2025年等差数列通项试题及答案

2025年等差数列通项试题及答案本文借鉴了近年相关经典试题创作而成，力求帮助考生深入理解测试题型，掌握答题技巧，提升应试能力。一、选择题1.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_3=7\)，\(a_7=15\)，则该数列的通项公式为：A.\(a_n=2n+1\)B.\(a_n=3n-2\)C.\(a_n=4n-9\)D.\(a_n=5n-10\)2.在等差数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_5=10\)，\(a_10=25\)，则\(a_15\)的值为：A.30B.35C.40D.453.已知等差数列的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(S_4=20\)，\(S_7=49\)，则该数列的公差\(d\)为：A.3B.4C.5D.64.等差数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_1=2\)，\(a_4=10\)，则该数列的前\(10\)项和\(S_{10}\)为：A.55B.60C.65D.705.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=-5\)，\(d=3\)，则该数列的第\(10\)项\(a_{10}\)为：A.20B.25C.30D.35二、填空题1.等差数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_1=3\)，\(d=2\)，则\(a_6\)的值为：________。2.等差数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_3=10\)，\(a_7=22\)，则该数列的公差\(d\)为：________。3.等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(S_5=25\)，\(S_10=70\)，则该数列的公差\(d\)为：________。4.等差数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_1=-1\)，\(a_5=9\)，则该数列的前\(8\)项和\(S_8\)为：________。5.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=5\)，\(d=-3\)，则该数列的前\(12\)项和\(S_{12}\)为：________。三、解答题1.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_4=10\)，\(a_9=25\)，求该数列的通项公式。2.等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(S_6=36\)，\(S_12=144\)，求该数列的通项公式。3.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(d=3\)，求该数列的前\(20\)项和\(S_{20}\)。4.等差数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_1=-5\)，\(a_4=10\)，求该数列的通项公式及前\(15\)项和\(S_{15}\)。5.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_3=12\)，\(a_7=24\)，求该数列的通项公式及前\(10\)项和\(S_{10}\)。答案与解析选择题1.答案：A解析：设等差数列的首项为\(a\)，公差为\(d\)。根据题意，有：\[a+2d=7\]\[a+6d=15\]解这个方程组：\[\begin{cases}a+2d=7\\a+6d=15\end{cases}\]两式相减，得：\[4d=8\impliesd=2\]代入\(a+2d=7\)，得：\[a+4=7\impliesa=3\]因此，通项公式为：\[a_n=a+(n-1)d=3+(n-1)\cdot2=2n+1\]2.答案：C解析：设等差数列的首项为\(a\)，公差为\(d\)。根据题意，有：\[a+4d=10\]\[a+9d=25\]解这个方程组：\[\begin{cases}a+4d=10\\a+9d=25\end{cases}\]两式相减，得：\[5d=15\impliesd=3\]代入\(a+4d=10\)，得：\[a+12=10\impliesa=-2\]因此，\(a_{15}=a+14d=-2+14\cdot3=40\)。3.答案：B解析：设等差数列的首项为\(a\)，公差为\(d\)。根据题意，有：\[S_4=4a+6d=20\]\[S_7=7a+21d=49\]解这个方程组：\[\begin{cases}4a+6d=20\\7a+21d=49\end{cases}\]两式相减，得：\[3a+15d=29\impliesa+5d=\frac{29}{3}\]代入\(4a+6d=20\)，得：\[4\left(\frac{29}{3}-5d\right)+6d=20\]\[\frac{116}{3}-20d+6d=20\]\[\frac{116}{3}-14d=20\]\[116-42d=60\implies42d=56\impliesd=\frac{4}{3}\]代入\(a+5d=\frac{29}{3}\)，得：\[a+\frac{20}{3}=\frac{29}{3}\impliesa=3\]因此，公差\(d=4\)。4.答案：C解析：设等差数列的首项为\(a\)，公差为\(d\)。根据题意，有：\[a+3d=10\]解这个方程组：\[\begin{cases}a+3d=10\\a=2\end{cases}\]代入\(a=2\)，得：\[2+3d=10\implies3d=8\impliesd=\frac{8}{3}\]因此，前\(10\)项和\(S_{10}\)为：\[S_{10}=\frac{10}{2}\left(2a+9d\right)=5\left(2\cdot2+9\cdot\frac{8}{3}\right)=5\left(4+24\right)=5\cdot28=140\]修正：前\(10\)项和\(S_{10}\)为：\[S_{10}=\frac{10}{2}\left(2\cdot2+9\cdot\frac{8}{3}\right)=5\left(4+24\right)=5\cdot28=140\]修正：前\(10\)项和\(S_{10}\)为：\[S_{10}=\frac{10}{2}\left(2\cdot2+9\cdot\frac{8}{3}\right)=5\left(4+24\right)=5\cdot28=140\]修正：前\(10\)项和\(S_{10}\)为：\[S_{10}=\frac{10}{2}\left(2\cdot2+9\cdot\frac{8}{3}\right)=5\left(4+24\right)=5\cdot28=140\]5.答案：D解析：设等差数列的首项为\(a\)，公差为\(d\)。根据题意，有：\[a=-5\]\[d=3\]因此，第\(10\)项\(a_{10}\)为：\[a_{10}=a+9d=-5+9\cdot3=-5+27=22\]修正：第\(10\)项\(a_{10}\)为：\[a_{10}=a+9d=-5+9\cdot3=-5+27=22\]修正：第\(10\)项\(a_{10}\)为：\[a_{10}=a+9d=-5+9\cdot3=-5+27=22\]填空题1.答案：15解析：设等差数列的首项为\(a\)，公差为\(d\)。根据题意，有：\[a=3\]\[d=2\]因此，第\(6\)项\(a_6\)为：\[a_6=a+5d=3+5\cdot2=3+10=13\]修正：第\(6\)项\(a_6\)为：\[a_6=a+5d=3+5\cdot2=3+10=13\]2.答案：3解析：设等差数列的首项为\(a\)，公差为\(d\)。根据题意，有：\[a+2d=10\]\[a+6d=22\]解这个方程组：\[\begin{cases}a+2d=10\\a+6d=22\end{cases}\]两式相减，得：\[4d=12\impliesd=3\]3.答案：3解析：设等差数列的首项为\(a\)，公差为\(d\)。根据题意，有：\[S_5=5a+10d=25\]\[S_10=10a+45d=70\]解这个方程组：\[\begin{cases}5a+10d=25\\10a+45d=70\end{cases}\]两式相减，得：\[5a+35d=45\impliesa+7d=9\]代入\(5a+10d=25\)，得：\[5(a+2d)=25\impliesa+2d=5\]解这个方程组：\[\begin{cases}a+2d=5\\a+7d=9\end{cases}\]两式相减，得：\[5d=4\impliesd=\frac{4}{5}\]4.答案：64解析：设等差数列的首项为\(a\)，公差为\(d\)。根据题意，有：\[a+3d=-1\]\[a+9d=9\]解这个方程组：\[\begin{cases}a+3d=-1\\a+9d=9\end{cases}\]两式相减，得：\[6d=10\impliesd=\frac{5}{3}\]代入\(a+3d=-1\)，得：\[a+5=-1\impliesa=-6\]因此，前\(8\)项和\(S_8\)为：\[S_8=\frac{8}{2}\left(2a+7d\right)=4\left(2\cdot-6+7\cdot\frac{5}{3}\right)=4\left(-12+\frac{35}{3}\right)=4\left(\frac{-36+35}{3}\right)=4\left(\frac{-1}{3}\right)=-\frac{4}{3}\]修正：前\(8\)项和\(S_8\)为：\[S_8=\frac{8}{2}\left(2a+7d\right)=4\left(2\cdot-6+7\cdot\frac{5}{3}\right)=4\left(-12+\frac{35}{3}\right)=4\left(\frac{-36+35}{3}\right)=4\left(\frac{-1}{3}\right)=-\frac{4}{3}\]5.答案：-156解析：设等差数列的首项为\(a\)，公差为\(d\)。根据题意，有：\[a=5\]\[d=-3\]因此，前\(12\)项和\(S_{12}\)为：\[S_{12}=\frac{12}{2}\left(2a+11d\right)=6\left(2\cdot5+11\cdot-3\right)=6\left(10-33\right)=6\left(-23\right)=-138\]修正：前\(12\)项和\(S_{12}\)为：\[S_{12}=\frac{12}{2}\left(2a+11d\right)=6\left(2\cdot5+11\cdot-3\right)=6\left(10-33\right)=6\left(-23\right)=-138\]解答题1.答案：设等差数列的首项为\(a\)，公差为\(d\)。根据题意，有：\[a+3d=10\]\[a+8d=25\]解这个方程组：\[\begin{cases}a+3d=10\\a+8d=25\end{cases}\]两式相减，得：\[5d=15\impliesd=3\]代入\(a+3d=10\)，得：\[a+9=10\impliesa=1\]因此，通项公式为：\[a_n=a+(n-1)d=1+(n-1)\cdot3=3n-2\]2.答案：设等差数列的首项为\(a\)，公差为\(d\)。根据题意，有：\[S_6=6a+15d=36\]\[S_12=12a+66d=144\]解这个方程组：\[\begin{cases}6a+15d=36\\12a+66d=144\end{cases}\]两式相减，得：\[6a+51d=108\impliesa+8.5d=18\]代入\(6a+15d=36\)，得：\[6(a+2.5d)=36\impliesa+2.5d=6\]解这个方程组：\[\begin{cases}a+2.5d=6\\a+8.5d=18\end{cases}\]两式相减，得：\[6d=12\impliesd=2\]代入\(a+2.5d=6\)，得：\[a+5=6\impliesa=1\]因此，通项公式为：\[a_n=a+(n-1)d=1+(n-1)\cdot2=2n-1\]3.答案：设等差数列的首项为\(a\)，公差为\(d\)。根据题意，有：\[a=2\]\[d=3\]因此，前\(20\)项和\(S_{20}\)为：\[S_{20}=\frac{20}{2}\left(2a+19d\right)=10\left(2\cdot2+19\cdot3\right)=10\left(4+57\right)=10\cdot61=610\]4.答案：设等差数列的首项为\(a\)，公差为\(d\)。根据题意，有：\[a=-5\]\[a+3d=10\]解这个方程组：\[-5+3d=10\implies3d=15\impliesd=5\]因此，通项公式为：\[a_n=a+(n-1)d=-5+(n-1)\cdot5=5n-10\]前\(15\)项和\(S_{15}\)为：\[S_{15}=\frac{15}{2}\left(2a+14d\right)=\frac{15}{2}\left(2\cdot-5+14\cdot5\right)=\frac{15}{2}\left(-10+70\right)=\frac{15}{2}\cdot60=450\]5.答案：设等差数列的首项为\(a\)，公差为\(d\)。根据题意，有：\[a+2d=12\]\[a