2026年中考数学复习：圆的有关概念及性质 讲义（含测试卷及答案）

2026年中考数学专题复习：圆的有关概念及性质讲义

圆的有关概念及性质（知识精炼）

重难讲解

1.圆心角、弧、弦之间的关系

名称文字语言符号语言图示

在同圆或等圆中，相等的圆心CAOB=ZCODn

定理角所对的弧相等，所对的弦也AB=CD,

<

相等AB=CD.

在同圆或等圆中，如果两条弧

AB=CDn

相等，那么它们所对的圆心角ZAOB=ZCOD,

相等，所对的弦相等AB=CD.

重要结

在同圆或等圆中，如果两条弦

论AB=CDn

相等，那么它们所对的圆心角

ZAOB=ZCOD,

相等，所对的优弧和劣弧分别

AB=CD

相等

【注意】

（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使

圆心角相等，圆心角所对的弧、弦也不一定相等.如图，两个圆的圆心相同，

A8与48,对应的圆心角相等,但ABHAB，，ABA'B'.

（2）因为弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦

所对的弧相等”.

2.垂径定理及其推论

名称文字语言符号语言图示

AM=BM,

垂径定垂直于弦的直径平分弦，并CD是直径'

AC=BC,

理且平分弦所对的两条弧.CDLABJ

AD=BD.

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垂径定平分弦（不是直径）的直径8是直径CD±AB,

理的推垂直于弦，并且平分弦所对AM=BM>-=><AC=BC,

论的两条弧.（AB不是直径），AD=BD.C

平分弦所对的一条弧的直径CDLAB,

AC=BC

垂直平分弦，并且平分弦所>—><AM=BM,

CD是直径,

对的另一条弧.AD=BD.

拓展

‘CD是直径，

弦的垂直平分线经过圆心，cL

CDLAB)

><5

>zzAC=BC,

并且平分弦所对的两条弧.AM=BM

AD=BD.

【注意】

（1）定理中“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，甚至可以是过

圆心的直线或线段.

（2）推论中“平分弦”中的“弦”一定不能是直径，否则结论不一定成立.如图

所示，当弦AB为直径时，直径8平分弦AB，但结论不成立.

3.圆周角定理及其推论

名称文字语言符号语言图示

NA是所对的一个圆周角，

一条弧所对的圆周角等

a

是所对的圆心角，那

定理于它所对的圆心角的一

半.么ZA=L/BOC.

2

&CD

同弧或等弧所对的圆周ZC,ZD都是AB所对的圆周

角相等.角，那么NC=ZD.

推论

半圆（或直径）所对的若A3为直径，则NC=/D

圆周角是直角，90。的圆=90°；若NC=90。或zr>=吟B

周角所对的弦是直径.90°>则AB为直径.

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4.圆内接多边形

1.圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形,

这个圆叫做这个多边形的外接圆.

2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.

延伸拓展

1.在一个圆中，一条直线只要满足下列五个条件中的任意两个，那么它一定具备其他三个：①

经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.

简称“知二推三”.

2.利用垂径定理及其推论进行计算时，常涉及弦长a,弦心距d（圆心到先的距

离），半径厂及弓形高/z（弦所对的弧的中点到弦中点的距离），如图所示，它们

之间的关系时户=才+&2"="为

3.圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角.

解题方法

L解垂径定理及其应用的问题

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧与劣弧）.平分弦（不是直径）的直

径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧与劣弧）.在应用垂径定理及其推论进行计算时，

通常利用圆的半径「，弦心距d,拱高肌弦长a这几个量来构造直角三角形，然后利用勾股

定理/=解+弓）2及r=[+五来求有关量.根据上述公式，在〃这些量中，知道其中任何

两个量就可以求出其余两个量.

在圆中，一般利用垂径定理，过圆心作弦的垂线段，连接半径，把半径、垂线段及弦的一半构

造在一个之间三角形中，以便运用勾股定理求解.

2.解圆心角、弧、弦之间关系的应用问题

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也都

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相等，运用这些相等关系，可以实现线段相等于角相等之间的相互转化.

【方法总结】

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么

它们所对应的其余各组量也分别相等.

【解法通法】证弧、弦、圆心角及弦心距关系常用的作辅助线的方法

在同圆或等圆中，要证弧、弦、圆心角及弦心距中的一组量相等，通常可以将其转化成证另外

三组量中的一组量相等，一般有多种证法，而连半径或作垂直于弦的直径构造等弧、等弦、等

圆心角、等弦心距是常用的作辅助线的方法.

3.解圆周角定理的应用问题

（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，

在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化；（2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等

角找等弧”或“由等弧找等角”；（3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角.

【敲黑板】

（1）因为圆中一条弦所对的圆周角的大小有两种情况，所以不能根据弦相

等得到圆周角相等.（

（2）在同圆或等圆中，一条弦所对的圆周角相等或互补，即圆周角在弦的

同侧相等，异侧互补.如图所示，都是弦所对的圆周角.1

在弦的同侧，则NC=/D；ND,NE在弦AB的异侧，则ND+NE=180。.

4.与圆的轴对称有关的多解问题

圆是轴对称图形，当题目中没有明确说明点在圆上的具体位置或弦与弦的具体位置时，应注意

分情况进行讨论.

5.解圆的内接四边形问题

主要是根据圆内接四边形对角互补及圆内接四边形的每个外角等于它的内对角这些性质求解.

【注意】每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补

的四边形才有外接圆.

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圆的有关概念及性质（综合测试）

【满分：120】

一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.如图，中，点A、3、C在圆上，且弧长等于弧AC长的2倍，则下列结论正确的是（）

A.AB=2ACB.AB>2AC

C.AB<2ACD.以上结论都不对

2.如图,A5是、。的弦,分别以A,5为圆心，以大于gA3的长为半径画弧,两弧相交于圆外一点P,

连接OP,交。于点C,连接AC.若NAO6=140。,则NC46的度数是（）

A.70°B.35°C.40°D,20°

3.如图，活动课中顺顺将直角三角板45。角的顶点P落在上，两边分别交。。于点他发现

量出的长，就可求出，。的半径，当AB=6时，。的半径为（）

C.3y/3D.6

4.在。中，直径于点G,A为弧CE的中点，若"=15。，则NEBD的度数为（）

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D

A.45°B.55°060°D.65°

5.如图，A5为。的直径，C、D为。上的点,BC=CD，若NCBD=35。，则入面）的度

A.20°B.35。C.40°D.70°

6.已知NADB,作图.

步骤1：以点。为圆心，适当长为半径画弧，分别交ZM,03于点M,N；再分别以点为圆心,

大于=MN长为半径画弧交于点E,画射线OE.

2

步骤2：在DB上任取一点。，以点。为圆心,0D长为半径画半圆，分别交。L,,OE于点P,Q,C-,

步骤3：连接PQ,0C.

则下列结论不正确的是（）

A.PC=CQB.0C//DAC.0C垂直平分PQD.DP=PQ

7.如图，点M（0,-2）,N（0,-8）,半径为5的A经过点跖N,则点A的坐标为（）

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C.(-6,-4)D.(-4,-5)

8.如图，四边形ABCD内接于D。,AE，C6交CB的延长线于点E,若BA平分NDBE,AD=6,

。£=4,则4£的长为（）.

C.2MD.2A/5

9.如图，已知A、B、C、D、E均在］。上，且AC为直径，则NA+/5+NC=（）度.

C.60D.45

10.如图是。的半径，弦是.）。上一点，AE交于点D,AD=1,DE=2,

N£=30。,则。的半径长是（）

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A

B,C

A.lB.V2C.V3D.2

11.如图，在直径为A5的半圆0中,C为半圆弧上的一点，连接AC,将劣弧AC沿弦AC折叠交直

径AB于点。，取劣弧AZ）的中点为E,连接OE.已知AB=2,则点E与圆心0距离的最小值为

（）

£

A.-B.V2-1C.2-V2D.1

2

12.如图，ZBAC=ZBCD=90°,AC=2,三角形8co面积始终为2,则A。的最大值为（）

A.5B.A/5C.A/5+2D.V5+1

二、填空题（每小题3分，共15分）

13.如图，AB为O直径，弦CE交半径于点D,连接AE,若AC=3C,则ZAEC的度数

为.

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E

C

14.已知_）0的半径Q4=l,弦AB的长为0,若在’0上找一点C,则N5C4二O

15.如图，已知的直径AE=10cm,ZB=ZEAC,则AC的长为.cm.

16.如图所示，在扇形Q4S中,NAOB=90。,半径=4,点R在A3上，且BF=2AF.点C、D分别

在线段、05上,CD=4,E为CD的中点，连接EF.在CD滑动过程中（长度始终保持不变）,

当EF取最小值时,BD的长为.

17.如图，A5是一。的直径，C点是。。上一点，将劣弧沿弦8。翻折交A3于点。，E点

为弧AC3的中点，若AC=45,AD=2,则。的半径为「=；ABCE的面积为

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E

三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）

18.（6分）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆

的一个引理如图，已知A3,。是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.

⑴尺规作图（保留作图痕迹,不写作法）：

①作线段AC的垂直平分线OE,分别交A3于点D,AC于点E,连接AD,CD；

②以点。为圆心,长为半径作弧，交AB于点F（F,A两点不重合），连接DF,BD,BF.

（2）直接写出引理的结论：线段5。,5尸的数量关系.

19.（8分）苏州是一座拥有4000多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河

而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌.如图，某

座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度16m时，拱顶高出水平面4m.

（1）求此圆弧形拱桥的半径；

⑵若有一艘宽12m的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面3m，请通过计算判断,

该船能否安全穿过桥洞，并说明理由.

20.（8分）已知A3是半圆。的直径,AB=6,点C在半圆。上，过点A作垂足为点

的延长线与弦6c交于点E,与半圆。交于点网点R不与点3重合）.

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⑴如图1,若CD=1,求AF的长；

(2)如图2,若BC=AF,^AF的长.

21.(10分)如图1,A3是0。的直径，点。为下方O上一点，点C为弧ABD的中点，连结CD,

CA,AD.

⑴求证：OC平分NACZ).

(2)如图2,延长AC,05相交于点E.

①求证：OC//BE.

②若CE=4底BD=6求)0的半径.

22.(12分)如图,46,。,。是〈。上的四个点,=交于点E,AE=2,E£>=4.

(1)求A3的长;

(2)若要使AC〃皿，需要添加一个条件.请从“条件1："AC=CD”,条件2：30是。。的直径”，“条

件3：NACB=45。”中选择添加一个你认为正确的条件，并写出相应的证明过程.

23.(13分)如图，在圆内接四边形ABCD中，AD<AC,ZADC<ZBAD,延长至点E,

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使AE=AC,延长54至点R连结所，使NAEE=NADC.

(1)若“芯=60。，C。为直径，求NABD的度数.

(2)求证：①EFIIBC；②EF=BD.

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答案以及解析

1.答案：C

解析：如下图，取的中点。，连接

•.•弧AB长等于弧AC长的2倍，

BD^AD=-AB=AC,

2

BD^AD^AC,

在△ABD中，根据三角形三边关系可得

AB<2AC.

故选：C.

2.答案：B

解析：由作图可知垂直平分AB,

AC=BC,

：.ZBOC=ZAOC=-ZAOB=70°,

2

ZCAB=-ZBOC=35°,

2

故选：B.

3.答案：B

解析：连接Q4,OB,

ZAPS=45。，

ZAOB=2ZAPB=90°.

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OA=OB,AB=6,

AB2=(9A2+OB2,即2(?A2=6.

.•.04=3顶,即_。的半径为3夜.

故选：B

4.答案：C

解析：连接BC,如图所示：

CDVAB,

BC=AC,

•••A为弧CE的中点，

/.AC=AE,

/.AC=AE=BC,

:./BDC=NCBA=NABE=15。,

：.ZCBE=15°+15°=30°,

•••C。为。。的直径，

ZCBD=90°,

/.NEBD=90。—30。=60°.

故选：C.

5.答案：A

解析：如图，连接OC，OD，

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/CBD=35。，

NCOD=2ZCBD=2x35。=70。，

BC=CD，ZBOC=/COD=70°，

ZAOD=180°-ZBOC-Z.COD=180°-70°-70°=40°，

ZABD=-ZAOD=20°.

2

故选A.

6.答案：D

解析：AC.由作图可知：NCDQ=NPDC,

PC=CQ,OC垂直平分PQ,故选项A、C正确,不符合题意；

B.DQ为半圆。的直径，

:.ZDPQ^90°,DA±PQ,

OCLPQ,

OC//ZM,选项B正确,不符合题意；

D.NADfi的度数未知,ZPDQ和NPQD互余，

NPDQ不一定等于APQD,

二。。不一定等于PQ,故选项D错误，符合题意.

故选：D.

7.答案：D

解析：如图，连接过点A作AELMN于点E,轴于点R

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，四边形AFOE是矩形，

:.AE=OF,AF=OE,

'：M（0,-2）,N（0,—8）,

OM=2,ON=8,

：.MN=ON—OM=6,

'：AE±MN,

：.EM=EN=-MN=3,

2

/.AF^OE=OM+EM=5,

：的半径为5,

：.AM=5,

：.AE=y/AM2-ME2=4,

OF=4,

A（-4,-5）,

故选：D.

8.答案：D

解析：连接AC,

•.•四边形ABCD内接于0。,

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，ZADC+ZABC=180°,

ZABE+ZABC=18Q°,

：.ZABE=ZADC,

"：AD=AD,

：.ZABD^ZACD,

,：B4平分N£>5E,

ZABE=ZABD,

：.ZADC=ZACD,

：.AC^AD,

'：AE±CB,AD=6,CE=4,

：.AC=6

：.AE=7AC2-CE2=275

故选：D.

9答案:B

解析：如图，连接AB,BC,

AC为直径，

ZABC=90°,

/CBD=NCAD,/ABE=/ACE,

ZCAD+ZEBD+ZACE=ZCBD+ZEBD+ZABE=ZABC=90°,

故选：B.

10.答案:c

解析：连结AC,08,

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A

Q4是＜。的半径，弦BC±OA,

AB-AC,

.-.ZABD=ZC,

ZE=ZC,

:.ZABD=AE,

ZDAB=ZBAE,

Z\DAB^Z\BAE,

ABAD

,AE-AB5

AD=1,ED=2,

:.AE=AD+ED=l+2=3,

..AB?=ADAE=lx3=3,

AB=6或AB=Y（不符合题意，舍去），

NE=30。，

ZAOB=60°

/VLOB是等边三角形，

05=AB=BPO。的半径长是也.

故选：C.

1L答案：B

解析：把弧AEC的圆补全为1歹,可知点R与点。关于AC对称,半径为1,

ZFCA=ZACO,

'：OA=OC,

：.ZACO=ZCAO,

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ZFCA=ZCAO,

：.CF//AB,

•••E是弧AZ）的中点，

FE1AB,

：.ZF=ZBGE=90°,

'：FC=FE=1,

：.EC=Vl2+12=V2,

/.OE>EC-OC=42-1,

OE的最小值为血-1,

故选：B.

12.答案：D

解析：如图，过点C作AC的垂线，在垂线上取一点E,使得CE=AC=2,连接取CE

的中点。，连接。AOD,

/.OC=-CE=1,OA=y/AC2+OC2=y/5,ZACE=90°,

2

/.ZACB+ZBCE=90°,

/BCD=90。，

ZDCE+ZBCE=90°,

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・•.ZDCE=ZACB,

・•,三角形BCD面积始终为2,/BCD=90。,

：.-BCCD=2,即3。8=4,

2

XVCE=AC=2,

：.CEAC=4,

：.CEAC^BCCD,即生=在，

CACB

在△DEC和△ABC中，

CD_CE

<CA~CB，

ZDCE=ZACB

Z\DEC^Z\ABC,

NEDC=ZBAC=90。,

又,:CE=2,

・..如图，点。在以点。为圆心、CE长为半径的圆上（定弦定角）,

OD=-CE=1,

2

又：ADWQ4+0D（当且仅当等号成立），

AD的最大值为。4+。。=石+1,

故选：D.

13.答案：45°

解析：连接BE,

'..AB为：O直径,

ZAEB=90°,

"：AC=BC,

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/.ZAEC=/BEC=-ZAEB=-x90°=45°,

22

故答案为：45°.

14.答案：45。或135。

解析：-：OA=OB=l,AB=sj2,

：.OAr+OB2=AB2,

・•.ZAOB=90°,

如图，分别在优弧AB和劣弧AB取点G和C2，连接AG，BC],AC2,BC2,

ZBQA=45°,

,/四边形AC,BC2是圆内接四边形,

/.NBC[A+NBC2A=180。，

/.N5C2A=135。，

故答案为：45。或135。.

15.答案：5&

解析：如图所示，连接CE,

,?AC=AC

ZB=ZE,

"：ZB=ZEAC,

：.ZE=ZEAC,

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・•.CE=CA,

'：AE=10cm是直径，

NACE=90。，

...△ACE是等腰直角三角形，ZE=ZEAC=45°,

AC_y/2

*.*sinNE=sin45°

AE~2

：.AC^—AE=542cm,

2

故答案为：572.

16.答案:2

解析：如图，连接Ob,OE,

ZAOB=90°,BF=2AF,

:.ZBOF=60°,

为。的中点，

:.OE=CE=DE=-CD=2,

2

OF=4,

.EF>OF-OE=2,

.当O,EF共线时，所的值最小，如图,

A

此时,ZEOD=60。,

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,:OE=DE,

•••/XOOE为等边三角形，

，OD=OE=2,则=—。£>=2,

故答案为：2.

17.答案：515

解析：连接。，

由折叠可得DC=EC,ZABC=NEBC,

•：ZABC=ZDBC,

：.DC=EC=AC,

DC=AC,

过点C作CHLAD,

AH=DH=-AD=l

则2,

AC=回,

.\CH^\IAC2-AH2=3,

AB是。。的直径，

ZACB=9Q°,

/.ZABC=ZACH=90°-ZA,

sinZABC=sinZACH,

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AHAC

：.AC-A3,

iVio

Tio-AB,

解得：AB=10,

r=5；

连接OE交BC于点R

•••E点为弧ACB的中点，

/.EOYAB,

tanZ.OBF=tanZACH,

OFAH

：.OB~CH,

OF_1

.,.亨一3,

S&BEC=S&CEF+S&BEF

=-EFOH+-EFOB

22

=1xyx(1°-1)

=15.

故答案为：5；15.

18.答案：(1)①见解析；②见解析

(2)BC=BF

解析：⑴作出线段AC的垂直平分线OE,连接AD,C。；

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以D为圆心,DA长为半径作弧，交AB于点F,连接DF,BD,3凡如图示:

⑵结论：=理由如下：

由作图可得：。石是AC的垂直平分线,。4=力£

：.DA=DC=DF,

：.ADAC=ZDCA,AD=FD,

:.NDBC=NDBF,

四边形ABED是圆的内接四边形，

：.ZDAB+ZDFB=1SQ°,

ZDCA+ZDCB=1SQ°,

：.ZDFB=ZDCB,

DB=DB,

:△DCBQ4DFB,

：.BC=BF.

19.答案：（1）此圆弧形拱桥的半径为10m

（2）该船不能安全穿过桥洞，理由见解析

解析：（1）如图，连接QB，设A5与OC交于点。，

由题意可得：CD=4m，AB=16m-OC±AB-

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BD=—AB=8m，

2

设半径为7m,则O£>=OC—CD=（厂—4）m,

在RtABOD中，根据勾股定理得：OD2+BD2=OB2>

即（r一4）2+8?=/，解得：厂=10，

即此圆弧形拱桥的半径为10m；

（2）该船不能安全穿过桥洞，理由如下：

如图，在矩形EFGH中，GH、OC交于点M，EF=12m，连接OG，

EF=12m，•・MG=DF=—EF=6m，

2

在中，根据勾股定理得：OM=sloG--MG2=A/102-62=8（m）>

OD^OC-CD=10-4=6（m）,GF=DM=OM-（9D=8-6=2（m）,

3>2，.•.该船不能安全穿过桥洞.

20.答案:(1)2逐

(2)36

解析：(1)VAD±OC,

I.AD=DF,

'：AB=6,

：.OA=OC=3,

：.OD=OC-CD=3-1=2,

在RtAAOD中,AD=y/o^-OD2=732-22=亚,

：.AF=2AD=2A/5；

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(2)：AF=BC,

：.AF=BC,

即AC+CF^CF+BF,

：.AC=BF,

'：AD±OC,

：.AD=DF,AC^FC,

：.AC=FC=BF,

：.ZA6>D=-xl80°=60°,

3

在RtAAOZ)中,VZAOD=60°,

ZOAD=30°,

13

/.OD=-OA=-,

22

/.AD=y/AO2-OD-=—,

2

/.AF=2AD=36.

21.答案：(1)证明见解析

(2)5

解析：⑴证明：点C为弧A3。的中点,

AC=DC,

：.AC=DC,OC±AD,

/.OC平分NACO；

(2)①证明：：A3是O的直径，

ZAZ)B=90°,

，BE±AD,

'：OC±AD,

：.OC//BE