2025初升高数学专项提升：集合的概念（预备知识）原卷版

专题01集合的概念

1、通过具体的实例，能根据集合中元素的确定性、互异性和无序性判断某些元素的全体是否能组成集合,

发展数学抽象素养.

2、知道元素与集合之间的关系，会用符号“e”“e”表示元素与集合的关系，能用常用数集的符号表

示有关集合.

3、会根据具体问题的条件，用列举法表示给定的集合；能概括给定数学对象的一般特征，并用描述法表示

集合，提高语言转换和抽象概括能力，增强用集合表示数学对象的意识，发展数学抽象素养.

1.元素与集合的概念及表示

(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母"c…表示.

(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A,8,C…表示.

(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.

2.元素的特性

(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的.也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这

个集合中就确定了.简记为“确定性”.

(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说，集合中的元素是不重复出现的.简记为''互

异性”.

(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的.简记为“无序性”.

3.元素与集合的关系

(1)属于：如果。是集合A的元素，就说。属于集合A,记作aeA.

(2)不属于：如果“不是集合A的元素，就说〃不属于集合A,记作。任4.

4.常用的数集及其记法

常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

数学符合NN*或N.ZQR

5.列举法

把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开.

（2）集合中的元素必须是明确的.

（3）集合中的元素不能重复.

（4）集合中的元素可以是任何事物.

6.描述法

（1）定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P。）的元素X所组成的集合表示为

{XGA|P（X）},这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线.

（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖

线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

对点集训一：集合的基本概念

典型例题

例题1.（24-25高一上,广东清远•阶段练习）给出下列说法：

①所有接近于0的数构成一个集合；

②2019年高考数学全国卷I中的选择题构成一个集合；

③高科技产品构成一个集合；

④所有不大于3的自然数构成一个集合；

⑤1,0.5,1,3组成的集合含有4个元素.

其中正确的是（）

A.B.②③⑤C.③④⑤D.②④

例题2.（24-25高一上•全国•课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（）

A.数学必修第一册课本中所有的难题B.小于8的所有素数

C.直角坐标平面内第一象限的一些点D.所有小的正数

精练

1.（24-25高一上•全国•课后作业）下列给出的对象中能构成集合的是（）

A.著名物理家B.很大的数C.聪明的人D.小于3的实数

2.（24-25高一上•重庆渝北•期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（）

A.学校篮球水平较高的学生B.校园中长的高大的树木

C.2007年所有的欧盟国家D.中国经济较发达的地区

3.（24-25高一上•河南洛阳•阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（）.

A.最大的正实数B.最小的整数

C.平方等于1的实数D.最接近1的实数

对点集训二：判断元素与集合的关系

典型例题

例题1.（24-25高一上•安徽铜陵•期末）下列关系中正确的个数是（）

①OeN;②丛生Z:③5R;④兀eQ

A.1B.2C.3D.4

例题2.（24-25高一上•湖南邵阳•期中）下列关系中正确的是（）

A.|eQB.V2IRC.OeN+D.neZ

精练

1.（24-25高一上•甘肃•阶段练习）下列关系正确的是（）

A.0eN*B.|eZC.-72eQD.-7.8GR

2.（24-25高一上■广东清远■阶段练习）已知集合4={0,-1},则-1与集合A的关系为（）

A.-L=AB.-12AC.-leAD.-l^A

3.（24-25高一上•天津南开•期中）给出下列关系：①卜2|eN*;②OgZ;③0eQ;@--eR亳l.OieQ.

其中错误的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

对点集训三：利用集合中元素的互异性求参数

典型例题

例题1.（24-25高一上•吉林长春•阶段练习）已知3e{l,a,a+2},则实数a的值是（）

A.3B.1（：.3或1D.0

例题2.（24-25高一上•陕西渭南•阶段练习）若〃+2e{l,3,/},。的值为.

精练

1.（2025高三•全国•专题练习）已知集合4={m+2,2信+机}，若3eA,则用的值为（）

333

A.1B.――C.1或D.-1或一

222

2.（多选）（24-25高三上,江西新余•阶段练习）若集合A={/+2a,3a+2,8},则实数。的取值可以是（）

A.2B.3C.-4D.5

3.（24-25高一上•内蒙古兴安盟•阶段练习）设集合4={1,“,/一2},若2eA,则实数〃=

对点集训四：用列举法表示集合

典型例题

例题1.（24-25高一上,江苏盐城•期末）已知集合4=，尤则用列举法表示A=（）

A.{-2,0,1,2,4}B.{-2,0,2,4}C.{0,2,4}D.{2,4}

例题2.（24-25高一下•上海•开学考试）用列举法表示集合{x|-24x<2,xeN}=.

精练

1.（24-25高一上•云南玉溪•期末）已知集合4={引5*2+4元=0},则集合A=（）

A.{0}B.C.“,-曰D.|o,||

2.（24-25高一上•陕西西安•期末）已知集合4={-3,-2,0,1,2,3,4},B={x\x^A,-xiA\,贝IJB=（）

A.{0,1,4}B.{1,4}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3,4）

3.（24-25高一上•江西宜春•阶段练习）集合{尤eN*|尤-3<2}的另一种表示法是（）

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}

C.{0,123,4,5}D.{1,2,3,4,5}

对点集训五：用描述法表示集合

典型例题

例题1.（24-25高一上•全国•随堂练习）对集合用描述法来表示，其中正确的是（）

A.<x|x=—,HGZ,<5>B.]x=—£Z,且〃W51

InJInJ

C.|x|x=—,neN+,Hn<sjD.|x|x二』,〃£N+,且〃（5：

例题2.（24・25高一上•全国•课后作业）用描述法表示下到集合：

（1）平面直角坐标系中的工轴上的点组成的集合；

（2）抛物线y=f—4上的点组成的集合；

（3）使函数y=52有意义的实数*组成的集合.

x-1

精练

1.（24-25高一上•青海西宁•阶段练习）不等式尤2-9>0的解集是（）

A.{x|-3<x<3}B.{x\x<-3]

C.{x|x>3jD.{犬|%<—3或兄>3}

2.(24-25高一上•福建泉州•期中)已知集合”={1,5,9,13,17},则()

A.1x|x=2n+1,nGN,n<81B.{A-|X=2«-1,776N,n<9}

C.|x|x=4n+l,neN,n<4^D.{乂x=4〃-3,〃eN,〃<5}

3.（多选）（24-25高一下,河北保定•阶段练习）下列用描述法表示的集合，正确的是（）

A.奇数集可以表示为{xeZ|x=2A:+l«eZ}

B.“小于10的整数”构成的集合可以表示为卜|尤<10}

C.{小>2}表示大于2的全体实数

D.不等式d_i>o的解集表示为

对点集训六：集合中的含参问题

角度1：已知集合相等求参数

典型例题

例题1.（24-25高一上•江苏南通•期末）已知集合又={1,2祖+1}4={-1,疗},且知=",则根=（）

A.-1B.1C.±1D.0

例题2.（24-25高一上■北京房山■期中）已知集合A={1,〃7+”,叫,8=<0,2,"，且A=B,则

mn=

精练

1.（多选）（23-24高一•全国•课后作业）已知集合{x|mx2-2x+1=o1={〃},则〃?+〃的值可能为（）

A.0B.1

C.1D.2

2.（23-24高二下•天津河西•期中）含有3个实数的集合可表示为又可表示为忖,。+如},则

3（23-24高一下•北京•期末）已知集合A={尤W}、B={4.r+21,4y+21}.若A=B,贝”+，=.

角度2：已知集合元素个数求参数

典型例题

例题1.（24-25高一上•陕西西安•阶段练习）已知集合4=卜|ax2+以+2=0}，若集合A为空集，则实数4

的取值范围是（）

A.{〃|0<Q<8}B.{a\0<a<8}

C,{。1Q<0或〃〉8}D.aW0或〃〉8}

例题2.（24-25高一上•上海•期中）若集合{尤忸f+4x+i=o}只含有一个元素,则实数万的取值范围为.

例题3.（24-25高一上•北京•阶段练习）若集合A={x侬2+4x+4=0}中有2个元素，则％的取值范围

是■

精练

1.（24-25高一下•云南红河•开学考试）若集合A={x|o?_2x+2=0}中只有一个元素，贝心=（）

A.0B.1C.0或gD.0或1

2.（多选）（24-25高一上•江西赣州•阶段练习）若集合A={x|（"l）尤2+（左+2）尤+3=0}有且只有一个元

素，则实数后的值可以为（）

A.4B.3C.2D.1

3.（24-25高一上•全国•课后作业）已知集合4=卜产+工-。=0},其中。为实数，若集合A中仅含有一个

元素，求”的值.

一、单选题

1.（24-25高一上•安徽铜陵•阶段练习）设集合A={1,2,4},B={x\x=a+b,a^A,b^A},则集合B中

有（）个元素

A.4B.5C.6D.7

2.（2025•宁夏银川•一模）已知集合4={0,1,2},则集合3={（羽y）lx<y,xeA}中元素的个数是（）

A.1B.3C.6D.9

3.（24-25高三上•贵州贵阳•期末）以下选项中，是集合A={（x,y）l2x+y-l=0}的元素的是（）

A.{（-2,2）}B.（-2,2）C.{（1,-1）}D.（1,-1）

4.（24-25高三上•陕西西安,期末）已知集合A={-3,l,2},B={l,2,3},C={HxwA,且r£JB},则C=（）

A.{-3}B.{3}C.{1,2}D.{-3,1,2}

5.（24-25高一上•湖南长沙•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.我校很喜欢足球的同学能组成一个集合

B.联合国安理会常任理事国能组成一个集合

C.数1,0,5,齐，黑组成的集合中有1个元素

D.由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1,2,3,4

6.（24-25高一下•湖南娄底•阶段练习）集合A={尤eZ|-6<4x-2<6},贝!!下列表示正确的是（）

A.luAB.0GA

C.l^AD.-leA

7.（2025,河南•一模）已知集合4=卜|3冰—240},若IEA且2仁4,贝!I（）

12

A.—<4Z<—B.ci<0

33

122

C.—<〃4—D・〃〉—

333

8.（24-25高一上•陕西•阶段练习）若一3.。一3,2。-1,/_1},贝IJ”的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

二、多选题

9.（24-25高一上•福建泉州•阶段练习）下面四个说法中正确的是（）

A.10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}

B.由2,3组成的集合可表示为{2,3}或{3,2}

C.方程/一人+4=0的所有解组成的集合是{2,2}

D.。与{0}表示同一个集合

10.（24-25高一上•云南临沧•阶段练习）一次函数［，=2*-3与>=尤-2的图象的交点组成的集合是（）

A.{1,-1}B.{（1,-1））

三、填空题

11,（24-25高三下•辽宁•阶段练习）已知集合。={尤|—==与£}恰有一个元素，则4的取值集合为—

x-2x-2x—

12.（24-25高一上•山东荷泽•期中）已知集合A={x|x（x—D（x+l）=O},则4=

四、解答题

13.(24-25高一上•全国•课后作业)选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集.

(1)大于1且小于70的正整数构成的集合A;

(2)小于8的质数组成的集合C;

⑶方程2/_》_3=0的实数根组成的集合。；

(4)函数>=-2/+.丫图象上的所有点组成的集合E;

(5)不等式2彳-3<5的解组成的集合户.

14.(24-25高一上•河北石家庄•阶段练习)已知集合A={a-2,2/+50,12},且-3eA,求。的值.

/--------------[HHHK.

（拓展提优J

1.(24-25高一下,河北保定•阶段练习)已知集合4=卜,2+2024%+2025=0},

5=卜卜2+〃祖炉+4以+4)=()},记非空集合S中元素的个数为|S|,已知||A|-1为1=1,记实数a的所有

可能取值构成集合是T,则171=()

A.5B.3