2025初升高数学专项提升：集合的基本运算（预备知识）解析版

专题03集合的基本运算

1、理解并、交集的含义，会求简单的并、交集

2、借助Venn图理解、掌握并、交集的运算性质

3、根据并、交集运算的性质求参数问题

(新知速通J

1、交集：一般地，由属于集合A且属于集合3的所有元素组成的集合，称为A与3的交集,

记作AA8,即=，且xeB}.

2、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合3的元素组成的集合，称为A与3的并集,

记作AU8,即AUB={x|xeA,或xeB}.

3、补集：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合

A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作G/A，

即CJJA-{x\xeU,且xeA}.

4、集合的运算性质

(1)Ap[A=A,AQ0=0,Ap\B=BC\A.

(2)A\JA=A,A\J0=A,A\JB=B\JA.

(3)AD(GA)=0,AU(CUA)=U,CU(CUA)^A.

5,高频结论

(1)AcB<4>AnB=A<=>A\JB=B<=>CVBcCVA.

(2)C£/(AnB)=(C£/A)U(C[/B),Cu(AU5)=(CuA)n(C*).

6、区间的概念

6.1区间的概念

设a,〃是实数，且a<b,满足aW九Wb的实数x的全体，叫做闭区间，

记作[a,切，gp,[a,b]={x\a<x<b}Q如图：a,b叫做区间的端点.在数轴上表示一个区间时，若

区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示.

I111一I1

"bxabx“b飞abx

a<x<ba<x£ba^x<b

国"近"Wb}{r|a<x<b}(r|u<xWb)

l0・R(«.ft)(a,可(«•b)

闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间

集合{x\a<x<b}{x|a<x<b]{x\a<x<b]{x\a<x<b}

区间[a,b](a/)(a,句[a])

6.2含有无穷大的表示

全体实数也可用区间表示为(-8,+°。)，符号"+s”读作"正无穷大”，“f”读作“负无穷大”，即

R=+co)o

J__________f________________u

axaxaxo*

axWax>ax<a

a!a}忖*>0}{x|x<a}

[a)+ao)(-«»tf](a."Ho)a)

集合{x\x>a}{x\x<a}{x\x>a}{x\x<a}

区间[a,+oo)(a,+oo)(-℃,a)

/------[HHHK.

（对点集训J

对点集训一：交集

角度1：交集的概念及运算

典型例题

例题1.（24-25高一上•北京•期中）已知集合知={尤1-3<》<1},2V={-3,-2,-1,0,1},则〃口"=（

A.{—2,—1,0}B.{-3,—2,—1}C.2,-1,0,1}D.{-3,—2,—1,0}

【答案】A

【知识点】交集的概念及运算

【分析】根据集合的交集，可得答案.

【详解】由题意可得McN={-2,-1,0}.

故选：A.

例题2.（24-25高一下•广西崇左•阶段练习）已知集合4=3-34彳41},8={刈了区2},则402=（

A.^x|-2<x<l|B.{x|-3WxWl}C.^x|-3<x<2}D.{疝WxW2}

【答案】A

【知识点】交集的概念及运算

【分析】先解绝对值不等式得出集合5,再应用交集定义计算求解.

【详解】依题意，B={x\-2<x<2},而A={x|-3WxWl},

所以AcB={x|-2WxWl}.

故选：A

精练

1.（2025•全国•模拟预测）已知集合4=何-1<%<3},5={-1,0,1,2,3},则（）

A.{0,1,2,3}B.{xl-l<x<3}C.{-1,0,1,2,3}D.{x[T<x<3}

【答案】A

【知识点】交集的概念及运算

【分析】根据交集定义计算求解.

【详解】由题可得4=何一1—},B={-1,0,1,2,3},则Ac3={0,l,2,3}.

故选:A.

2.（24・25高一下,云南•阶段练习）集合A={x|2<xv4},3={x|-lv%v3},则AQ5=（）

A.{x\2<x<3}B.{x|-l<x<4}C.{x|-l<x<2}D.{x|3<x<4}

【答案】A

【知识点】交集的概念及运算

【分析】根据集合的交集运算即可.

【详解】因为A={x|2Wx<4},B={x[T<x<3},

所以Ap|3={x|2Vx<3}.

故选：A.

3.（2025•陕西•模拟预测）已知集合4={（元,y）b=/_2x_i},B=M，y）|y=2x-5},则Ac3的元素个数

是（）

A.0B.1C.2D.无数

【答案】B

【知识点】交集的概念及运算

【分析】依题意，AcB转换为两函数图象交点问题，联立方程组求解，从而得到答案.

[详解】联立F=；_?T,整理得2『=0,

[y=2%一5

解得x=2,则>=-1,即Ac8={（2,-1）},有1个元素.

故选：B.

角度2:根据交集的结果求集合或参数

典型例题

例题1.（2025高三・全国•专题练习）已知集合4=徊—3<%42},8={疝-》<2”?},且4口8=3-1«彳<2},

则，w=（）

3

A.-B.0C.-1D.1

2

【答案】D

【知识点】根据交集结果求集合或参数

【分析】根据交集的结果直接求解即可.

【详解】因为A={x|-34xW2},3={x|%21-2加},

且={x|—1W尤W2},所以1—2加=—1,解得〃z=l.

故选：D.

例题2.（24-25高一上•河北唐山•期中）已知集合4=何一3<》<5},B={x\la+l<x<2a+l].

⑴当“=1时，求AU3,AnB;

（2）若4口3=0,求。的取值范围.

【答案】（1）AU8={X[—3<X49},AnB={x|3<%<5）.

（2）（Y,—5]U[2,4W）

【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数

【分析】（1）把。=1代入，利用并集、交集的定义直接求解.

（2）利用给定的交集结果，列式求出.

【详解】（1）当。=1时，B—1x|3<x<9},而A={H—3v%v5},

贝！j=3v%K9},Ac5={x|3V尤<5}.

（2）由人口3=0,得2a+125或2a+7W—3,解得aN2或〃4一5,

所以〃的取值范围是（F,-5]U[2,+8）,

精练

1.（2025•山东临沂•一模）已知集合4=何2工-4〈0},8={2<了<2}.若4「3=0,则4的取值范围为（）

A.{x\x<l}B.{x\x<l}C.{x\x<2}D.{x\x<2}

【答案】D

【知识点】根据交集结果求集合或参数

【分析】由An3=0,可得即可得解.

【详解】A={x|2x-a<o}=^|x<|j,

因为AnB=。，

所以羡VI,解得“W2,

所以a的取值范围为{x|x<2}.

故选：D.

2.（24-25高一上•上海•期中）已知集合4={-1,1},3=国

⑴若AC3={1},求实数。的取值范围；

（2）若4口8=4,求实数”的取值范围.

【答案】（1）-1<«<1

⑵aW-1

【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数

【分析】（1）根据交集的定义即可求得结果.

(2)由ACB=A,得到A=3,利用子集的定义即可得到结果.

【详解】⑴•.-AnB={l},.-.leB,-UJB,.-.-l<a<l

(2)Ar>B=A,/.AcB,.\1,-1eB,.，.a<-l

3.(23-24高一上•福建龙岩•阶段练习)已知集合4={幻204了4。+3},3={x|-24x43}

(1)当a=l时，求AU3;

(2)若AC3=A,求实数。的取值范围.

【答案】(1){%|-2<%<4}；

(2)-14。40或a>3.

【知识点】并集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数

【分析】(1)应用集合的并运算求集合；

(2)由题设有讨论A=0、Aw0列不等式求参数范围.

【详解】(1)由题设4="|24彳〈4},3={*|-2<%<3},^AuB={x\-2<x<4]；

(2)由Ac3=A=AaB,

若A=0,有2a>a+3=a>3满足题设；

2a<a+3

若Aw0,有2。2-2,可得—1<。<0;

(2+3<3

综上，-1<々<0或a>3.

角度3:根据交集的结果求元素个数

典型例题

例题1.(24-25高三上,四川南充•阶段练习)已知集合4={(")1y=Y+l},8={(x,y)ly=x+l},贝！IAcB

中的元素个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合元素个数、列举法求集合中元素的个数

【分析】根据条件，直接求得AcB={(O,l),(l,2)},即可求解.

【详解】由厂二厂?，消y整理得到f_x=o,解得》=0或彳=1,

[y=%+1

当x=0时，v=l,当x=l时，>=2,所以AcB={(O,l),(l,2)},

故选：C.

例题2.（2025高三•全国•专题练习）已知集合A={-1,0,1},B=L|^|<oj,则AcB中整数元素的个

数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、根据交集结果求集合元素个数

【分析】先把分式不等式转化为一元二次方程得出集合5,再根据交集定义计算即可.

【详解】由与皿得卜[2）'+l）W。，解得—Kg.

x+1[x+lwO,

又4={TO,1},所以AA3={O，1},

所以Ac3中整数元素的个数是2.

故选：C.

精练

1.（24-25高一上•福建莆田•期中）设集合A={/+8,eN},B=[b2+29\b^},若Ac3=P,则尸中

元素个数为（）

A.0B.1C.2D.至少3个

【答案】C

【知识点】根据交集结果求集合元素个数

【分析】由6+8=〃+29,可得21="一>2=5一35+9，可得出关于。、，的方程组，解出。、6的值,

即可得出集合P,即可得解.

【详解】由4+8=〃+29,可得21=/-/=(〃-b)(a+b),

因为“、Z?eN,必有a>〃，S.a-b<a+b,

a—b=l,{a—b=3〜[a=11,[a=5

所以,a+6=21叱+6=7,解得味=2,

因此，P=An3={33,129}.

故选：c.

2.（23-24高二下•北京•期中）设集合A={（尤,y）|y=x},B==则集合AcB的元素的个数

为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【知识点】根据交集结果求集合元素个数、交集的概念及运算

【分析】通过求函数、=》和>=工的交点的个数即可判断.

、=尤fx=lfx=-l

【详解】由1,解得I或，，

y=一[y=i[y=T

lX

所以集合AcB的元素的个数为2个.

故选：C.

3.(23-24高一上•吉林•期末)集合A={xeN*卜2_3%-4<。},3={0,2,4,6},则AcB中元素的个数为

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【知识点】根据交集结果求集合元素个数、交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】先解不等式，求出集合A,然后得到Ac5,即可求解.

【详解】解不等式/一3x-4W0可得：-1WXW4,

因为xeN*,所以集合4={1,2,3,4},

又3={0,2,4,6},

所以4口3={2,4},

所以AcB中元素的个数为2.

故选：A.

对点集训二：并集

角度1：并集的概念及运算

典型例题

例题1.(2025•贵州贵阳•模拟预测)集合4={划尤2+4工-5=。},3={丈|/_1=0},则41^=()

A.{-1}B.{1}C.{-5,-1,1}D.{-5,1}

【答案】C

【知识点】并集的概念及运算

【分析】根据一元二次方程的根化简两个集合，即可由并集的定义求解.

【详解】A={-5,1},B={1,-1},所以AuB={-5,-l,l},

故选:C.

例题2.(2025高三・北京・专题练习)集合4=徊*+220},3=卜，-3*-4<0},则41^=()

A.{x|-2<x<4}B.{x\-2<x<4}C.{^1x>-2}D.{x\-2<x<4}

【答案】C

【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】求出集合A和B即可求出AU反

【详解】A={x|x+220}={x|x>-2},B={x|x2-3x-4<Oy={x|-l<x<4},

所以=X>-2}.

故选：C.

精练

1.(2025•湖南邵阳•二模)已知集合八卜产词，B=[X\X-1>6\,则皿3=()

A.{尤3<x<l}B.{x|x>l}C.{x[l<x<3}D.{无归>—3}

【答案】D

【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】由不等式解出集合，再求并集即可.

【详解]4={尤卜2<9}={x卜3<尤<3},8={创*_]>0}={尤|尤>1},

所以4。8={巾>一3}.

故选：D

2.(24-25高二下•北京•阶段练习)设集合4=卜|—g<x<2；,B={X|X2<1},则AUb=()

A.|x|-l<x<2}B.

C.{尤[x<2}D.{x|l<尤<2}

【答案】A

【知识点】解不含参数的一元一次不等式、并集的概念及运算

【分析】求解一元二次不等式，再根据集合并集的概念进行运算即可.

【详解】因为8=局无2<1}={尤所以AU3={XHVX<2}.

故选：A

3.(2025•天津和平•一模)已知集合人={尤卜2<尤<2},B={x|-l<x<3),则AUB=()

A.{尤卜2cx<3}B.{x|x>-2}

C.{尤|-14尤<3}D.{x|x<3}

【答案】A

【知识点】并集的概念及运算

【分析】利用并集的定义可求得集合AU反

【详解】因为A=1x|-2<x<21,B=|x|-l<x<31,贝IJAu5={H-2Vxv3}.

故选：A.

角度2:根据并集的结果求集合或参数

典型例题

例题1.(23-24高三•河南周口•阶段练习)设集合A=卜|尤2-3尤+2=。},集合3={x|x2+(a-l)x+a2-5=0'

⑴若A「B={2},求实数。的值；

(2)若AU3=A,求实数。的取值范围.

【答案】(1)«=-3,«=1

(2)卜卜4—3或a>耳].

【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、一元二次方程的解集及其根与系数

的关系

【分析】(1)根据交集先将元素2代入集合B,求出。的值再逐一验证；

(2)对B进行分类讨论，分成空集，单元素集和双元素集.

【详解】⑴由题意得4={无叱-3尤+2=0}={1,2}.

AnB={2}./.2GB,

「.22+(〃—1)x2+〃—5=0即4+2々-2+[2一5=0,化简得：/+2々一3=0,

即=解得：a=-3,a=l,

经检验当Q=-3,5={RV_41+4=0}={2},满足A。3={2}

当Q=1,3={X|炉―4=0}={—2,2},满足AA5={2}

a=-3,a=1

(2)QAUB=A,故BqA

①当B为空集，贝必vO,BP(a-l)2-4(a2-5)<0,得。<—3或。>：;

②当8为单元素集，贝必=0,即(。-一4("-5)=0,得a=(或。=一3,

当a==]-|}(ZA,舍去；当a=-3,3={2}屋A符合；

③当8为双元素集，则B=A={1,2},则有无解，

[1x2—d—3

综上：实数”的取值范围为“卜4-3或a>：].

2Y+1

例题2.（23-24高一上•江苏无锡•阶段练习）已知集合A={x|--<1}B={x\x2-2x-3<0]C={x\x<a],

x+199

全集。=R.求：

（l）AnB;

⑵&A）n8；

（3）若BUC=C,求。的取值范围.

【答案】（l）A^B={x|-l<%<0}；

（2）（eA）n8={x|0<x43或x=-l}；

⑶（3,+8）.

【知识点】交集的概念及运算、根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式

【分析】（1）解分式不等式、一元二次不等式求集合，再由交运算求结果；

（2）应用集合交、补运算求结果；

（3）由题设得即可确定参数范围.

2丫+1

【详解】⑴由A=*|-------<1]={X\-1<X<0]5={x|—1"X"3},得Ac3={%|—lv%K0}；

x+19

（2）由（1）A={jr|-l<%<0},全集。=R,

r.=尤4-1或x>0},贝IJ（2A）r|B={x|0<x43或无=T}；

（3）由BUC=C,则3=结合（1）得a>3,

所以实数a的取值范围是（3,+勾.

精练

1.（2025•陕西西安•二模）已知集合4=设/+尔=0},8={1}.若4口3={0,1},贝!|〃2=（）

A.0B.1C.-1D.0或-1

【答案】D

【知识点】根据并集结果求集合或参数

【分析】解方程求出集合A,根据AU3即可确定参数机的值.

【详解】由X2+mx=0可得x=0或％=-m,

则当相。0时，A={0,-m}；当机=。时，A={0}；

因5={1},且AD5={0,1},

则加=0或加=一1.

故选：D.

2.（23-24高一上•重庆•期末）已知集合人={无值一3）（尤+2）<0},集合8={x|2a-3<x<2a+l}.

（1）当a=2时，求AcB；

（2）若AU3=A,求a的取值范围.

【答案】（l）AcB={x[l<x<3}

（2）]WaW1

【知识点】根据并集结果求集合或参数、交集的概念及运算

【分析】（1）解出集合4中的不等式，将。=2代入集合3中不等式，求两个集合的交集；

（2）由AU3=A得集合4和集合5之间的关系，求出参数的取值范围.

【详解】⑴A={x|（x-3）（%+2）<0}={x\-2<x<3},

当a=2时，B={.r|l<x<5},所以Ac3={x[l<x<3}.

（2）因为AU3=A,所以3=显然集合B非空，

[2a-3>-21

所以。“打，得

3.（23-24高一上•内蒙古呼伦贝尔•阶段练习）设集合A={x|尤2-8犬+15=0},8=何6+1=0}.

（1）若。=-；，判断集合A与3的关系；

（2）若AU3=A,求实数。的取值集合.

【答案】（1）8是A的真子集

【知识点】判断两个集合的包含关系、根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数

【分析】⑴解方程得到A={3,5},3={3},得到8是A的真子集；

（2）分8=0,3=⑶和3={5}三种情况，求出答案.

【详解】（1）A={X|X2-8X+15=0}={3,5},

a=-g时,2=卜|-卜+1=01={3},

故8是A真的子集

（2）AU3=A,故

当。=0时，B=0,满足要求，

当aHO时，若3={3}时，3。+1=0,解得

若3={5}时，5a+l=0,解得。=一2，

故实数”的取值集合为.

角度3:根据并集的结果求元素个数

典型例题

例题1.（23-24高一上•江西抚州•阶段练习）已知集合人={0,-1,3,2},B={-2,-l,l},则中元素的

个数为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【知识点】并集的概念及运算、根据并集结果求集合元素个数

【分析】根据并集的概念和运算即可.

【详解】由4={0，-1，3,2},5={-2,-1,1）,

WAU6={-2,-1,0,1,2,3）,共6个元素.

故选：C

例题2.（23-24高一上•湖南株洲•阶段练习）若集合M={1,3},A={x\x=s+t,s^M,t^M},

B=[x\x=s2+t2,seM,t^M},则集合AU3中的元素个数是.

【答案】5

【知识点】根据并集结果求集合元素个数

【分析】求出集合A、B,可求出集合AUB,即可得解.

【详解】因为集合”={1,3},A={Hx=s+f,seMjeM},B-^x=s2+t2,s&M,t&,

则4={2,4,6},B={2,10,18},所以，A|JB={2,4,6,10,18},

故集合AU3中的元素个数是5.

故答案为：5.

精练

1.（23-24高三上•贵州贵阳•阶段练习）已知集合”=口,3,5,7},N=卜|V-2x-3<0,xeN*},则MuN

中的元素个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据并集结果求集合元素个数、并集的概念及运算

【分析】先计算集合N,然后运算MuN即可.

【详解】由题意得：N={x|-1<X<3,XWN*}={1,2},

所以〃UN={1,2,3,5,7},

故MuN共5个元素，

故选：C.

2.（23-24高三上•陕西安康•阶段练习）已知集合4=卜"|炉+1<5},8={-1,1,3},则AU3中元素的个

数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【知识点】根据并集结果求集合元素个数

【分析】化简集合A,即可求出AU3中元素的个数.

【详解】由题意，

因为A={xeZ|x2+l<5}={xeZ|x2<4）={-1,0,1},B={-1,1,3},所以AU3={—1,0』,3},有4个元素，

故选：B.

3.（23-24高一上•辽宁•阶段练习）已知集合4={-1,0,1,3,4}乃={.冈（尤-2）。-6）<0},则AUB的元素

个数为（）

A.8B.7C.5D.2

【答案】A

【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、根据并集结果求集合元素个数

【分析】化简集合8即得解.

【详解】解：解不等式（x-2）（x-6）V0,得2Vx46,则3={2,3,4,5,6},

因为4={-1,0,1,3,4},

所以AU3={-1,0,L2,3,4,5,6}.

所以AUB的元素个数为8个.

故选：A

对点集训三：补集

角度1：补集的概念及运算

典型例题

例题1.（24-25高一上•广东广州•期中）已知全集。={xeZ||x-2|<3},A={xeN*|尤?-2x<3},贝!|乐4=

（）

A.{1,2}B.{3,4}C.{0,1,2}D.{0,3,4）

【答案】D

【知识点】补集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】结合绝对值不等式、一元二次不等式求解，再由补集运算即可求解.

【详解】全集U={xeZ||x—2|<3}={xeZ|-3<x—2<3}={xeZ|—l<x<5}={0,l,2,3,4},

A=UwN+|x2_2x<3}={xwN+|;r2_2x_3<0}={xwN+|_]<;r<3}={l,2}

则MA={0,3,4}

故选：D

例题2.(24-25高一下•浙江湖州•阶段练习)设集合A={小训,8=3。<彳43},贝！|&A)cB=()

A.{x[0<x<l}B.{x|x>0}

C.{x|x<l}D.{x[l<x<3}

【答案】A

【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算

【分析】根据交集、补集的运算求解即可.

[详解】因为4={小21},3=何0<*<3},

所以4A={x|x<l},(^A)nB={%|0<%<l),

故选：A

精练

1.(2025高三・全国•专题练习)设集合A={x|04x<l},B=则Ac\8=()

A.{x[0<x<l}B.

C.<x<1|D.{xOVxcg}

【答案】D

【知识点】交并补混合运算、交集的概念及运算、补集的概念及运算

【分析】解法一：根据集合的交集和补集运算求解即可；解法二：取特值检验即可.

【详解】解法一：因为3卜故％8=[卜

又A={x[04无<1},故=,

解法二(特殊值法)：因为OeA且0e3,

所以结合选项可知ABC错误，D正确.

故选：D.

2.(2025•北京丰台,一模)已知集合。={-3,-2,-1,0,1,2},A={^eZ||x|<2),则即A=()

A.{—1,0,1}B.{—2,—1,。,1,2}C.{-3}D.{-3,—2,2}

【答案】D

【知识点】补集的概念及运算、公式法解绝对值不等式

【分析】解绝对值不等式化简集合A,根据补集的概念可得结果.

【详解】由题意得，A={xwZ|-2Vx<2}={-1,0,1},

"U={-3,-2,-1,0,1,2},r.&A={-3,-2,2}.

故选：D.

3.(2025•福建厦门•二模)已知集合A={X|34X<5},3={小>4},则Ac做8)=()

A.{尤|%23}B.{x|x<4}C.{力3<无<4}D.{尤|34尤44}

【答案】D

【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算

【分析】根据补集的概念及交集的运算可得结果.

【详解】••,8={巾>4},•・42={小V4},

VA={[3<x<5},An(^B)={x|3<x<4}.

故选：D.

角度2:根据补集运算确定集合或参数

典型例题

例题1.(24-25高一上,天津滨海新•阶段练习)已知集合4=卜|x2-8x+m=0,meR),

B-[x\OX-1=0,6ZGR},且A|JB=A.

(1)若租=15,求实数a组成的集合；

(2)若加8={2},求机，a的直

【答案】

(2)m=12;a=—

6

【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据补集运算确定集合或参数、根据并集结果求集合或参数

【分析】(1)求得集合A,由8=A分类讨论可得a值；

(2)由a^={2}得2eA,2史3,求得加，再求得A,从而得集合3,最后可得“值.

【详解】(1)若加解5,可得4={尤k2-8龙+15=0}={3,5},因为AU3=A,所以3=A.

当3=0,贝Ua=O;当3={3},贝;当8={5},a=1.

综上，可得实数.组成的集合为.

（2）因为A={x,2-8x+m=0,meR^,B=^x\ax-l=O,a^R^,

且AU5=A,dAB={2},所以2GA,2出B,所以2?—8x2+m=0,

解得加=12,解了2_8%+12=0,得X=2或X=6,所以A={2,6},

所以所以6〃一1=。，解得〃=3.

6

例题2.（23-24高一上•新疆省直辖县级单位•期中）已知集合4={*|2-。〈尤<2+a},B={x\x<l^x>4\.

（1）当a=3时，求4cB；

（2）若a>0,且求实数。的取值范围.

【答案]（1）4门3=[-1,1]3[4,5]

⑵（0」）

【知识点】交集的概念及运算、根据补集运算确定集合或参数

【分析】（1）。=3时化简集合A,根据交集的定义写出AcB；

（2）根据Aq、B,得出关于。的不等式，求出解集即可.

【详解】⑴当a=3时，集合A={x|-lWx<5},B=[x\x<^>4],

AnB=[-l,l]k_>[4,5]；

（2）,A={尤|2-a<x42+a}（a>0）,

B=^x|x<lgJu>41,J.03={尤|1<%<4},

.f2-a>l

'[2+a<4'

又a>0,解得0<a<l.

二实数a的取值范围是：（0,1）.

精练

1.（2025高三•全国•专题练习）设全集S={1,2,3,4},S.A^{xES\x2-5x+m=0\,若。4={2,3},贝IJ

m=.

【答案】4

【知识点】根据补集运算确定集合或参数

【分析】根据补集概念得到A={1,4},故1,4是方程f-5x+机=0的两根，由韦达定理求出答案.

【详解】。4={2,3},故4={1,4},

即1,4是方程尤2—5x+m=0的两根，由根与系数的关系可得〃2=1X4=4.

故答案为：4

2.(24-25高一上,全国,课后作业)已知集合4={小＞3},3={x[x＞a+l}.

(1)当。=1时，求AcB;

(2)若存在集合M={x|3＜xV4},使得刎1=2,求a.

【答案】(1)4＜^={小＞3}

(2)a=3

【知识点】交集的概念及运算、根据补集运算确定集合或参数、补集的概念及运算

【分析】(1)根据交集概念求出答案；

(2)根据补集的概念求出{小＞4},结合%W=B,从而得到a+l=4,得到答案.

【详解】⑴当4=1时，3={巾＞。+1}={小＞2},所以Ac3={x|尤＞3}c{小＞2}={x|尤＞3}.

(2)因为集合4={小＞3},“=何3＜》44},所以%0={小＞4},

又6AM=8，所以a+l=4,解得a=3.

3.(23-24高一上・浙江金华•阶段练习)已知集合4={划一2＜%＜5},3="|用+1〈*〈2〃工一1}..U=R.

(1)若4口3=0,求实数机的取值范围：

(2)若4口令8=。，求实数机的取值范围.

【答案】(1)(Y®，2)U(4,+8)

(2)(-»,3]

【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据交并补混合运算确定集合或参数、根据集合的包含关系求参

数、根据补集运算确定集合或参数

【分析】(1)由An3=0分类讨论3=0、B^0,分别列不等式求加的范围，取并集即可.

(2)由条件知A,讨论3=0、B手0,分别列不等式求机的范围，取并集即可.

【详解】(1)xeR时，4口3=0知：

当8=0时，加+1＞2加一1得根＜2;

fm+1＞5,f2m—1＜—2

当3,0时，丫。1或.

[m+1＜2m—1[m+l＜2m-1

解得机＞4;

综上，，加的取值范围为(f,2)U(4,+8)；

（2）因为Aud5=U,所以AUB=A,所以

当3=0时，m+l>2m-lWim<2;

m+1>-2

当gw0时，<2m—1<5解得2<根<3;

m+1<2m-1

综上可得加W3,即机的取值范围是（~°o,3];

对点集训四：集合的并交补

角度1:并交补混合运算

典型例题

例题1.（24-25高一下•广西来宾•开学考试）已知集合。={1,2,3,4,5,6,7},4={1,2,4,5,7},3={1,3,5,7},则

AU（M=（）

A.{3,6}B.{2,4}C.{1,2,4,5,6,7}D.{3,5,7}

【答案】C

【知识点】交并补混合运算

【分析】由题意求出8的补集，根据集合的并集运算，即得答案.

【详解】因为全集〃={1,2,3,4,5,6,7},8={1,3,5,7},所以孰3={2,4,6},

又A={1,2,4,5,7},则Au&B）={1,2,4,5,6,7},

故选：C.

例题2.（24-25高一下•河北保定•阶段练习）已知集合4=|x|2<x<51,集合3=|x|3<x<71,集合

C={x|xN4}.求：

（1）求AcB,AIJB;

（2）求Ac（3cC）,Cu（AnB）.

【答案】（1）AC3={X|3<尤<5},Au3={x[2Vx<7}；

（2）An（BnC）={x|4<x<5）,Cu（Ac3）={小23}.

【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、交并补混合运算

【分析】（1）根据集合的交集和并集的定义求解；

（2）根据交集定义求BcC,再求AI（81C）,再结合（1）结合并集定义求C5AC3）.

【详解】⑴因为A={x|2<x<5|,B=|x|3<x<71,

所以Ac5={x[3<%<5},=2Kx<7},

（2）因为5={尤|341<7},C={x|x>4},

所以BcC={x[4«x<7},又A={X|2Kx〈5},

所以AC(8CC)={H4WX<5},

由(1)AnB=1x|3<x<51,C={x|尤"},

所以C5AC3)={X|XN3}.

精练

1.(2025•天津•一模)已知集合4={-2,-1,0,1,2},3=何-1(尤41},则Ac&3)=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-2-1,1}D.{-2,-1,2}

【答案】D

【知识点】交并补混合运算

【分析】利用集合的补集和交集运算即可求解.

【详解】因为3={XH<X41},所以a8={尤或X>1},

所以4。他3)={-2,7,2}.

故选：D.

2.(2025•江苏宿迁•二模)设集合U=R,M=[x\x>^,N="|-l<x<2},贝Ij{x|x4-1}=()

A.^(MnN)B.e(MUN)C.MU&N)D.MJ”)

【答案】B

【知识点】交并补混合运算

【分析】根据交集、并集、补集的知识来求得正确答案.

【详解】依题意，MCN=31<X<2},"UN={X|X)-1},

所以d(McN)={x|尤VI或xN2},A选项错误；

6(MuN)={x|x〈-l},B选项正确；

eN={尤IxV-1或x22},

Mu&N)={x|xW-l或x>l},C选项错误.

^/=卜1》41},

Nu(eM)={x|x<2},D选项错误.

故选：B

3.(24-25高一上•湖南长沙•阶段练习)设全集为R,集合A={x[24x<6},3=何3WxV8}•求AU^,

AnB,他A)AB.

【答案】A<JB=1X|2<x<81,AnB=1x|3<x<61，他A)cB={x|6KxK8}

【知识点】交并补混合运算

【分析】根据集合间运算的定义分别可得解.

【详解】由已知A={尤|24x<6},B={x|3<x<8),

贝IJAuB={尤[2<8},AcB={x[3<x<6},

44={小<2或xN6},

所以仅A)c8={x|6K8}.

角度2:根据并交补混合运算确定集合或参数

典型例题

例题1.(24-25高一下•湖南怀化•期末)已知集合4={乂尤2-5x-640},B={x\x-m<0\.

(1)当根=4时，求AU3；

(2)若Ac(43)H0,求实数，〃的取值范围.

【答案】(1)0x46}

(2)(-co,6]

【知识点】并集的概念及运算、根据交并补混合运算确定集合或参数、解不含参数的一元二次不等式

【分析】(1)首先解一元二次不等式，即可求出集合A,再根据并集的定义计算可得；

(2)首先求出再根据Ac(43)H0,即可求出机的取值范围.

【详解】(1)由彳2一5犬一640,即(x+l)(x—6)(0,解得一1WXW6,

所以A={x|尤2—5x—6VO}={x|—14尤<6},

当机=4时，8={x|x-4<。}={x|x<4},

所以Au8={x|xW6};

(2)因为B={尤={创尤<加},所以43={x|x2机},

又Ac@3)H0,A={X]-1<X<6},

所以相V6,所以实数，〃的取值范围为(-8,6].

例题2.(24-25高一上•江苏常州•阶段练习)已知全集U=R,不等式62+6尤_1>0的解集是A={x14<x<8},

集合2={尤|4-1},C={x\x>m}.

x-10

(1)求实数。，b的值；

(2)求;

(3)若AnC=0,8nCw0,求加的取值范围.

【答案】（1）0=一击1力、3

（2）（f,4]U[5,y）

（3）[8,10）

【知识点】分式不等式、交并补混合运算、根据交并补混合运算确定集合或参数、由一元二次不等式的解

确定参数

【分析】（1）根据题意，结合三个二次式的关系，列出方程组，即可求解；

（2）求得B={x|5Wx<10},结合集合并集与补集的运算，即可求解；

（3）根据集合交集的概念与运算，分别求得优的取值范围，即可求解.

【详解】（1）由不等式以2+旅一1>0的解集是4={尤|4<x<8},

a<0

13

可得16。+40-1