2025年北师大版七年级数学下册期末专项练习：解答题（含答案）

2024-2025学年北师大版（2024）七年级数学下册期末真题

专项练习04解答题

一'解答题

1.（2024七下.潮南期末）如图，四边形ABCD中，NBAD=90。，ZDCB=90°,EF分别是BD、AC

的中点，

（1）请你猜测EF与AC的位置关系，并给予证明；

（2）当AC=8,BD=10时，求EF的长.

2.（2024七下•丰城期末）如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE,BC垂直平分71E,垂

足为F,交AC于点D.连接DE.

(1)若△ABC的周长为19,ADEC的周长为7,求AB的长.

(2)若N4BC=30°,ZC=45°,求NCDE的度数.

1

3.（2024七下•榕城期末）生活中的数学:

D

图1图2

（1）启迪中学计划为现初一学生暑期军训配备如图1所示的折叠凳，这样设计的折叠身坐着舒

适、稳定，这种设计所运用的数学原理是.

（2）图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相

等，。是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度40设计为30cm,则由以上

信息可推得CB的长度也为30c加，请说明AD=CB的理由.

4.（2024七下•重庆市期末）如图1,已知八边形4BCDEFG4相邻的两边互相垂直，且4B=44,

DC=DE,动点P从八边形顶点A出发，沿着八边形的边以每秒acm的速度逆时针运动，当P运动

到点E时调头，以原来的速度原路返回，到A点处停止运动.APAH的面积为S（sn2）,运动时间为

t（秒），S与t的图象如图2所示，请回答以下问题：

2

图1图2

(1)AB=cm,DE=cm,a=cm/s-,

(2)当点P第一次在边CD上运动时，求S与t的关系式；

(3)点P在返回过程中，当时间t为何值时，AAHP为等腰三角形？请直接写出t的值.

5.(2022七下•北储期末)如图，△PBC和APAC都是直角三角形，ADBP=/.CAP=90°.

(1)如图1,PA,PB与直线MN重合，若NBQP=45。,乙4cp=30。，求乙DPC的度数；

(2)如图2,若乙BDP=45。,乙4cp=30。］280保持不动，△P4C绕点P逆时针旋转一周.在旋

转过程中，当PCIIBD时，求NAPN的度数；

图2

3

（3）如图3,ABPA=a（90°<a<180°）,点E、F分别是线段BD,AC上一动点，当△PEF周长

最小时，直接写出NEPF的度数（用含a的代数式表示）.

图3

6.（2023七下•卧龙期末）如图，在△ABC中，ZB=30°,ZACB=110°,AD是BC边上高线，AE

平分NBAC,求/DAE的度数.

7.（2024七下•栖霞期末）某商场的打折活动规定：凡在本商场购物，可转动如图所示的转盘一次,

4

并根据所转结果付账.

(1)分别求出打九折，打八折的概率；

(2)小红和小明分别购买了价值200元的商品，活动后一共付钱360元，请你分析他俩获得优惠

的情况.

8.(2024七下•肇庆期末)三角形ZBC与三角形/B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示.

(1)分别写出下列各点的坐标：A(,),B(,),C(,

______);

(2)若三角形/B'C'是由三角形ABC平移得到的，点PO，y)是三角形ABC内部一点，则三角形

A'B'C'内与点P相对应点P,的坐标为(，);

(3)求三角形A'B'C'的面积.

5

9.(2024七下•兰州期末)若5n=3,25m=ll,求53"2优的值.

10.(2024八下•大埔期末)如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交4C于P点.

(1)若乙4=35。，求乙BPC的度数

(2)若AB=5cm,BC-3cm,求^PBC的周长

6

11.(2024七下•中卫期末)图①是一个长为26，宽为2九的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块

小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.

①②③

(1)图②中的阴影部分的面积为一;

(2)观察图②请你写出三个代数式(m+刃2、(血-")2、nm之间的等量关系是.

(3)若x+y=5,xy=2,则(x—y)2=.

(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图③，它表示了—.当血=2,

n=1,计算③的面积.

12.(2024七下•中卫期末)数学实践课上，王老师在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的

红、白、黑三种颜色的球.其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概

率是最

(1)求任意摸出一个球是黑球的概率；

(2)小明从盒子里取出m个白球(其他颜色球的数量没有改变)，使得从盒子里任意摸出一个球

是红球的概率为上，请求出m的值.

7

13.（2024七下,凉州期末）如图，直线AB||CD,直线EF与ZB、CD分别交于点G、H,乙EHC=

a（0。<a<90。）.小新将一个含30。角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线

（2）若PM||EF,ZMNG的角平分线N。交直线CD于点O.

①如图②，当NO||EF时，求a的度数；

②小新将三角板PMN向右平移，直接写出ZMON的度数（用含a的式子表示）.

14.（2024七下•凉州期末）如图，已知EF1BC,AC||DG,41+42=180。.试说明直线与的

位置关系.

8

A

15.（2024七下•深圳期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的会我们称这两个角

互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形例如：在△ABC中，如果乙4=70。，ZB=35。，那

么乙4与NB互为"和谐角”，△为''和谐三角形

（1）如图1,△ABC中，乙4cB=90。，乙4=60。，点D是线段AB上一点（不与A、B重合），连

接CD.

①AABC（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；

②若CD14B,请判断ABC。是否为“和谐三角形”？并说明理由.

（2）如图2,△ABC中，^ACB=60°,乙4=80。，点D是线段AB上一点（不与A、B重合），连

接CD,若△4CD是“和谐三角形”，请直接写出乙4CO=.

9

16.（2024七下•深圳期末）如图，已知等腰三角形ABC的底边BC=15cm,。是腰AC上的一点，且

BD=12cm,CD=9cm.

(1)求证：BDLAC-,

(2)求△ABC的面积.

（2024七下•深圳期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的

球，共15个.其中红球3个，白球5个.

（1）从中任意摸出一个球，是红球的概率比是白球的概率（填“大”或“小”）；

（2）从中任意摸出一个球，是黑球的概率为；

（3）小明从盒子里取出m个黑球（其他颜色的球数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球

是红球的概率为上请求出m的值.

4

10

18.(2024七下•龙湖期末)探索与实践：

数学兴趣小组的同学在学习了平行线的性质后.用一副三角板进行探索.

如图：在三角板4BC和三角板DEC中，^ACB=ACDE=90°,AABC=30°,/.DCE=45°,将三

角板DEC绕着点C做旋转运动.

图1图2

(1)当ZB||DC时，如图1所示.Z.DCB=

(2)如图2所示，当4B||EC时，求ADCB的度数.

(3)当4BIIED时，直接写出4CB的度数

19.(2024七下•龙湖期末)如图，直线AB、CD相交于O,OE是乙4。。的平分线，OFLOE,若

AAOC=80°.求：乙4OF的度数.

CB

11

20.（2024七下•黔东南期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点

H,乙C=KEFG,乙CED=AGHD.

（1）试判断乙4ED与ND之间的数量关系，并说明理由;

（2）若乙EHF=85。，ZD=25°,求乙4EM的度数.

21.（2024七下•永寿期末）如图，A、B、C、D是四个村庄，B、D、C三村在一条东西走向公路的

沿线上，且D村到B村、C村的距离相等；村庄A、C,A、D间也有公路相连，且公路AD是南北

走向；只有村庄A、B之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路.现决定在湖面上造一座

斜拉桥，测得AC=3千米，AE=1.2千米，BF=0.7千米.试求建造的斜拉桥至少有多少千米？

12

A

22.（2024七下•永寿期末）如图，在△ABC中，E为上一点，连接CE,=BC,过点（;作。。=

AC,连接。E,且41=Z2.若NB=75°,求43的度数.

23.（2024七下•永寿期末）把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上,这摞碗的高度随着碗的数

量变化而变化的情况如表格所示：

13

碗的数量(只)12345

高度(cm)45.26.47.68.8

(1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量?

(2)求当碗的数量为7时，这摞碗的高度.

24.(2024七下,新华期末)已知4=(a+2b)(a—b)—a54-a3—(2b)2.

(1)先化简4再求当a=1,b=—3时，4的值；

(2)若a=6b,求力的值.

25.(2024七下•建平期末)自五月中旬开始，教育局开始组织县域内各校八年级学生进行生物实验加

试，某校把参加加试的学生分成5个组，以抽签方式决定各组加试顺序，工作人员准备背面完全一

样的5张纸牌，在纸牌的另一面分别写上1,2,3,4,5,将纸牌洗均后背面朝上，由每个组的带队

老师随机抽取一张纸牌，请思考以下问题：

(1)抽到的数字有几种可能的结果？

(2)抽到纸牌数字是1的概率是多少？

(3)抽到纸牌数字大于3的概率是多少？

14

26.（2024七下,朝阳期末）如图，在△ABC中，乙4=50。，DE垂直平分BC,乙4BC的角平分线BP交

DE于AABC内一点P,连接PC.若N4CP=28。，求的度数.

27.（2024七下•朝阳期末）某人制成了一个如图所示的转盘，转盘被分成8个相同的扇形，取名为

“开心大转盘”.游戏规定：参与者自由转动转盘，转盘停止后，若指针指向字母“A”，则交费2元;

若指针指向字母“B”，则获奖3元；若指针指向字母“C”，则获奖1元.

（1）任意转动转盘一次，转盘停止后，参与者交费2元，参与者获奖3元，参与者获奖1元的概

15

率各为多少？

（2）任意转动转盘一次，参与者获奖的概率是多少?

28.（2024七下•朝阳期末）如图，在△ABC中，BD平分NZBC,DEIIBC交AB于点E,NC=50。,

LBDC=95°,求ZBED的度数.

29.（2024七下•怀柔期末）完成下面的证明：

如图，AB||CD,n1=22,N3=Z4,求证：AC||BD.

证明：,.,Z_1=Z_2,（已知）

Z1+乙CBP=42+N①,（等式性质1）

即44BC=N②.

'：AB||CD,（已知）

16

.・.z③=^ABC.（两直线平行，内错角相等）

•••z3=Z4,（已知）

.•.23=Z④,（等量代换）

.••⑤.（同位角相等，两直线平行）

30.（2024七下,定边期末）已知||CD,点E是平面内一点.

（1）如图1,若NO=65。，ZB=40°,求ABE。的度数;

（2）如图2,若乙BE。=108。，求NB+N。的度数.

17

答案解析部分

1.解：(1)EF，AC.理由如下：连接AE、CE,

VZBAD=90°,E为BD中点，

.,.AE=1DB,

VZDCB=90°,

ACE=|BD,

；.AE=CE,

•.•F是AC中点，

AEFXAC；

(2)VAC=8,BD=10,E、F分别是边AC、BD的中点,

；.AE=5,AF=4,EF±AC,

.,.EF=Vs2_42=3.

2.(1)解：•••BD是线段ZE的垂直平分线，

：.AB=BE,AD=DE,

的周长为19,△DEC的周长为7,

：.AB+BE+CE+CD+AD19,CD+EC+DECD+CE+AD=7,

J.AB+BE=19-7=12,

：.AB=BE=6

(2)解：'：/.ABC=30°,ZC=45°,

：.^BAC=180°-30°-45°=105°,

在^B力。和△BED中,

BA=BE

BD=BD,

.DA=DE

18

Z.△BADBED(SSS),

:.乙BED=^BAC=105°,

，乙CDE=乙BED一乙C=105°-45°=60°

(1)根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得出4B=BE,AD=DE,结合AABC的周长为

19,△£)£1(7的周长为7,可得AB+BE=19—7=12,即可求解；

(2)根据三角形内角和是180。求出NB4C=105。，根据三组对应边分别相等的两个三角形全等可证

明仆BAD=△BED,根据全等三角形的对应边相等即可求解.

3.(1)三角形具有稳定性

(2)证明：：。是AB和CD的中点，

・•・AO=BO,CO=DO,

在^AOD^QABOC中，

AO=BO

ZAOD=ZBOC,

DO=CO

AOD^ABOC(SAS),

・•・AD=BC.

解：(1)三角形具有稳定性.

(2)理由如下：

TO是AB和CD的中点，

；.AO=BO,CO=DO,

VAO=BO,ZAOD=ZBOC,DO=CO,

.*.△AOD^ABOC(SAS),

AAD=BC.

(1)三角形的稳定性.

(2)先证明三角形全等，运用全等三角形性质得对应边相等.

4.(1)10；5；2

(2)S=110-10t(6<t<8.5)

(3)t=12或14或17时，△AHP为等腰三角形

5.⑴解:VZOBP=/.CAP=90°,ZBDP=45°,ZXCP=30°,

，乙BPD=45°,^APC=60°,

:.乙DPC=180°-45°-60°=75°；

⑵解:•."CAP=90。,Z/CP=30。，

19

：.^APC=60°,

当PCIIB£)时,分情况讨论：

①当△PAC旋转到如下图所示:

'：PC||BD,且NDBP=90。，

:.乙CPN=90°,

:.乙APN=30°；

②当△P4C旋转到如下图所示:

VPC||BD,1.ZDBP=90°,

：.^BPC=90°,

：.AAPB=30°,

:.乙APN=150°,

综上,4APN=30。或150。；

(3)解：作点P关于BD的对称点Pi，作点P关于AC的对称点22，连接P/2，与BD交于点E,与

ZC交于点F,如图所示：

20

图3

此时APEF的周长最小，

根据轴对称的性质得EPi=EP,

"i=Z.EPP1,

同理，NP2=NFPP2，

"：^BPA=a(90°<a<180°),

z.P|+Z.P2=180°一a,

:.乙EPF=a—(180°—a)=2a-180°,

BAPEF周长最小时,乙EPF=2a-180°.

(1)根据直角三角形两锐角互余可求NBPD=45。/力PC=60。，再利用角的和差即可求解；

(2)易求乙4PC=60。，当PC||BO时，分情况讨论：当PC在直线MN上方时和当PC在直线MN下

方时，据此分别画出图形，利用平行线的性质分别解答即可；

(3)作点P关于的对称点Pi，作点P关于4C的对称点P2,连接Pi22，与BO交于点E,与4c交于

点F,可得此时APEF的周长最小，根据轴对称的性质，可得EPi=EP,从而得到NPi=ZEPP1，同

=^FPP2,再由三角形内角和定理可得NPi+NP2=180。一a,即可求解.

(1)解:,:乙DBP=/.CAP=90°,乙BDP=45°,Z.ACP=30°,

:.乙BPD=45。,乙4PC=60°,

:.乙DPC=180°-45°-60°=75°；

(2)解：'：/.CAP=90。,44cp=30°,

：.^APC=60°,

当PCII时,分情况讨论：

①当△PAC旋转到如下图所示：

21

VPC||BD,且乙DBP=90。，

"CPN=90°,

:•乙APN=30°；

②当△P4C旋转到如下图所示：

D

T

'：PC||BD,且NDBP=90。，

:.乙BPC=90°,

：.^APB=30°,

:.乙APN=150°,

综上，乙APN=30。或150。；

(3)解：作点P关于BD的对称点Pi，作点P关于ZC的对称点P2,连接p〃2，与B。交于点E,与

AC交于点F,如图所示：

MPAN2

图3

此时APEF的周长最小，

根据轴对称的性质得EPi=EP,

22

z.P1=乙EPP、,

同理，zP2=/-FPP2,

U：^BPA=a(90°<a<180°),

「・z"Pi+4P2=180°—CLf

C.Z.EPF=a-(180°-a)=2a-180°,

，当周长最小时,/-EPF=2a-180°.

6.解：VZB=30°,ZACB=110°,

.,.ZBAC=180°-ZB-ZACB=180o-30o-110o=40°,

VAE平分NBAC,

ii

^Z.BAE="BAC=JX40°=20。，

TAD是BC边上的高线，

・・・ND=90。，

.,.ZBAD=180°-ZD-ZB=180o-90o-30o=60°,

・・・ZDAE=NBAD—NBAE=60。一20。=40。；

根据三角形的内角和求得NBAC的度数，然后根据角平分线的性质求得NBAE的度数，接下来根据

三角形高的性质求得ND=90。，从而利用三角形内角和定理得NBAD的度数，进而求

ZDAE=ZBAD-ZBAE,即可求解.

7.(1)1J

(2)①一个不打折，一个打八折；②都打九折；两种情况

8.(1)4(1,3),B(2,0),C(3,l)；

(2)P(x—4,y—2);

(3)解：由题意可得，

23

Ill

：-S^ABC=2x3-2X1X3-^xlxl-2X2x2=2.

(1)解：由图形可得，

4(1,3),B(2,0),C(3,l),

故答案为：1,3,2,0,3,1；

(2)解：由图形可得，4(1,3),1(-3,1)，

平移规律是：向左平移4个单位向下平移2个单位，

,,P(%—4,y—2)，

故答案为：x-4,y-2.

(1)根据平面直角坐标系直接求出点A、B、C的坐标即可；

(2)利用点坐标平移的特征(上加下减、左减右加)分析求解即可;

(3)利用三角形的面积公式及割补法求出小ABC的面积即可.

(1)解：由图形可得，

A(l,3),B(2,0),C(3,l),

故答案为：1,3,2,0,3,1；

(2)解:由图形可得,4(1,3),4(—3,1)，

平移规律是：向左平移4个单位向下平移2个单位，

：P(Xy)，

'•P(%—4,y—2)，

故答案为：x-4,y-2；

(3)解：由题意可得，

111

.・S△44c'=2x3-2X1X3--2、2*2=2.

9.297

24

10.(1)解・・・4B的垂直平分线交ZC于P点

・•.AP=BP

••・=乙ABP=35°

,/ZBPC是^BPC的外角

・••(BPC=+4ABP=35°+35°=70°

(2)解：

/.△PBC的周长=BP+PC+BC

VAP=BP,AB=AC

・・・△PBC的周长=AP+PC+BC

=AC+BC

=AB+BC

AB=5cm,BC=3cm

PBC的周长=5+3=8cm

(1)根据线段垂直平分线性质可得/尸=BP,因此乙4=乙430，再根据三角形的外角的性质可得:

乙BPC=匕4+^ABP=70°.

(2)因为aPBC的周长=BP+PC+3C,再木艮据AP=BP,AB=AC可得△PBC的周长=4B+BC,

代入数据计算即可.

11.(1)(6—71)2或(771+九)2—4nm

(2)(m—n)2=(m+n)2—4mn

(3)17

(4)(2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2,15

12.⑴P=4

(2)3

13.(1)90

(2)①Za=60。；②30。+2a或60。—2a

14.BC1AD

15.⑴解：①由题意知，Z-B=180°-/_A-^ACB=30°,'：/_B=l^A,

...△ABC是“和谐三角形”，

故答案为：是；

②△BCD是''和谐三角形”，理由如下；

25

VCDLAB,

"CDB=90°,

:•乙BCD=180°一乙CDB一乙B=60°,

i

VzB="BCD,

•・.△BCD是，和谐三角形”;

(2)40。或

解：(2)由题意知，ZB=180°-LA-Z.ACB=40°,

C.2LADC+^ACD=180°一4力=100°,

：./-ADC=乙13+乙BCD>ZB=40°,

又<^ACB=60°,2匕4=160°>100°,

・•・当△力CD是“和谐三角形“，分乙4=2^ACD^ADC=2乙4CD两种情况求解;

当心力=2ZACD时，^ACD==40。；

当N40C=2NACD时，

'：^ADC+^ACD=180°-ZA=100°,

综上所述，乙4CD的值为40。或苧；

故答案为：40。或苧.

(1)①根据题意，结合NB=180°—乙4—乙4CB,求得B的度数，得到乙4,进而可得小

4BC是“和谐三角形”；

②由CD1/B,得至!UCDB=90°,求得NBC。=180。-NCDB—NB=60。，结合4B=/NBCD,得

到仆BCD是“和谐三角形”；

(2)由NB=180°-ZX-AACB=40°,得至IJNADC+乙4CD=180°-zX=100°,AADC=NB+

乙BCD>NB=40°,再由UCC<Z.ACB=60°,2/2=160°>100°,当小ACD是“和谐三角形”，可

得分乙4=2/ACD或乙4DC=2乙4CD,两种情况，讨论求解，即可得到答案.

(1)①解：由题意知，ZB=180。一乙4一乙4cB=30。，

•Z-B—2,

...△4BC是“和谐三角形”，

故答案为：是；

26

②解：△BCD是“和谐三角形”，理由如下；

■:CDLAB,

：.Z.CDB=90°,

;•乙BCD=180°-乙CDB一乙B=60°,

■:乙B乙BCD,

...△BCD是''和谐三角形”；

(2)解：由题意知，Z.B=180°-/.A-AACB=40°,

：.^ADC+^ACD=180°-ZA=100°,

：.AADC=AB+乙BCD>ZB=40°,

X'-'ACD<^ACB=60°,2ZA=160°>100°,

...当△AC。是“和谐三角形"，分乙4=2乙4co或乙4CC=2乙4CD两种情况求解；

当乙4=2乙4C。时，^ACD=*乙4=40°;

当4ADC=24ACD时，

9：Z.ADC+Z.ACD=180°-=100°,

.100°

••Z-ACD=-可-；

综上所述，乙4CD的值为40。或苧；

故答案为：40。或苧.

16.(1)解：BD-12cm,CD—9cm,BC-15cm,

・•・CD2+BD2=BC2,

・•・乙BDC=90°,

・・・BDLAC.

(2)解：设力B=%,则4。=%,AD=x-S,在At△力BD中，

■:BD1AD,

：.AD2+BD2即(％—9)2+12?=x2,

25

・•.x\,

25

：•AC=-y-

_125_

・.•S>ABC=2xx12=75(cm)

(1)根据题意，得到+=BC2,结合勾股定理的逆定理，证明/3。。=90。，即可得证;

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(2)设AB=%,得到AC=K，4。=X-9,在出△ABD中，由勾股定理得(久一9尸+12?=/,求得

久=苧，结合直角三角形的面积公式，即可得解.

(1)解：BD=12cm,CD=9cm,BC=15cm,

CD2+BD2=BC2