2025年初中七年级数学 相交线与平行线 压轴专练（解析版）

初中教学

相交线与平行线（压轴题专练）

【题型一平行线中含一个拐点问题】

【题型二平行线中含两个拐点问题】

【题型三平行线中含多个拐点问题】

【题型四平行线中与平移的综合问题】

【题型一平行线中含一个拐点问题】

例题：如图，AB//CD,若NN=40。，ZC=26°,则NE=

【答案】66。##66度

【详解】解：如图所示，过点£作E尸〃48,

VEF//AB,AB//CD,

：.AB//CD//EF,

：.ZAEF=ZA=40°,ZCEF=ZC=26°,

/AEC=ZAEF+ZCEF=66°,

故答案为：66°.

AB

【变式训练】

1.如图，AB//EF,则ZC,NE满足的数量关系是

4------------------B

【答案】N/+NC+NE=36QP

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【详解】如下图所示，过点C作CD//N3,

,/CDHAB,

：.ZA+ZACD=180°（两直线平行，同旁内角互补）,

ABHEF,CDHAB,

CD//EF,

NE+NOC£=180。（两直线平行，同旁内角互补）,

N4+ZACD+ZE+ZDCE=360°,

ZA+ZACE+ZE=360°,

.•.在原图中NN+NC+NE=360。，

故答案为：ZA+ZC+ZE=360°.

2.已知：AB//EF,在平面内任意选取一点C.利用平行线的性质，探究乙8、ZKNC满足的数量关系.

图形/B、/F、NC满足的数量关系

图⑴

图⑵

图⑶

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图（4）

图（5）

图（6）

（1）将探究"/尸之间的数量关系填写下表:

（2）请选择其中一个图形进行说明理由.

【详解】⑴

解：Z.B、NC、/斤之间的数量关系如下表：

图形NB、NF、/C满足的数量关系

图⑴/B+/F=/C

图(2)/F-/B=/C

图(3)ZB-ZF=ZC

—

图(4)Z5+ZF+ZC=360°

—

图(5)ZB-ZF=ZC

图（6）ZF-ZB=ZC

（2）

解：图（1）NC与/B、/尸之间的数量关系是：ZB+ZF=ZC.

理由：过点C作CG〃/瓦

ZBCG=ZB,

'：AB//EF,

：.CG//EF,

：.ZGCF=ZF,

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ZBCG+ZGCF=ZB+ZF,

・•・ZB+ZF=ZBCF；

图(2)/C与/B、/b之间的数量关系是：/F-/B=/C.

理由：过点。作CG〃45,

/BCG=/B,

■:AB〃EF,

：.CG//EF,

：.NGCF=NF,

：.ZGCF-ZBCG=ZF-ZB,

・•・ZF-ZB=ZBCF；

图(3)/C与NB、N/之间的数量关系是：/B-NF=/C.

理由：过点。作CG〃4B,

/BCG=/B,

•:AB〃EF,

：.CG//EF,

：./GCF=NF,

：.ZBCG-ZGCF=ZB-ZF,

・•・ZB-ZF=ZBCF；

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图(4)/C与48、/尸之间的数量关系是:Z5+ZF+ZC=360°.

AB

\

G....................—>C

E------------------------?

图(4)

理由：过点。作CG〃4B,

NBCG+N5=180。，

•:AB〃EF,

：.CG//EF,

.\ZGCF+ZF=180°,

ZBCG+ZB+ZGCF+AF=180°+180°,

・•・ZB+ZF+ZBCF=360°；

图(5)/C与/B、/b之间的数量关系是:ZB-ZF=ZC,

理由：过点C作CG〃45,

/BCG=/B,

■:AB〃EF,

：.CG//EF,

：./GCF=NF,

：.ZBCG-ZGCF=ZB-ZF,

：.ZB-ZF=ZBCF；

图（6）/C与NB、N/之间的数量关系是：ZF-ZB=ZC.

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理由：过点。作CG〃45,

・•・/BCG=/B,

■:AB〃EF,

：.CG//EF,

；./GCF=/F,

：.ZGCF-ZBCG=ZF-ZB,

：./F・/B=/BCF；

【题型二平行线中含两个拐点问题】

例题：如图所示，AB〃CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则Nl+N2+N3+N4=

【答案】540°

【详解】解：连接5。，如图,

・•・ZABD+ZCDB=l^°f

:N2+N3+NE3Q+NFBQ=360。,

・•・Z2+Z3+ZEBD+ZFDB+AABD+ZCDB=540°,

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BPZ1+Z2+Z3+Z4=54O°.

故答案为：540。.

【变式训练】

1.如图，直线h//12,若/1=40。，Z2比N3大10°,则N4=

;

【答案】30。##30度

【详解】解：过/点作48〃直线/I,过C点作CD〃直线/2,

.*.Z5=Z1=4O°,Z4=Z8,

•.•直线11//12,

：.AB//CD,

.\Z6=Z7,

.c

VZ2比/3大10°,

.\Z2-Z3=10°,

VZ5+Z6=Z2,Z7+Z8=Z3,

.*.Z5+Z6-Z7-Z8=10°,

.,.40°-Z4=10°,

解得N4=30。.

故答案为：30°.

2.(1)如图①，如果4B〃CD,求证：NAPC=/A+NC.

(2)如图②，AB//CD,根据上面的推理方法，直接写出NN+N尸+NQ+NC=.

(3)如图③，AB//CD,若乙4BP=x,NBPQ=y,NPQC=z,ZQCD=m,贝1]m=(用x、y、

z表不).

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・•・N4=ZAPM,

,?PM//AB,AB//CD（已知）,

・•・PM//CD,

：.4C=/CPM,

・.•AAPC=ZAPM+ZCPM,

・•・ZAPC=ZA+NC；

（2）如图，过点P作PE〃AB,过点。作

VAB//DC,PE//AB,QF〃AB,

：.AB//PE//QF//CD,

・・・4+N4尸£=180。，/EPQ+NPQF=180。,ZFQC+ZQCD18（F,

：.ZA+ZAPQ+APQC+ZC=540°,

故答案为：540°；

（3）过点尸作夕£〃/B,过点0作。尸〃45,

VAB//DC,PE//AB,QF//AB,

：.AB//PE//QF//CD,

:・/B=/BPE,^QPE=ZPQF,ZFQC=ZC,

.・.AB+APQC=NC+/BPQ,

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即x+z=m+y,

m=x+z-y,

故答案为：x+z-y.

【题型三平行线中含多个拐点问题】

例题：如图，直线48〃CD,则Z2+/3+/4-N1-25的度数为'

【答案】360

【详解】过E作即〃CD,过G作G8〃CD,过〃作跖V〃CD,如图所示:

,JCD//AB,

：.EF//GH//MN//AB//CD,

：.NT=/BEF,ZGEF+ZEGH=180°,NHGM+/GMN=180。,ZNMC=Z5,

"：Z2=ZBEF+ZGEF,Z3=ZEGH+ZHGM,Z4=ZGMN+ZNMC,

：.Z2+Z3+Z4-Z1-Z5=ZBEF+ZGEF+ZEGH+ZHGM+ZGMN+ZNMC-NBEF-ZNMC

=ZGEF+ZEGH+ZHGM+ZGMN=360°.

故答案为：360.

【变式训练】

1.如图：

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⑴如图1,4〃4，若/尸=65°,计算并直接写出44+的大小.

⑵如图2,在图1的基础上，将直线尸3变成折线尸"，证明：/4+/8+/。=/尸+180°

（3）如图3,在图2的基础上，继续将且线8。变成折现人即.请你写出一条关于Z1、/2,N3,/4,N5

的数量关系（无需证明直接写出）

【详解】（1）

：.PE//n//l\

：.Z^=Z1,Z5=Z2

NAPB=N1+Z2=ZA+ZB=65°

即ZA+ZB=65°；

（2）

证明：过点P、Q分别作/I和/2的平行线分别记为Z3和/4

V/1/7/2

■：11//13（已知）

.•./4=/1（两直线平行，内错角相等）

•J13//14（已知）

/.Z2=Z3（两直线平行，内错角相等）

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,J12//14（已知）

.,.Z4+ZJB=180°（两直线平行，同旁内角互补）

Z^+Z3+Z4+ZJ?=Z1+Z2+180°

又：/1+/2=/尸，Z3+Z4=Z0

（3）

解：如图，分别过P,Q,河作PC〃/1,QD//11,ME//U,

图3

,/lx//l2,

：.PCIIQDIIMEIIIJI12

：.Z1=ZAPC,ZQPC=ZPQD,ZDQM=ZEMQ,ZEMB=Z5,

：.Z2=Zl+ZPQD,Z4=Z5+ZDQM,

：.Z2+Z4=ZI+ZPQD+Z5+ZDQM=Z1+Z3+Z5,

.*.Z1+Z3+Z5=Z2+Z4.

2.猜想说理：

（1）如图，AB//CD//EF,分别就图1、图2、图3写出ZC,N/尸。的关系，并任选其中一个图

形说明理由：

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拓展应用：

(2)如图4,若ABHCD,贝!|NZ+NC+NNFC=g；

(3)在图5中，若4B〃4D,请你用含"的代数式表示4+/2+/3+/4+.-+4的度数.

【详解】解：(1)如图1：ZA+ZC=ZAFC,

如图2：ZA-ZC=ZAFC,

如图3：ZC-ZA=ZAFC,

如图1说明理由如下：

AB//CD//EF,

：.ZA=ZAFE,ZC=ZEFC,

：.ZA+NC=/4FE+NEFC,

即a1+/C=/AFC；

过F作尸H〃48,

：.ZA+ZAFH^180°,

又•:AB//CD,

：.CD//FH,

：.4+257=180。,

：.ZA+ZAFH+ZC+ZCFH^360°,

即ZA+ZC+ZAFC=360°；

故答案为：360；

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(3)如下图：AB//CD,

-B

G

过£作EG〃/B,过F作FH〃/B,

-：AB//CD,

：.AB//EG//FH//CD,

：.ZA+ZAEG=180°,NGEF+NEFH=180。,ZHFC+ZC=180°,

：.ZL4+ZAEG+ZGEF+ZEFH+ZHFC+ZC^l80°x3,

即AA-VZAEF+ZEFC+ZC=540°；

综上所述：

由当平行线AB与CD间没有点的时候，ZA+ZC=180°,

当/、C之间加一个折点厂时，ZA+ZAFC+ZC=2x180°；

当/、C之间加二个折点£、/时，则//+NAEF+/EFC+/C=3xl80。；

以此类推，如图5,AxB//AnD,

当4、4之间加三个折点4、4、4时，

则Z4+幺+幺=4X180C；

当4、4之间加〃个折点4、4、…4T时，

即/1+/2+/3+N4+L+Zn的度数是（“-l）xl80。.

【题型四平行线中与平移的综合问题】

例题：(2023下•全国•八年级假期作业)如图，线段N3,2C被直线/C所截，。是线段NC上的点，过点。

^DE//AB,连接4E,NB=NE.将线段NE沿着直线/C平移得到线段PQ,连接。。.

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(1)求证：AE//BC；

(2)若/E=75。，DEVDQ,求/。的度数.

【答案】(1)见解析

(2)4=15°

【详解】解：(1)证明：，4/£+4=180。.

:NB=NE,:./BAE+NB=180°,AE//BC.

(2)如图，过点。作。下〃4E1交48于点R则DE+BED尸=180。.

：/£=75°,:.ZEDF=1800-ZE=105°.

由平移的性质，得PQ〃4E,

DF//PQ,ZFDP=ZDPQ.

DEYDQ,:.NEDQ=90°,

ZFDQ=360°-105°-90°=165°.

ZFDQ=ZFDP+ZQDP,

ZDPQ+ZQDP=ZFDQ=165°,

.•.Ze=180°-165o=15°.

【变式训练】

1.（2023下•陕西咸阳•八年级统考期中）如图，将“3C沿3C的方向平移得到S斯.

AD

BF

EC

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(1)若N8=74。，求/DE尸的度数；

(2)若8c=3cm,EC=2cm,求AABC平移的距离.

【答案】(1)74。

(2)1cm

【分析】(1)根据平移的性质，得到对应角相等，即可得解；

(2)根据,求出5E的长，即为。8C平移的距离

【详解】(1)解：将“BC沿BC的方向平移得到SE尸，

ZDEF=4B=74°；

(2)解：VBC=3cm,EC=2cm,

:.BE=BC-EC=lcm,即：O8C平移的距离为Ie%

【点睛】本题考查平移的性质，熟练掌握平移的性质，是解题的关键.

2.(2023下•江苏淮安•七年级校联考期中)如图，将“3c沿射线43的方向平移2个单位到SE尸的位置,

点4B、C的对应点分别点。、E、F.

(2)若ZABC=75。，求/CEE的度数.

【答案】⑴5

(2)105°

【分析】(1)根据平移的定义可知3E=2,进而可知北=5；

(2)根据平移的性质可知3C〃EF,AE//CF,再利用平行线的性质解答即可.

【详解】(1)解：•••将”3C沿射线43的方向平移2个单位到ADEF的位置，

:.BE=2,

AB=3,

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，AE=BE+AB=2+3=5,

故答案为5；

(2)解：由平移的性质可知：BC//EF,AE//CF,

：.AE=ZABC,ZE+ZCFE=180°,

'：ZABC=75°,

ZE=15°,

：.ZCFE=180°-/£=180°-75°=105°.

【点睛】本题考查了平移的性质，平移的定义，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键.

3.(2023下•江西南昌•七年级统考期末)将三角形/3C沿射线方向平移到三角形DE厂的位置.

图1图2备用图

(1)如图1,当点。与点2重合时.

判断：ZBFENC8尸；(用“>"、"="、“<”填空)

(2)如图2,当点。与点3不重合时，连接AF,CF.试探究//C3,ZCBF,NATO三个角之间的数量关

系，并证明你的结论.

【答案】(1)=

(2)ZACB=ZCBF+ZBFD或ZACB=ZCBF-NBFD,见解析

【分析】(1)根据平移的性质得出结论；

(2)根据点。的位置可分为点。在点8左边和点。在点8右边两种情形，利用平行线的性质得出结果.

【详解】(1)解：=,理由如下：

V三角形DEF是由三角形平移得到，

:.BC//EF,

：.ZBFE=ZCBF；

(2)解：根据点。的位置可分为两种情形,

①若点。在点3左边，如图.

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BC//EF,

：.ZBFE=ZCBF,

・•・ZACB=ZCBF+ZBFD.

BC//EFf

：.ZBFE=ZCBF,

・•・ZACB=ZCBF-ZBFD.

【点睛】本题主要考查图形的平移和平行线的性质，灵活运用这些性质和特点是解题的关键.

4.(2023下•河北邢台•七年级校考期末)如图1,AB,被直线ZC所截，4=72。，过点4作4E〃5C,

。是线段ZC上的点，过点D作DE〃4B交4E于点E.

JZ7JZ7AZT

图1图2图3

⑴求/E的度数；

(2)将线段AE沿线段AC方向平移得到线段PQ,连接.

①如图2,当/后。。=45。时，求N。的度数；

②如图3,当/即。=90。时，求N0的度数；

③在整个平移过程中，是否存在/即。=3/。？若存在，直掾写出此时ZEE0的度数，若不存在，请说明

理由.

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【答案】(1)NE=72°

(2)①/。=27。；②/。=18。；③存在，/即。=54。或/£。。=108。

【分析】⑴利用平行线的性质得/8/£+/B=180。，4+/A4E=180。，根据同角的补角相等可得答案;

(2)①如图1中，过点。作。F〃NE,则/£。尸=/石=72。，再证明。尸〃P。，根据平行线的性质可得

答案；

②如图3中，过点、D作DF//4E,则/£。尸=/£=72。，再证明。尸〃P0,根据平行线的性质可得答案即

可求解；

③分两种情形：图2,图3分别求解即可.

【详解】(1)•/AE//BC,

：.ZBAE+ZB=180°.

'：DE//AB,

NE+NB4E=18。。,

：.NE=NB=72°；

(2)①如图2,过点、D作DF〃AE,

：.ZEDF=ZE=72°,

ZFDQ=ZEDF-ZEDQ=72°-45°=27°.

•/PQ//AE,DF//AE,

DF//PQ,

：.ZQ=ZFDQ=27°；

②如图3,过点。作。尸〃NE,

ZEDF=ZE=72°,

ZFDQ=ZEDQ-ZEDF=90°-72°=18°.

•/PQ//AE,

：.DF//PQ,

：.ZQ=ZFDQ=1S°；

③存在，/瓦?。=54。或/£。0=108。.

如图2,当/切Q=3/Q时，

由①知，3/。+/。=72。，N0=18。，

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ZEDQ=54°；

如图3,当/切。=3/。时，

由②知，3/。=/。+72。，/。=36。，

ZEDQ=10S°

图2图3

【点睛】本题考查了平移性质、平行线的性质，角的和差等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构

造平行线解决问题，并学会用分类讨论的思想思考问题.

5.（2023下•福建泉州•七年级统考期末）如图，将线段N5平移得到CD,使A与。对应，8与C对应，连

接BC.

(1)求证：ZB=ZADC；

（2）点G在3c的延长线上,点、C与C'关于直线DG对称，直线DC'交BC的延长线于点E.点、F在线段CE上,

且/DFE=/EDF.

①设=求NFDG的度数（用含。的代数式表示）;

、〒口CGCD

②证明：一=—

GEDE

【答案】（1）证明见解析

（2）①NEDG=；a；②证明见解析

【分析】（1）根据平移的性质可知AB//CD,再利用平行线的性质可知=

（2）①根据平行线的性质及对称的性质可知//OC=2/EDG,进而可知NEDG='a；②根据对称的性质

2

可知ACDG的面积与△OGC'的面积相等，再利用等面积法可知笑=用.

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【详解】（1）证明：将线段48平移得到CO,使A与。对应，5与C对应,

・•・由平移性质知40〃8C,ABHCD,

：./ADC=/DCF,/B=/DCF,

・•・ZADC=ZB；

（2）①解：・・•由（1）知

・•・ZADF=ZDFE,

ZDFE=ZEDF,

・•・ZADF=ZEDF,

VZEDF=ZFDG+ZEDG,ZADF=ZADC+ZCDF,

・•・ZADC+ZCDF=ZFDG+ZEDG,

由对称性质知，NCDG=NEDG,

：.ZEDG=ZCDF+ZFDG,

・•・ZADC+ZCDF=ZFDG+ZCDF+ZFDG,

・•・ZADC=2ZFDG,

♦：4B=a,ZADC=/B=a,

：.ZFDG=-a；

2

AD

②证明：过G作GMLOC于M,GNIDE于N,并连接GC',

.••由对称性质知，ACAG的面积与△DGC'的面积相等，CD=C1b,

=—C

SZA=—2CD-GM,SZAGDC2'D-GN,

/.GM=GN,

•：S.GDE=-DE-GN,

S^EDGLDE•GNDE

2

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过。点作于点”,

&-CGDH

贝!|也屿=2-------CG

,△EDG^GEDHGE

2

.CGCD

【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，轴对称的性质，掌握平移的性质及轴对称的性质是解题

的关键.

6.(2023下•北京海淀•七年级期末)如图，已知线段点C是线段外一点，连接/C,

ZG4S=a(90o<«<180°).将线段NC沿N8平移得到线段BD.点尸是线段上一动点，连接尸C,PD.

图1备用图

(1)依题意在图1中补全图形，并证明：ZCPD=ZPCA+ZPDB；

(2)过点。作直线/〃尸0.在直线/上取点^ZMDC=^ZCDP.

①当a=120。时，画出图形，并