2026人教A版高考数学一轮复习：任意角、弧度制和三角函数的概念（含解析）

第四章三角函数、解三角形

第1节任意角、弧度制和三角函数的概念

考试要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.

3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

■知识诊断自测

【知识梳理】

1•角的概念的推广

(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的遥点旋转所形成的图形.

八次!按旋转方向不同分为正角、负角、零角w.

Q)分类［按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(3)终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S

={£V=a+k360。,左GZ}.

2.弧度制的定义和公式

(1)定义：长度等于坐屋的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.

(2)公式

1引=:(弧长用1表示)

角a的弧度数公式

角度与弧度的换算1°—1801rad—

弧长公式弧长l=\a\r

扇形面积公式5=..=、。|户

3.任意角的三角函数

⑴定义

如图，设a是一个任

P（X,y）

前提意角，它的终边与单

位圆交于点P(x,y)

正弦L叫做a的正弦函数，记作sina,即sina=y

余弦工叫做a的余弦函数,记作cosa,即cosa=4

2叫做a的正切函数，记作tana,即tana='

正切XX

定义(x#0)

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位

三角函数圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函

数，将它们统称为三角函数

(2)定义的推广

设P(x,y)是角a终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为《厂＞0),那么sina

yxy

=；cosa=—,tana=(%W0).

Y丫X

［常用结论与微点提醒］

1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

2.角度制与弧度制可利用180。=兀m(1进行互化，半径为R,圆心角为废的扇形的

弧长公式和面积公式分别为/=喘，S=畸

3.象限角

第一象限角］卜麻宣＜0(＜24宣+/,fcGZ

{a12*ar+学<a<2kTT+TT,A:Gz}

角第二象限角

的

(a|2A:TT+IT<a<2kir+Ay^-,

第三象限角

第|a版TT+^-<a<2kTT+2TT,A:GZj

4.轴线角

轴

线

角

的

集

合

终边落在坐标轴上的角J{oc\a=^,kez］

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)小于90。的角是锐角.()

⑵锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()

⑶角a的三角函数值与其终边上点P的位置无关.()

(4)若a为第一象限角，则sina+cosa>L()

答案(1)X(2)X(3)V(4)V

解析(1)锐角的取值范围是(o,9.

(2)第一象限角不一定是锐角.

n

2.(必修一Pl76T7(2))已知a是第一象限角，那么2是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一或二象限角D.第一或三象限角

答案D

解析易知2EVaV/+2防I,

..a兀।

所以为是第一或第三象限角.

3.(必修一P180T3改编)已知角6的终边经过点P(—12,5),则sin6>+cos0=

7

答案一15

।5।—12

解析由三角函数的定义可得sin0+cos。=「­、-।彳+「—、》G

N(-12)2+*5652V(-12)2+52

5127

13-13=一膏

4.已知扇形的圆心角为30。，其弧长为2兀，则此扇形的面积为.

答案1271

7T2,71

角窣析Va=30°=7l=ar,/.r=—=12,

o?71

6

・••扇形面积S=，r=；X2兀*12=1271.

■考点聚焦突破

考点一象限角及终边相同的角

例1(1)(多选)下列命题正确的是()

A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{a|a=2foi,左©Z}

B.终边落在y轴上的角的集合为{30（=90。+也，k《Z}

C.第三象限角的集合为1a|?i+2EWaw¥+2防i,左©zj

D.在一720。〜0。范围内所有与45。角终边相同的角为一675。和一315。

答案AD

解析A项显然正确；

TT

B中，终边落在y轴上的角的集合为{a[a=]+E,左GZ},角度与弧度不能混用,

故错误；

C中，第三象限角的集合为]a|7i+2E<a（争+2而，左故错误；

D中，所有与45。角终边相同的角可表示为

£=45°+左S60°,左GZ,

令一720°W45°+左SGOOVO。（左©Z）,

171

解得一hWkv—6/wz）,

OO

从而当上=—2时，△=—675。；

当k——1时，0=—315°,故正确.

（2）已知角。在第二象限，且sin^=—sin3，则角万在（）

A.第一象限或第三象限

B.第二象限或第四象限

C.第三象限

D.第四象限

答案C

解析•••角。是第二象限角，

...6©（2防1+今2左兀+兀），左©Z,

/.-el左ez,

.•.角?在第一或第三象限.

.e•°•・*

Xvsin2=—sm..sin/〈0，

...角I在第三象限.

感悟提升1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出

与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数上/CZ）赋值来求得

所需的角.

2.确定—依©N*）的终边位置的方法

先写出ka或号的范围，然后根据k的可能取值确定ka或3的终边所在的位置.

KK

7T7T

训练1⑴集合｛alfai+zWaWfai+i，攵©Z｝中的角所表示的范围（阴影部分）是

（）

答案C

解析当左取偶数时，比如左=0,此时全故角的终边在第一象限或y轴

正半轴；

当上取奇数时，比如攵=1,此时彳WaW：-，

故角的终边在第三象限或y轴的负半轴.

综上，角的终边在第一象限或第三象限或y轴上.

⑵终边在直线上，且在［—2兀，2兀）内的角a的集合为.

答案「|兀，一|兀,$14

解析在坐标系中画出直线丁=小羽可以发现它与x轴的夹角为生在［0,2兀）内，

终边在直线y=5x上的角有g和%;

25

在［-2兀，0）内满足条件的角有一邳和一空，

故满足条件的角a构成的集合为\!兀，一|兀，*I71｝-

考点二弧度制及其应用

例2已知一扇形的圆心角为a,半径为凡弧长为/（a>0）.

（1）已知扇形的周长为10cm,面积是4cm2,求扇形的圆心角;

(2)若扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角a为多少弧度时，这个扇形的面积最

大？

'2R+Ra=\Q,

R=4,

解得

故扇形的圆心角为去

(2)由已知,得/+2R=20.

所以S=1/7?=|(2O-27?)7?=10R—R2=-(7?-5)2+25,

所以当R=5cm时，S取得最大值25cm2,

此时/=10cm,a=2.

感悟提升应用弧度制解决问题时应注意：

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

训练2(1)(2024.贵港模拟)图①是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，图②

是会徽的几何图形，设弧AD的长度是/1,弧3C的长度是2扇环A5CD的面积

为Si,扇形30C的面积为S2.若，=3,则称■=()

1202

19thAsianGames

Hangzhou2022

答案

因为所以用

解析*3,=3

又因为S扇形,

S扇形BOC=2B-\OB\,

S扇形4。。

所以y

S扁衫BOCh-\OB\~

S扇环ABCD噂

所以=8,=8.

S扇/BOC

⑵数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.

莱洛三角形的画法：先画等边△ABC,再分别以A,B,C为圆心，线段A3长为

半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为2兀，则其面积

是.

A

A

答案2兀一2陋

2兀

Ojr3

解析由条件可知，弧长◎=比=念=于等边三角形的边长AB=3C=AC=9

3

12兀

=2,则以点A,B,C为圆心，圆弧A3,BC,AC所对的扇形面积为］X丁X2=

27T1

y,中间等边△ABC的面积S=1X2xd§=Mi

27T

所以莱洛三角形的面积是3X行一2小=2兀一24.

考点三三角函数的定义及应用

角度1三角函数的定义

例3（1）（2024.湖北新高考协作体考试）已知角a的顶点与坐标原点0重合，始边与

x轴的非负半轴重合.若P（cos$1）是角a终边上一点，贝1Jsina=（）

A*B坐C.|D差

答案D

解析依题意，点Pg，1)，

则10Pl=\/g)+12=坐，

.._J__

..sina—后5.

2

⑵(2024.豫北名校联考)已知角a的顶点与坐标原点。重合，始边与x轴的非负半

轴重合，终边经过点P(—4m,3m)(m^0),则2sina+cosa的值为.

答案'2或2

解析由题意得，点尸与原点间的距离

r=yj(—4m)2+(3m)2=5|m|,

缶卜/-3m—4m

所以sm仪=而，cosa=而，

34

当m>0时，sina=g,cosa=一予

2

故2sina+cosa=§；

34

当m<0时，sina=一予cos0=予

2

故2sina+cosa=一亍

角度2三角函数值符号的判定

例4⑴(2024・成都石室中学模拟)若a是第三象限角，则下列各式中成立的是()

A.tana—sina>0B.sina+cosa>0

C.cosa-tan«>0D.tanasina>0

答案A

解析因为。是第三象限角，

所以sin«<0,cosa<0,tana>0,

对于A,tana—sina>0,故A正确;

对于B,sinot+cosa<0,故B错误;

对于C,cosa—tana<0,故C错误;

对于D,tanasma<0,故D错误.

Y_

(2)(多选)(2024・衢州质检)若sinxcosx>0,sinx+cosx>0,则］可以是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案AC

角星析因为sinxcosx>0,sinx+cosx>Q,

所以sinx>0,cosx>0,

故x是第一象限角，

兀

由2kn<x<2kTi+yk^Z,

r%JI

得左兀<5<左兀+不左£Z,

当左为偶数时，5是第一象限角，

当X为奇数时，5是第三象限角，故选AC.

感悟提升1.三角函数定义的应用

(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点

的距离，确定这个角的三角函数值.

(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求

参数的值.

2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根

据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就

要进行分类讨论求解.

训练3(1)已知角a的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点尸(sina,

tana)在第四象限，则角a的终边在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案B

解析,点P(sina,tana)在第四象限，

sina>0,tan«<0,

.•.角a的终边在第二象限.

（2）（多选）（2024.青岛调研）已知角a的始边与入轴非负半轴重合，终边在直线y=4x

.r,sin。一2cosa,,口

上，则tana的值可r能是（）

A2B逅

a6834

r_7^nnA/n

J68u-34

答案BD

解析由题意，若角a的终边位于第一象限，

令x=l,则y=4,

_1__L

故"二小。=而

.4__4_一

sma一业2；42-忖tana—4,

sina—2cosaV17

则wttana=*;

若角a的终边位于第三象限，

令x=-1,则y=-4,

11

故cosa=-d（—1）2+（―4）2=-而

.__________4____________4_

sina—一/-----z-；------z—-r-tai

q（-1）2+（-4）2vi79

sina—2cosa

大tana~34,

■课时

【A级基础巩固】

1.下列与角9詈7r的终边相同的角的表达式中正确的是（）

A.2E+45。（左©Z）

9兀

B.Z：-360o+y（Z：eZ）

CA360。-315°（左GZ）

,5n

D.ATT+4（左GZ）

答案C

QjrQjr

解析与角4•的终边相同的角可以写成2E+彳（左GZ）或左.360。+45。（左GZ）,

但是角度制与弧度制不能混用，排除A,B,易知D错误，C正确.

2.若sinacos0<0,需|>0，则角0是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案D

解析由鬻>°，得心>°，所以cosG0.

又sin6・cos又0,所以sin又0,

所以。为第四象限角.

（・南通质检）已知点（。在角。的终边上，且。=—坐，则。的值

3.*2024Pl,sincos

4*11

--

C土D

33

答案A

解析由点P（l,/）在角。的终边上，

知sin—冬启T'

得/=—啦，可得角。为第四象限角，

S-向T3-

4.在平面直角坐标系中，角a的终边过点（一1,0）,将a的终边绕原点按逆时针方

向旋转120。与角B的终边重合，则cos0=（）

A1R_10近D—立

答案A

解析由题意知仪=兀+24兀，

5兀

・“=至+2左兀，k£Z,

故cosB=cos-y=2.

5.(2024.广州调研)已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终

边上有两点A(l,m),B(m,4),则cosa=()

A兴B坐C邛D.芈

答案B

解析记。为坐标原点，由题意可知。(0,0),A(l,m),B(m,4)三点共线，则

加W0,

rn4

所以丁=而，解得机=±2，

又A,5两点位于同一象限，

所以m=2,则A(l,2),

所以cosa=Rw=1=^.

6.(多选)下列说法正确的有()

JT5

A.角］与角一家终边相同

B.终边在直线y=—x上的角a的取值集合可表示为{a|a=k360。一45。，左©Z}

C.若角a的终边在直线y=—3x上，则cosa的取值为喀

3冗

口.。化成弧度是立

673(/O

答案AD

解析角会与角一|兀相差2兀，终边相同，故A正确；

终边在直线y=—x上的角a的取值集合可表示为{a|a=A」80。一45。，左©Z},故

B错误；

若角a的终边在直线y=—3%上，

则cosa的取值为±*l，故C错误；

3兀

67。30,化成弧度是⑥，故D正确.

7.(2023・西安二模)扇面是中国书画作品的一种重要表现形式(如图1),图2为其结

构简化图.设扇面A,3间的圆弧长为/,A,3间的弦长为d,圆弧所对的圆心角

为仇则/,d和。所满足的关系为（）

2sin&7

A______±_d

A-3~1

cee

2cos2dcos2d

c~~~1D--1

答案A

解析如图，连接A3,取A3的中点为。，连接0D,

、、、一I/

O

由题意可得AD：//,/DOA=g,ODLAB,

°2d

设在中，彳=—,①

OA=r,RtAADOsin2r

又l=r。,②

i,c.e

,5d2sm5,

所以由①②可得、F，即

C7,C7C7I

sm2

8.（多选）已知点P（sinx—cosx,一3）在第三象限，则无可能位于的区间是（)

（5兀9兀）f713兀）

AgTjB\4,Tj

r2）D{4*4；

答案AD

解析由点P（sin%—cosx,—3）在第三象限，

可得sin%—cosx<0,即sinx<cosx,

3jrjr

所以一］+2Evx<a+2Z兀，左£Z.

当左=0时，X所在的一个区间是「竽，V，

当左=1时，X所在的一个区间是件，竽；

9.若a=1560。，角。与a终边相同，且一360。＜。＜360。，则。=.

答案120。或一240。

解析因为。=1560。=4*360。+120。，

所以与a终边相同的角为360。*左+120。，kGZ,

令左=—1或左=0,可得e=—240。或8=120。.

10.已知扇形的圆心角为120。，弧长为2兀，则扇形面积为.

答案3兀

2冗I2

解析l=ar,_

V120°=3v./.r=a=ZY7i"=3,

T

/.=；X2兀X3=3兀.

11.（2021.北京卷）若P（cosasin。）与Q（cos（6+',sin（6+2））关于y轴对称,写

出一个符合题意的0值为.

答案软“=行十瓦k《Z,答案不唯一）

7T

解析由题意知，点P,Q都在单位圆上，且。+。+d=兀+2也，左©Z,所以0

=居+左兀，左GZ.

12.如图，在RtAPBO中，ZPBO=90°,以0为圆心、0B为半径作圆弧交0P

n

于点若圆弧等分△的面积，且则示■：=_____.

AA3P03NA03=a,idnex

D

答案I

解析设扇形的半径为r,则扇形的面积为5月

在RtAPBO中，P5=rtana,

所以ZXPOB的面积为T△Hana.

由题意得g/tanct=2X^ctr2,

所以tana=2a,所以萧^=去

【B级能力提升】

13.（多选）（2024.南开中学质检）已知角a是第二象限角，则下列不等式一定成立的

是（）

aa

A.sin/<（）B.tan/>0

八.aac.aa

C.sm2>cos2D.sin>cos]

答案BD

.7T

解析由题设，2%兀+,<。<2攵兀+兀，