2025年高考数学一轮复习：空间向量和立体几何14（含解析）

空间向量和立体几何高考复习专题十四

知识点一证明线面平行，面面角的向量求法

典例1、如图，是圆。的直径，点C是圆。上异于43的点，直线PC,平面/3C,E,F

分别是加，尸C的中点.

(1)记平面与平面的交线为/,求证：直线///平面P/C；

(2)若尸C=/3=2,点C是壶的中点，求二面角的正弦值.

随堂练习：如图，三棱柱ABC-A^Q中侧棱与底面垂直,^.AB=AC=2,AA1=4,AB1AC,

M,N,

P,〃分别为c5，BC,AXBX,BQ的中点.

(1)求证：尸N〃面NCCd；

(2)求平面/W与平面/CG4所成锐二面角的余弦值.

典例2、如图所示的几何体中，"BE,ABCE,ADCE都是等腰直角三角形，

AB=AE=DE=DC,且平面工平面3CE,平面。CE_L平面8CE.

(1)求证：AD〃平面3CE；

(2)求平面5/。与平面口。夹角的余弦值.

随堂练习：如图，在四棱锥力-BCDE中，/C,平面BCDE,AD^DE,ABCE为等边三角

形，ZECD=60°.

(1)求证：DE上平面/CD,且BE〃平面/CD.

(2)已知/C=3,BC=2,求平面NDE与平面ME所成锐二面角的余弦值.

典例3、如图，"3C是边长为2的等边三角形，四边形ZCOE为菱形，平面4CDE，平面

ABC,ZACD=60°,DF//BC,DF=\.

(1)求证：跖〃平面ABC；

(2)求平面与平面3跖所成锐二面角的余弦值.

随堂练习：如图，直四棱柱四5-44C〃的底面是菱形，胡尸4,1户2,N加大60°,E,

M,N分别是8C,BB1,4〃的中点.

(1)证明：腑〃平面a龙；(2)求二面角4-例「及的正弦值.

知识点二证明线面垂直，线面垂直证明线线垂直，线面角的向量求法

典例4、如图，在四棱锥尸一N3CD中，底面43CD是正方形，尸/上平面/BCD,PA=2AB=4,

点、M是P4的中点.

(1)求证：BDLCM.(2)求直线PC与平面MCD所成角的正弦值.

随堂练习：如图，在直角APCM中，POLOA,PB20A,将△尸，4绕边加旋转到,08的位

置，使乙408=90。，得到圆锥的一部分，点。为薪的中点.

(1)求证：PC1AB-,(2)设直线夕。与平面/W所成的角为?，求sin。.

典例5、在四棱锥尸-Z5CD中，底面四口为直角梯形，ABHCD,AB1BC,

PD=BC=CD=2AB=2AP=2,£为的中点，点夕在平面43co内的投影川合好

在直线4£上.

(1)证明：CDLAP.(2)求直线尸8与平面川。所成角的正弦值.

—3__

随堂练习：如图，在力3C中，AB=3,/C=23C=4,。为4C的中点，AE=2EB，BP^-PC.

现将VADE沿翻折至A4Z)E,得四棱锥./-3CDE

(1)证明：A'PLDE;(2)若AA=2也,求直线HP与平面BCD所成角的本切值

典例6、如图，在七面体43CDE尸中，四边形/BCD是菱形，其中/氏化)=60。，ABCE,△CEF,

△CDF是等边三角形，且/8,8反

(1)证明：AB工EF；(2)求直线ZR与平面CD9所成角的正弦值.

随堂练习：如图，在四棱锥尸-/BCD中，尸/,平面/BCD,AD//BC,AD1CD,且

AD=CD=24i,BC=4&,PA=2,点河在上.

(1)求证：ABVPC-(2)若二面角/的大小为45。，求政与平面尸ZC所

成角的正弦值.

空间向量和立体几何高考复习专题十四答案

典例1、答案：（1）证明见解析（2）反

3

解：（1）因为瓦尸分别是尸4尸C的中点所以

又因为ZCu平面跖（X平面4BC所以好//平面/L8C

又EFu平面8EF,平面8£尸与平面N3C的交线为/,所以EF/〃,

而/U平面融C,EFu平面取C,所以///平面&C

（2）如图，因为是圆。的直径，点C是筋的中点，AB=2

所以。_LC2,CA=CB=4i

因为直线尸平面48。所以尸CLC4,尸

所以以C为原点，直线G4,CB,CP分别为x轴，V轴，，轴，

建立空间直角坐标系C-xyz,则尸（0,0,1）,5（0,V2,0）,E吟,0,1）

所以&F=（0,-虚,1）,5£=（^-,-V2,l）

~BF-n=0+z=0

设平面Eq的法向量〃=（x,y,z）,则一即行

BE'n=0-^-x—ylly+z=0

令＞=1,则工=0/=正得〃=（0,1,8）

因为直线尸C，平面A8C所以屈=（0,0,1）为平面45。的法向量

所以cos＜闻3＞=腐所以二面角E-/-C的正弦值为。

随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）5经

53

解：（1）解法一：以点/为坐标原点，18、〃；所在直线分别为星y、z轴建立空间直

角坐标系，

则4(0,0,4),5(2,0,0),M(0,2,2),N(l,l,0),尸(1,0,4).

取向量罚=(2,0,0)为平面ACC/的一个法向量，7W=(O,l,-4),

PM48=0x2+lx0+(-4)x0=0,/.~PN±~AB.

又,.,PNu平面NCCM，PN〃平面/CG4.

解法二：'：P,〃分别为4耳，4G的中点，

/.PD//4G,且4G平面NCG4,w平面/CG4,尸。〃平面/CG4,

•:D,N分别为4G,欧的中点，：.DN//CCX,且CC|U平面NCQ4，DNa平

面ACCXAX,

DN〃平面/CG4，又PDCDN=D,平面尸ZW〃平面/CG4，

又,：PNU平面PDN,...PN〃平面4cq4.

以点］为坐标原点，四、〃；441所在直线分别为X,乃z轴建立空间直角坐标系,

则4(0,0,4),5(2,0,0),M(0,2,2),N(l,l,0),尸(1,0,4)./.7W=(0,1,-4),

PM=(-l,2,-2),

取向量方=（2,0,0）为平面/CG4的一个法向量,

n•PM=0

设平面/W的法向量为〃=（x,y,z）,则

n-PN=0'

令z=l,贝!Jx=6,>=4,贝！J〃=(6,4,1),

-AB-n

cos<4B,n>=~—=2-x-6,+0x4+0=x—l=----

AB-n2A/62+42+1253'

由图示可知平面/W与平面ACG4的夹角为锐角，

平面/W与平面"CG4所成锐二面角的余弦值为5空.

53

典例2、答案：（1）证明见解析（2）|

解：（1）证明：分别取EB,EC的中点连接

设AB=AE=DE=DC=1,则£3=£。=夜，AB=AE,BO=OE,:.AOLBE,

又平面A8E」平面8CE,平面/BEc平面8cE=BE,4。u平面/BE,:.AO1^

面BCE,

同理可证。平面3CE,:.AOHDH,

又因为“。=。〃=走，所以四边形他是平行四边形，.•.4D//O”,

2

又Q4）0平面8＜芯,。以匚平面5匿，；./。//平面3。£；

（2）如图，取8C的中点为尸，则。尸，8E,

以点。为坐标原点，。8。尸,。区所在的直线分别为x轴，》轴，z轴，建立空间直

角坐标系，

则«0,0可3停,0可，"一冬冬芬E产，。，°.

y

则丽=:字伴［而=M卓。，则叫-卓*等，

当X+%=0卜x+z=0

设平面的一个法向量为而=（尤,％z）,则13广=＞小

rrV2V2_(-2x+y+z=0

—\J2xHyHz—0

2,2

令x=l,得平面的一个法向量为而=（1,1,1）

巴£

o

22-

Lfl+c=0

设平面/DE的一个法向量为亢=（。,瓦c）,则,与£

OIZ?+c=0

22-

令a=l,得平面/DE的一个法向量为方=（U,-1）,

玩.五11+1-111

设平面BAD与平面EAD夹角为G,则|cos8|=司平=.潟=

所以平面BAD与平面EAD夹角的余弦值为1.

随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）叵

20

解：（1）-：ACV^-^BCDE,Z）Eu平面8CDE,：.ACLDE,

又ADLDE,ACC\AD=A,/C,ADu平面/CD,DE_L平面/CD；

QVJBCE为等边三角形，.^./J8£1C=60°,又NECD=60。,：.BE//CD,

•;CDu平面/CD,BEcz平面/CD,.〔BE〃平面NCD.

DEV^-^ACD,COu平面/CD,:.DELCD；

（2）以。为坐标原点，友，瓦为轴正方向，作z轴/MC,可建立如图所示空间

直角坐标系，

则刃(0,0,0),/(1,0,3),5(2,V3,o),网0,。,0),

Z14-(l,0,3),ZXE=(0,V3,0),28=[1,73,-3),BE=(-2,0,0),

设平面/DE的法向量E=(XQ”zJ,

,\DA-n=x,+3z.=0“,_z

则,一厂，令4=1,则再=-3,必=0,=(-3,0,1)；

DE•亢3yi=G

设平面NBE的法向量机=(尤2，%/2)，

AB-m—x+V3y—3z=0

222令％2=1,贝ll9=。，y?=.,.加=(0,；

BE•m=—2X2=0

\m'n\i而

cos<m.n>\

~20

加2A/TO

平面与平面月族所成锐二面角的余弦值为零.

典例3、答案：（1）证明见解析（2）叵

13

解：（1）证明：因为四边形ZCDE为菱形，则。E///C,

•.,OEU平面/BC,/（7匚平面/8。，.1DE〃平面ABC,

•/DFHBC,DF<zABC,BCu平面/3C,DFIIABC,

;DECDF=D,所以，平面DEF〃平面N3C,

因为EFu平面。£/，，斯〃平面48c.

（2）取NC的中点O,连接05、OD,

因为四边形NC0E为菱形，贝l]/C=CD,因为//CD=60。，则“CD为等边三

角形，

因为。为/C的中点，则QDJ./C,同理可得O8_LNC,

因为平面ZCDE，平面"C,平面,COEn平面Z3C=/C,OD^\^ACDE,

平面MC,以点O为坐标原点，OB、0C、0。所在直线分别为x、八z

轴

建立如下图所示的空间直角坐标系，

则4（0,-1,0）、5（V3,o,o）,C（0,l,0）、。（0,0,百）、网0,-2,回F

设平面BE尸的向量为加=（x/,z）,EF=BE=卜品一2,也）,

则产丽=%+>=。，取.3,可得前=（3,-6,1）,

m-BE=-#>x-2y+gz=0

一一一m-n1V13

易知平面血。的一个法向量为〃=（0,0,1）,则cos<也〃>=府雨=而=15".

因此，平面/BC与平面8跖所成锐二面角的余弦值为恒.

13

随堂练习：答案：（1）见解析；（2）叵.

5

解：（1）连接M£,BXC

■：M,E分别为四，8c中点.•.ME为物8c的中位线:.MEHBg豆

ME=\C

又N为4。中点，且:.ND//风C且ND=；B\C

.-.ME/JND四边形以烟为平行四边形

:.MN//DE,又跖VU平面CQ£,DEu平面CQ£；.ACV//平面

)^AC^BD=O,4cle49=0]由直四棱柱性质可知：平面Z5CD

；四边形ABCD为菱形AC±BD

则以。为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：

则：/(百,0,0),M(0,l,2),4(C,0,4),D(0,-1,0)N--,——,2

I22,

取NB中点尸，连接。尸，则尸[#4，°]

,:四边形/BCD为菱形且/区4。=60。.•.M4D为等边三角形DF±AB

又“4,平面48CD,DFu平面48C。.'.DFVAA^

：.DF_L平面ABBXAX,即。尸1平面AMA1

一re3、

・•.。月为平面皿必的一个法向量，且—,-,0

\7

设平面MN的法向量克=(x,y,z),又南=("-1,2),MN=

n•MA}=VJx-y+2z=0

・・.二3,令％=百，贝！Jv=l,z=-1万=

n-MN=—x—y=0

I22，

DFn_3_V15_,_Jio

cos<DF,n>=

研词=布=丁.•.sin<DF,»>=—

「二面角/-4四-N的正弦值为：乎

典例4、答案：（1）证明见解析（2）立

6

解：（1）如图，连接NC,•.•四边形/BCD是正方形，.../C上80.

又P/_L平面ABCD,BDu平面ABCD,/.PALBD,

：P/,/Cu平面取C,PA^AC=A,：.BD1^-^PAC,

又CMu平面取C,BD1CM

（2）易知/B,AD,/尸两两垂直，以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标

系/一孙z.

-PA=2AB=4,.•./（0,0,0）,尸（0,0,4）,M（0,0,2）,C（2,2,0）,£>（0,2,0）,

.•.就=（2,2,-2）,砺=（0,2,-2）,斤=（2,2,-4）.

n•MC=2x+2y-2z=0

设平面MCD的法向量为〃=（尤//）则

n-MD=2y-2z=0

J-_____rr

令>=1,得”=（0,1,1）.设直线尸c与平面MCO所成角为e,由图可知0<e<5,

即直线尸C与平面2所成角的正弦值为.

⑵2(-一码

随堂练习：答案：（1）证明见解析

15

解：（1）证明：由题意知：POLOAPO上OB,OAnOC=0.•.如，平面N如,

又•••/Bu平面N如，所以那.又点。为凝的中点，所以0d8,

POcOC=。，所以四，平面poa又•・•PCU平面poa所以PC±^B.

(2)以。为原点，OA,OB,而的方向分别作为X,乃z轴的正方向

建立如图所示的空间直角坐标系，设。4=2,则4(2,0,0),5(0,2,0),尸(0,0,4),

C(V2,V2,0),

所以"=(-2,2,0),/尸=(-2,0,4),PC=(V2,V2,-4).

设平面/W的法向量为〃=(a,6,c),则_Fc，，取C=1,则。=6=2

n,AP=-2a+4c=0,

可得平面⑸8的一个法向量为元=（2,2,1）,

I/RUUTXI|克.尸4J2-42（V10-V5）

所以sin夕=cos（",PC）=/国叫=----^―=------------

।'/I\n\\pc\67515

典例5、答案：⑴证明见解析⑵中

解：(1)因为/3//CD,AB1BC,£为。。的中点，所以4B=CE,AB〃CE,

所以四边形4BCE为长方形，CD1AE,

因为尸尸_1平面48cD,CDu平面488,所以COLP;"

又因为P尸c/£=尸，所以CD_L平面P/尸，4Pu平面P/尸，所以CO_L/尸.

(2)连接PE,由(1)CD_L平面尸/尸，PEu平面尸/尸，所以CD_LP£,

因为尸。=2,DE=1,所以尸E?一。工=4一1=3,/加=4

^^XAP2+PE2=AE2,BPAP1PE,APPE^AEPF,PF=AP'PE=Ji,

AE2

所以“尸2=工尸2一小2=；,即/尸=；,

过厂做方HL3C交3C于b,分别以网、FE、FP所在的直线为X、4z轴的正方

建立空间直角坐标系，小-川，4°，一；，°］，

p，o阁,年1,训,

7）

-►(iO-►—►(iG、

，P=0,-,—-,力。=(-1,2,0),PB=1,--,--—

I227I227

设平面尸/。的一个法向量为£=(xj,z),

1+石

AP-n=0—yd-----z=0n，令金,则了=1/=一/所以〃=[2,1,一程

所以一一，即:22

AD•〃=0-x+2y=0

设直线必与平面必〃所成角的为。，所以

；

2-+------X-------

32

sin。cos(F5.«)=

4

所以直线必与平面为,所成角的正弦值为手.

随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）7

解：（1）设下为。E的中点，。为/C的中点，BE=2EA,贝Ij/D=/E=2,

__>4DpADO

故加UZE,则4户，DE,XBP=-PC,则〒=力=了，

4PCAC4

所以NP是/R4C的角平分线，且4F,尸三点共线.

DEVFP

,且尸尸尸二尸，得面则。尸；

由DE±A'Fc//FP,£_1_4

（2）法一：连结44，由。E上平面/打得，平面Z5C/平面/Rp,交线为/尸，

所以H在面43。上的射影点a在Z尸上，//尸〃为直线4P与平面8co所成

角.

Q2_|_42—?27

在中，AB=4,BC=2,AC=3,由余弦定理得cos/刈C=^^~~—

2x3x48

42+22—3211IT/TF

cosZACB=-------------=—,1^DE=J22+22-2X2X2X-=1AF=ArF=—,

2x4x216V892

又AA，=2出,在A44'尸得，由余弦定理得cos/H4F=撞，则sin//4P=g

55

所以/'〃=AA'sinZA'AP=2^-

5

由(1)得“尸为角平分线，

Q,由余弦定理得/尸=处，则/W=亚,

在△/(?尸中，CP”

735

所以tan//P〃=^=7,所以直线4P与平面3c。所成角的正切值为7.

法二：如图,以尸为原点，FE,尸尸为％，V轴建立空间直角坐标系.

厂(0,0,0),fy,o,o

D-。。AB

\77

cf-1,—,olP0,

2①14。)］

7

设/(0,4,6),由©尸=%方=史，AA'=2也

2

得H八,噜/

PA'=0,

平面BCD法向量为3=(0,0,1),设直线4P与平面BCD所成角为。，所以

2小

.\PA'-n\57A/2J2r,,

sinn0=——=-7^=—~r~,cos0=——，贝!jtan。=7,

\PA,\-\n\2V301010

------1

7

所以直线4尸与平面BCD所成角的正切值为7.

典例6、答案：⑴证明见解析；⑵鬻

解：(1)取CD中点G,连接5G,EG,FG,所以CG=：CD=；C3,

由余弦定理得：BG1=CG-+CB2-2CG-CBcos600=—CB,得8G_LCD,

2

ABVBG,又ABLBE,^.BGC\BE=B,则平面BEG,

ABLEG,又ABIICD,所以CD,平面5EG,

则CD_1EG,由等边三角形CD产得CD,9G,且EGA尸G=G,

则CD,平面MG,故COLE。又ABHCD,因止匕A8DL

力V/

(2)连接过点尸作"，平面/BCD于点H,连接NX,GH,

由/平面BEG得平面BEG1平面ABCD,则点E在平面ABCD内的射影位于直

线8G上,

由等边三角形BCE得点£在平面ABCD内的射影位于8C的中垂线上，

因此，由几何关系可确定点E在平面ABCD内的射影位于ABCD的重心，

又由(1)知CD,平面MG,CD,平面5EG,则B,E,F,G,"五点共面,

如图，以点G为原点，以射线G8,GC为x,V轴的正半轴，建立空间直角坐标

系G~xyz,

不妨设/3=2,则/（3,-2,0）,c（o,i,o）,r»（o,-i,o）,

在A8£G和AERG中，由余弦定理得cosZBGE=出土这U

2BGEG3

Ed+FG-a1

——,

2EGFG3

则cos/gGN-g,解得尸,

16月、4767后476

因此4F=丁乂，丁---，un,---,DC=（0,2,0）,