2025初升高数学专项提升：函数的概念（预备知识）原卷版

专题09函数的概念

1、学会运用集合语言表示函数,理解函数的定义及构成要素，会求解简单函数的定义域和值域

2、掌握函数相等与判定的方法

/------[HHHK.

(新知速通j

知识点一：函数的概念

1、初中学习的函数的传统定义

设在一个变化的过程中，有两个变量》和丁，如果给定了一个工值，相应地就有唯一确定的一个丁值

与之对应，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖

关系.

2、函数的近代定义

一般地，设A,8是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数X,按照某种确定的对应关系了,

在集合3中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称3为从集合A到集合3的一个函数

(function),记作y=/(x),尤eA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与了的值

相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛/(©IxeA｝叫做函数的值域.显然，值域是集合5的子集.

函数的四个特征：

①非空性：A,5必须为非空数集(注意不仅非空，还要是数集)，定义域或值域为空集的函数是不存在

的.

②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.

③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应(可以多对一，不能一对多).

④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定

的关系就不一定是函数关系.

知识点二：函数的三要素

1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围.

2、对应关系：对应关系/是函数的核心，它是对自变量了实施“对应操作”的“程序”或者“方法”.

3、值域：与x的值相对应的V值叫做函数值，函数值的集合｛/(x)|xeA｝叫做函数的值域(range).

知识点三：函数相等

同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.

知识点四：区间的概念

1区间的概念

设。，6是实数，且a<b,满足aWxWb的实数》的全体，叫做闭区间，

记作3,用，BP，[a,b]={x\a<x<b}o如图：a,b叫做区间的端点.在数轴上表示一个区间时，若

区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示.

11」111

"bxabx"hbx

a<x<ba<xWba^x<b

国"WxWb}{A*|a<x<b}{v|a<x^b\

M句(«.b)(a,何b)

闭区间开区间半开半闭区㈣半开半闭区间

集合{x\a<x<b]{x|a<x<b}{x\a<x<b}{x\a<x<b}

区间[a,b](a,b)(a,句[a])

2含有无穷大的表示

全体实数也可用区间表示为（-8,也），符号“+8”读作“正无穷大“，“口”读作“负无穷大”，即

R=(T»,+oo)o

」____________________________________U」1J

x

aA-axao,

x》axWax>ax<a

{NxMa}{x|*W0}{xjx>a}{Rjr<a]

[a.+ao)(-co#a](a.(-8.a)

集合{x\x>a}[x\x<a}{x\x>a}{x\x<a]

区间[a,+℃)(-00,a](a,+8)(—co,a)

对点氟川J

对点集训一：函数关系的判断

典型例题

例题1.（24-25高一上•陕西•期末）下列图象中，可以表示函数的为（）

例题2.（多选）（24-25高一上•河北邯郸•期末）已知集合4={尤|-24》42且xW1},集合8={y|-lVyW2

精练

1.（24-25高一上•黑龙江大庆•期中）若函数y=/（x）的定义域为“={》|-2＜》＜2},值域为

2.（2024高三,全国•专题练习）已知A={x|04元42},8={1,2},下列图形能表示以A为定义域，5为值域

的函数的是（）

对点集训二：集合与区间的转化

典型例题

例题1.（24-25高一上•四川成都•期中）集合{x「l<xW5}用区间可表示为（）

A.（-1,5）B.[-1,5]C.（-1,5]D.[-1,5）

例题2.（24-25高一上•全国,课堂例题）用区间表示下列集合：

①{x|-2Vx-l<5}=；

②{x|3-xW3x}=;

③{f11<a}=.

精练

1.(24-25高一上•全国•随堂练习)用区间或集合表示下列数集：

(1){x|2<x<4}=;

⑵[-3,+oo)=.

2.(24-25高一上•全国•课后作业)将下列集合用区间以及数轴表示出来：

(1){x\x<2}；

(2){x|-1<x<01<x<5}；

(3){%|2<%48且"5}；

(4){x13<x<5}.

3.(24-25高一上•全国•课后作业)用区间表示下列数集.

(I){x|x>-1}；

(2){x|x<0}；

(3){x|-l<x<l};

⑷R；

(5){x|0<x<l^2<x<4).

对点集训三：同一个函数

典型例题

例题1.(24-25高一下•河北保定•阶段练习)下列四组函数中表示同一个函数的是()

A.7(%)=1与g(x)=J?B./(%)=Jx-l.Jx+l与g(x)=J%'—1

C.f(x)=与g(x)=1D.y(x)=与g(x)=

例题2.（24-25高一上•福建福州期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（）

①〃x)=x+Lg(〃)=〃+l

(2)/(x)=^—g(x)=x-l

③/(x)=^,g("=x

④/(x)=2x+3,g(x)=54尤2+12x+9

⑤〃x)=2x-5,g(x)=^(2x-5)3

A.①(2X3)B.⑤c.①⑤D.①③@@

精练

1.（23-24高一上•北京•期末）在下列各组中，/（x）与g（x）表示同一函数的是（）

A./(x)=|x|,g(x)=(4)2

2+

B.f(x)=x(x-l)(xGR),^(x)=x-x(xeR)

x

C.7(x)=X,g(x)=一

X

x,x>0

D.f(x)=\x\,g(x)=

-x,x<0

2.（24-25高一上•广东江门•阶段练习）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（）

A./(x)=x°,g(x)=l

B1/(X)=A/?,§(X)=X

C-/(x)=V?-l,g(O=?-l

D■/(x)=Jx+1-Jx-l,g(x)=y/x1-1

3.（24-25高一上•山东滨州•阶段练习）下列各组函数与g（x）的图象相同的是（）

x,x>0

A.f(x)^x,g(x)=(«JB./(x)=|x|,g(x)=

—x,x<0

c./(x)=l,g(x)=x。D./(x)=x2,g(x)=(x+l)2

对点集训四：函数求值问题

典型例题

7

例题1.（24-25高一上•广西来宾,期中）函数f（x）=5x-3,贝丫/

例题2.（24-25高一上•湖南邵阳•期中）已知"x）=±,g（x）=f+l.

（1）求〃x）,g（x）的定义域；

（2）求"2）,g（2）的值;

⑶求了（g（3））的值.

精练

1.（24-25高一上•陕西榆林•期末）已知尤-1,则/（2）=（）

A.9B.8C.3D.1

2.（24-25高一上•云南文山•期中）已知函数〃尤）=/?工，贝/"（2）]=

3.（24-25高一上•广东江门•阶段练习）已知函数了。）=而^+—二，

x+2

（1）求函数的定义域；

2

（2）求3）J（§）的值；

（3）当。＞0时,求/（。），/（。-1）的值.

对点集训五：求函数的定义域

典型例题

例题1.（24-25高一下•安徽亳州•开学考试）函数〃司=乎1的定义域为（

A.[l,2）u（2,+oo）B.（1,+co）C.[1,2]D.

例题2.（24-25高一上•广东清远,期末）函数y=j42-3x的定义域是（）

A.k|B.(—8,0]uq,+a

4

c-[0'|jD.（-=o,0）1；，+°°]

精练

1.（24-25高一上,广东汕尾•期末）下列函数中，其函数的定义域为R的是（）

A.J=7-2X2+12.X-18B.y=7-2x2+12x-17

c-y=y]x1-4x+9D.y=ylx2+4x-9

2.（24-25高一上•安徽马鞍山•期中）函数y=〃x）的定义域为[0,4],则函数丫=任二1的定义域为（）

x-3

A.[1,3）B.（1,3]

C.[-2,6]D.[-2,3）U（3,6]

3.（24-25高一上•重庆•期中）已知函数〃x）=Jl-+,则函数〃x）的定义域为.

对点集训六：函数的值域

角度1：一次、二次、反比例函数的值域

典型例题

例题1.（23-24高一上•北京•期中）给出下列4个函数：①y=3-x；②y=f+2x；③>=，；④

X

，=|乂-1.其中值域为[T,—）的函数有（写出所有正确的序号）

例题2.（23-24高一上•福建泉州•期中）函数/（力=/-2尤+2,xe[-l,4]的值域为.

精练

1.（23-24高一上•北京顺义•期中）二次函数〃x）=-/+X-2,xe[-l,l],则函数在此区间上的值

域为（）

7-1「5-1「7-

A.-4,--B,-4,--C.M，-21D.-2,--

_4j14」L」|_4_

2.（24-25高一上•四川南充•期中）函数g（x）=-x+l,xe卜1,2]的值域为.

3.（24-25高三上•山东枣庄•阶段练习）若函数=+a的定义域和值域均为[1,句，则〜的值

为.

角度2:根式型值域

典型例题

例题1.（2024高一上•浙江杭州•专题练习）函数y=0T万+的最大值是

例题2.（23-24高一上•广西南宁•阶段练习）函数"x）=x-VT万的最小值为.

精练

1.（24-25高一上•上海•随堂练习）函数y-2-y1-x2+4x，xG[0,4]的值域为（）.

A.[-2,2]B.[1,2]C.[0,2]D.[-四,忘]

2.（23-24高一上•山西太原•阶段练习）函数〃尤）=U?石71的值域是（）

A.[0,2]B.[0,+oo）C.[2,+oo）D.（0,2）U（2,^o）

3.（23-24高一•全国•单元测试）求函数、=尤+2^/1二I的值域

角度3：分式型值域

典型例题

9Y+1

例题1,（23-24高一上•黑龙江鸡西•阶段练习）函数y=半^的值域为（）

x-3

A.1—8,7]u[不，+8]B.（-oo,2）U（2,+°°）

C.RD.[-，+o°

3丫+2

例题2.（2024高三•全国•专题练习）函数y=三三的值域为_______

x-1

例题3.（23-24高一上•全国•课后作业）函数y=上的值域是

-X2-X-6

精练

1.（23-24高一上•福建厦门•阶段练习）已知x>-1,贝IJ函数y=丁+7x+10的最小值为

X+1

2.（23-24高一上•内蒙古通辽•期中）函数y=三天在xe[0,E）上的值域是.

4x

3.（24-25高一上•河南郑州•期中）设函数，（无）=/\,求函数的定义域和值域.

2x-l

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(基础通关J

一、单选题

1.（23-24高一上•黑龙江哈尔滨•期中）已知区间[2aTll],则实数。的取值范围是（）

A.（-oo,6）B.（6,+oo）C.（1,6）D.（-oo,6]

2.（24-25高一上•湖南湘潭•期末）函数〃x）=4^+工的定义域是（）

A.（-a）,-2）J（-2,1）（1,+w）B.（-»,-2）J（-2,-1]口,内）

C.[-2,-DU（L+s）D.[-2,-DUD,+«0

3.（24-25高一上•浙江杭州•期中）函数〃力=今不的定义域为（）

A.（-oo,4]B,（1,4]C.（-00,1）（l,+oo）D.（^x）,l）u（l,4]

4.（23-24高一上•陕西西安•期中）已知函数y=/（x）的定义域为[-2,3],则函数〉=回士。的定义域为

X+1

（）

A.--JB.一展—1]（—1』C.[—3,7]D.[-3,-1）（—1,7]

5.（24-25高一上•新疆巴音郭楞•期末）下列函数中，与丫=》是同一个函数的是（）

A.y=（6）B.y=C.y=—D.y=（次）

6.（24-25高一上•内蒙古包头•期中）下列各组中的两个函数是同一函数的是（）

①％=(X+3)(A5),%=x-5；②〃x)=x,g(x)=E;

③尤）=无，利（元）=泊；④"（x）=（j2x-5）-,f2（x）=2x-5.

A.①②B.（2X3）C.③D.③④

7.（24-25高一上•福建泉州•期末）已知函数/（"=尤2-2m-机+2的值域为[0,+8）,则实数的值为（）

A.一2或1B.-2C.1D.1或2

8.（24-25高一上•山东济宁•期中）是“函数，。）=丁4—7的定义域为R”的（）

ax—2ax+l

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、多选题

9.（24-25高一上•安徽铜陵•期末）设A=[0,2],3=[0,2],下列选项能表示从集合A到集合3的函数关系

的是（）

10.（24-25高一上•安徽宿州•阶段练习）下列对应关系是集合A到集合3的函数的为（）

A.A=Z,B=Z,f:x^-y=x2

B.A=R,8={y|y>0},f:x^y=\^

C.A={-1,2,1},B={0},f：x^y=0

D.A=Z,B=Z,-y=2x

三、填空题

、2016

11,（24-25高一下•安徽亳州•开学考试）若函数/（x）=/,°的定义域是R,实数”的取值范围

7ax+2ax+2

是■

12.（24-25高一上・江苏扬州•阶段练习）函数y=-尤2+2x+3（0VxV3）的值域.

四、解答题

13.（24-25高一上•河南郑州•期中）已知函数，（元）=弃止（彳/3.

2x-l2

12

（1）求吗）和/（1）,八0）和/（I）的值.

（2）猜想一