2m+\-k/+1,cm-阳+2^,m、《「k2m+l-k~左+1r>tn一加+2

C+CCC

=2^2m+iPq2m+lP夕-2^2m+lPQ=2m+lPQ・

左=0k=0

m+

至此我们得到九~P^=C^pY，p2m+2~p2m+i=C黑+iP*2qm，同理有%=©：/+■，

故P2m-P2m+1=MpP=P-C：p丁)>0.[C%P。卜c累产d=q2m-q2m+x，即

Plm+\~%m+l<P2m~%加•

另一方面，由于

(\(\C_m+2〜0iCC7W-1m+\〜加m〜加/\

Plm+2-Pin,=(Plm+2-P2„,+lP2m+l)=2„,+1PQ-2mPQ=PQ-P[P-Clm+1-C2m)

(2m+l)!pmqm-p[p-m

p『p[p.3+i)!______(M]_、

m!(m+l)!2m+1

(m

且同理有%m+2-q2m

V2m+l

故结合

(m(m

p\p----------=(。-4)(。+0)-二^(。-0)=(2-4)-/、(。-0)=^^(。-4)>0,

I2m+lZm+1Zm+1Zm+i

就能得到P2m+2~P2m>%加+2—q2m，即Pim-Qlm<P2m+2-Q2fn+2，证毕・

11/65

.jn____

2025高考模拟题

一、单选题

1.（2025・福建莆田•三模）小明所在的学校每周都要进行数学周测，他将近8周的周测成绩统计如下：112,

101,93,99,106,105,114,119,则这组数据的第25百分位数是（）

A.99B.100C.101D.113

【答案】B

【分析】把给定的数据由小到大排列，利用第25百分位数的定义求解.

【详解】这组数据从小到大排列为93,99,101,105,106,112,114,119,

由8x25%=2,得这组数据的第25百分位数是9兰9+苗10巴1=100.

故选：B

2.（2025•安徽蚌埠•三模）医疗研究者会创建散点图来显示少女的体重指数（BMI）和身体脂肪百分比之间

的相关关系，如图，下列说法正确的是（）

脂肪百分比与BMI的散点图

50

45

40

35

30

25

20

15

20253035

BMI

A.BMI越大，脂肪百分比越大

B.BMI越大，脂肪百分比越小

C.BMI与脂肪百分比正相关

D.BMI与脂肪百分比负相关

12/65

【答案】c

【分析】根据散点图的特征可得正确的选项.

【详解】由散点图可得BMI增大时，脂肪百分比或变大或变小，故AB错误;

根据散点图的分布可得：BMI于脂肪百分正相关，故C正确，D错误；

故选：C.

3.（2025•湖南长沙•三模）二项式的展开式中第5项的系数为)

A.252B.-252C.210D.-210

【答案】C

【分析】求出展开式的通项，从而可得第5项的系数.

【详解】二项式,展开式的通项公式&l/y=6（-1）…。,

当厂=4时，第5项系数为C：。（-=210.

故选：C.

4.（2025・广东深圳•二模）下列各组数据中方差最大的一组是（）

A.6,6,6,6,6B.5,5,6,7,7C.4,5,6,7,8D.4,4,6,8,8

【答案】D

【分析】根据数据的波动越大，方差越大；数据越稳定，方差越小.通过观察数据的离散程度以及计算平均

值和方差来得出答案.

【详解】对于A：

数据全部为6,相等，没有波动，所以方差为0.

对于B：平均数为-5+6+7+7=6,方差为S2=2x（5-6、+（6-6j+2x（7-6j=08.

55

对于C：

平均数为4+5+6+7+8=6,方差为$2=（46）鼠（5—6）2+（6-6）2+（702m8一/2

55

对于D：

13/65

平均数为4+4+6+8+8=6,方差为S2_2X（4_6）2+（6-61+2x（8-歹=32.

55

通过比较可知，选项D的方差最大.

故选：D.

5.（2025・广东茂名•二模）随机变量J~N（4,2）,若尸/>2"-1）=尸位<a）,则实数。的值为（）

5

A.2B.-C.3D.4

2

【答案】C

【分析】根据正态曲线的对称性可求解.

【详解】因为J~N（4,2）,所以随机变量J的正态曲线关于x=4对称，

故一--=4,贝心=3.

2

故选：C.

6.（2025・天津•二模）某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生

进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左

闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（）

A.在被抽取的学生中，成绩在区间［90,100）内的学生有750人

B.直方图中x的值为0.020

C.估计全校学生成绩的中位数为87

D.估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为90

【答案】C

14/65

【分析】根据频率分布直方图计算区间［90,100）的频率，即可判断A,根据频率和为1,计算x的值，判断

B,根据中位数和百分位数公式，判断CD.

【详解】A.由图可知，成绩在区间［90,100）内的频率为0.040x10=0.4,0.4x2000=800人，故A错误；

B.由图可知，（0.005+0.010+x+0.030+0.040）x10=1,得x=0.015,故B错误；

C.前3组的频率和为0.3,前4组的频率和为0.6,所以中位数在第4组，

所以0.3+（x-80）x0.03=0.5,得x°87,故C正确；

D.样本数据的80%分位数在第5组，0.6+（x-90）x0.04=0.8,得x=95,故D错误.

故选：C

7.（2025・浙江•二模）口+的展开式中，V/的系数为（）

A.60B.120C.240D.360

【答案】B

【分析】根据展开式中每一项的生成过程，结合组合数公式，即可求解.

【详解】要得到尤5/这一项，相当于从6个含有/三项的因式f+4+y中的3个因式取d，1个因式

XX

2

取一，2个因式取V,

x

即x5y23*5这一项为C：（x2丫・C；・|•C/2=J20x5y2.

故『的系数为120.

故选：B

8.（2025・湖南•三模）若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则甲、乙不相邻的概率为（）

34-913

A.—B.-C.—D.—

551020

【答案】A

【分析】先求出所有排列情况，再求出甲乙相邻的排列情况，用总排列情况减去甲乙相邻的排列情况得到

甲乙不相邻的情况，最后根据古典概型概率公式计算概率.

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【详解】5个人随机排成一排的总排列数为：团=5!=120种.

将甲乙看成一个整体（捆绑法），此时相当于有4个人随机排列，排列数为团，

而甲乙两人之间又有4种排列顺序.

根据分步乘法计数原理，甲乙相邻的排列数为：=24x2=48种.

所以，甲乙不相邻的排列数为120-48=72种.

根据古典概型概率公式可得，甲乙不相邻的概率为：击72=3:

故选:A.

55432

9.（2025•北京昌平,二模）^（2x-l）=a5x+a4x+a3x+a2x+axx+a0,贝|/+g+?+%+%=（）.

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】利用赋值法即可求解.

【详解】令X=0得：（0-1）5=%.0+°4，0+。3・°+。2，°+为，°+。0n。0=-1，

X=1（2—1）=%■1+。4,1+。3j+。2-1+%■1++。，+。］+=1，

以％+%+%+g+%=1—（—1）=2,

故选：D.

10.（2025•广西河池•二模）一家银行有以尸客户和普通客户，以尸客户占客户总数的30%,普通客户占客

户总数的70%.已知HP客户的信用卡欺诈概率为2%,而普通客户的信用卡欺诈概率为5%.现在随机抽取

一个发生信用卡欺诈的客户，请问这个客户是以产客户的概率是（）

6r6-21

A.—B.—C.—D.—

41251050

【答案】A

【分析】设事件E为“客户发生信用卡欺诈”，由全概率公式得尸（£）=赢41，再由条件概率公式即可求解.

【详解】记事件4为“客户是以P客户”，事件5为“客户是普通客户”，事件E为“客户发生信用卡欺诈”,

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Q711

则尸（”）=而，P（B）=济，「（©，）=天，尸（同3）=.，

由全概率计算公式得尸（E）=P（中）尸⑷+尸（£⑻=

31

由条件概率公式得网/团二喜二八?普2=咚言=:，

1000

故选：A.

11.（2025・山东•三模）某班成立了4、2两个数学兴趣小组，/组10人，2组30人，经过一周的补习后进

行了一次测试，在该测试中，/组平均成绩为130分，方差115,8组平均成绩为110分，方差为215,则

在这次测试中，全班学生的平均成绩和方差为（）

A.115分，105B.115分，265

C.120分，105D.120分，265

【答案】B

【分析】利用各层平均数、方差与总体平均数、方差之间的关系式可求全班学生的平均数和方差.

【详解】依题意，句=130,s；=115,怎=110应=215,

所以全班学生的平均成绩了=而尢X130+历gxll0=115（分）；

222

全班学生成绩的方差为5=1013G反+（xA-x）]+^+（怎-?）]

13

=-x（115+225）+-x（215+25）=85+180=265.

44

故选:B

12.（2025・湖南长沙•三模）已知某个群体中对某活动持满意态度的人数比例为90%,从该群体中随机抽取

10人，设这10人中持满意态度的人数为X,随机变量y=2x+3,则。（y）=（）

A.1.8B.3.6C.4.2D.4.8

【答案】B

【分析】判断出随机变量X服从二项分布，利用二项分布的方差公式求出“X）.然后，根据随机变量

Y=2X+3,依据随机变量线性变换后的方差性质。（〃+6）=.2。（丫）（其中。、6为常数），求出。（丫）.

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【详解】已知从群体中随机抽取10人，对某活动持满意态度的人数比例为90%=0.9,

设这10人中持满意态度的人数为X,那么X服从参数为〃=10（试验次数），0=0.9（每次试验成功的概

率）的二项分布，即X〜8（10,0.9）.

对于二项分布X〜B（n,p）,其方差公式为D（X）=Ml-P）.

将”=10,p=0.9代入公式可得：£＞（^）=10x0.9x（l-0.9）=10x0.9x0.1-0.9.

已知随机变量Y=2X+3,根据随机变量线性变换后的方差性质D{aX+b）=a2O（X）,

所以Z）（y）=DQX+3）=22D（X）.由前面已求得。（X）=0.9,则£）（7）=4x0.9=3.6.

所以。（丫）=3.6.

故选:B.

13.（2025・湖北武汉•三模）现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件”="取出的

鞋不成双"；8="取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（）

A.A^BB.P（8）=|C.尸（初）=；D.Pp+J8）=|

【答案】D

【分析】A写出事件A包含的基本事件；B根据古典概型的概率公式求出P（B）；C事件彳8是不可能事件;

D利用概率的加法公式.

【详解】假设运动鞋的左脚为4,右脚为凉鞋的左脚为4,右脚为

则选出两只鞋包含了（右典）&,4）&,凡），（仆右），（仆火2），色典）6种，

其中事件A包含了[4）,（44）,（鸟,4）,（&4）4种,

事件N包含了亿,4）,仁，4）2种,事件B包含了色/），（&名）2种,

故则A错误；

P（7）=；,P（B）=|=g,P（AB）=P（B）=；,P（AB）=0,故BC错误；

___ii2

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=-+--0=-,故D正确.

故选：D

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14.（2025•安徽蚌埠•三模）空间中三个点A、B、C满足/8=8C=C4=1,在空间中任取2个不同的点,

使得它们与A、3、。恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法种数为（）

A.8B.9C.11D.12

【答案】B

【分析】根据空间中点线面的位置关系，和正四棱锥的几何性质，分类讨论，求出不同的取法数量.

【详解】

如图所示，设任取2个不同的点为尸、Q,当V/2C为正四棱锥的侧面时，

平面N3C的两侧分别可以做以四边形尸。为底面的正四棱锥，有2种情况，

同理以四边形8”。、四边形NC尸。为底面各有2种情况，所以共有6种情况;

当V/8C为正四棱锥的截面时，P、。位于N5两侧，四边形/尸8。为圆锥的底面，只有一种情况，

同理以四边形8尸C。、四边形NPC。为底面各有1种情况，所以共有3种情况；

综上，共有6+3=9种情况.

故答案为：B.

15.（2025•广东广州•三模）一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8,将其随机抛掷两次,

记与地面接触面上的数字依次为否,马，事件出国=3,事件8%=6,事件C玉+无2=9,则（）

A.A,B互斥B./UB=C

C.P（ABC）=P（A）P（B）P（C）D.A,B,C两两独立

【答案】D

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【分析】利用互斥事件的定义即可判断A,根据并事件的定义即可判断B,利用独立事件的定义即可判断

CD.

【详解】对于A：X1=3,X2=6,即事件48同时发生，所以/口8片0,故A错误；

对于B：事件C发生，NUB不一定发生，故B错误；

11

对于C：根据题意尸（4）=尸（3）=1尸（c）=2^=]

ooXdO

所以尸（N2C）=4=1，P（^）P（S）F（C）=|X|X^P（^C）,故C错误；

oXo04ooo

对于D：由尸（皿=*=尸（/）尸⑻，P（，C）*=F⑷尸©,尸（BC）*=P⑻P（C）,

所以N,B,C两两独立，故D正确，

故选：D.

16.（2025•重庆九龙坡•三模）"142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当

142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1,4,2,8,5,7这6个数字组成.若从1,4,

2,8,5,7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于5700

的偶数个数是（）

A.66B.75C.78D.90

【答案】B

【分析】按千位数分别是5,7,8进行分类讨论即可.

【详解】若干位数字是5,则百位数字只能是7或8,故共有C；C；+C；C；=15（个）；

若干位数字是7,则共有C；A；=36（个）；

若千位数字是8,则共有C；A；=24（个）.

故符合条件的四位数共有15+36+24=75（个）.

故选：B.

17.（2025•山东枣庄•二模）子贡日：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、

善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片（颜色均不同）各2张，同学甲从中抽取4张卡片分给

另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（）

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A.120种B.210种C.1440种D.2880种

【答案】D

【分析】将字相同的卡片看成一组，从5组中选出一组，再从剩下4组，选出2组，在各取一张，得到4

张卡片，全排列即可.

【详解】先把字相同的卡片看成一组，

第一步：从这5组中选出一组，

第二步：再从余下的4组中选2组，这2组中，每组各选一