北师大版八年级数学寒假专项提升：勾股定理 重难点复习（原卷版）

专题01勾股定理重难点复习

»思维导图

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于

斜边的平方

勾股定理的证明：利用等积法证明

勾股数：3,4,5;5,12,13;8,15,17;

勾股定理重难点复习17.24,25;9,40,41—

\勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a,b,

\、一c,满足两边的平方和等于第三边的平方，那么

\这个三角形是直角三角形

—如何判定一个三角形是否是直角三角形

A核心考点聚焦

1.勾股树（数涧题

2.勾股定理与面积问题

3.勾股定理与网格问题

4.勾股定理与折叠问题

5.勾股定理的证明方法

6.利用勾股定理逆定理说明三角形是直角三角形

7.用勾股定理构造图形解决问题

8.用勾股定理求最短路径问题

一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为

C,那么a?+匕2=。2.

要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这

样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

2

（3）理解勾股定理的一些变式：储=。2_从，&2=c2_fl2；c=（a+b^-2ab.

二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中S正方形=（a+b）2=c2+4x^ab,所以4+^二。?.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图⑵中S正方形的8=。2=（。—4+4xgab,所以c2=a2+/.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

S梯形=（a+bga+b）=2.3而+#,所以"十^二。？­

三、勾股数

满足不定方程d+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,Z

为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

①3,4,5；②5,12,13；③8,15,17；④7,24,25；⑤9,40,41……

如果。力,c是勾股数，当'为正整数时，以成，初，以为三角形的三边长，此三角形必是直角三角形.

四、勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长a,b,c,满足4+62=°2,那么这个三角形是直角三角形.

要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

1.勾股定理的证明：理解勾股定理的证明方法，能够利用等积法证明勾股定理.

2.勾股定理中与面积、折叠等相关的问题是难点问题，需要进行总结和练习.

3.勾股定理的逆定理的作用是判断某一个三角形是否是直角三角形.

如何判定一个三角形是否是直角三角形的步骤:

首先确定最大边（如c）,然后验证。2与"+尸是否具有相等关系.

若。2="+〃，贝IUABC是/C为90。的直角三角形；若°2#/+方2,则A4BC不是直角三角形.

延伸：当储+"<02时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，

其中c为三角形的最大边.

A考点剖析

考点一、勾股树（数）问题

例题1：下列四组数中，是勾股数的是（）

A.1,&B.4,5,6C.1,2,5/5D.8,15,17

【答案】D

【解析】A、1,五，石这一组数中的数不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意；

B、:42+52片62,.•.这一组数不是勾股数，不符合题意；

C、1,2,君这一组数中的数不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意；

D、•••82+152=172,•••这一组数是勾股数，符合题意；

故选D.

考点二、勾股定理与面积问题

例题2：在如图的网格中，每个小正方形的边长均为1,三个正方形A,B,C的面积分别用鼠，SB，力表

示，则图中，SA=—,SB=—,5C=—.请写出枭、与、力之间的关系式：

【答案】16,9,25,SA+SB=SC

【解析】依题意，S%=16,SB=9,

:在如图的网格中，每个小正方形的边长均为1,

.••根据勾股定理，得正方形C的边长为H?=5,

%=5。=25,

VSA=16,SB=9,16+9=25,ASA+SB=SC.

故答案为：16,9,25,SA+SB=SC.

考点三、勾股定理与网格问题

例题3：如图，正方形网格中，每一小格的边长为1,P,A,8均为格点.

(1)AP=；

(2)点B到直线AP的距离是；

(3)ZAPB=°.

【答案】(1)A/5；(2)75;(3)135.

【解析】(1)AP=＜22+12=娼,故答案为：A/5;

(2)如图，延长AP到格点C,连接BC,

由图可得：PE=CD,CE=BD,ZPEC=ZBDC=90°,

：.VPECgCDB(SAS),/.NPCE=NCBD,

XZDCB+ZCBD=90°,/.ZDCB+ZPCE=9O°,

：.ZPCB=90°,ABC1AP,

.•.点8到直线AP的距离是线段BC的长，＞BC=722+12=A/5＞故答案为：5

(3)由(2)知VPEC2VCttB(SAS),/PC®=90°,：.BC=PC,

△3PC是等腰直角三角形，AZBPC=45°,：.ZAPB=180°-ZBPC=135°,故答案为：135.

考点四、勾股定理与折叠问题

例题4：如图，把一张长方形纸片A5CD折叠起来，E尸为折痕，使其对角顶点A与C重合，。与G重合.若

长方形的长3C为8,宽48为4.

(1)求DE的长;

(2)求E尸的长；

（3）求阴影部分4G石。的面积.

【解析】（1）由折叠可知OE=GE.

设DE=x,则AE=8-x.

在RtA4£G中，AG2+GE2^AE2,

.".16+x2=（8—X）",解得x=3,:.DE=3.

（2）如图，过点尸作FBLAD于H,则m=4,

在RtA3R中，由勾股定理得3/2=AF2_Ag2,

2

又AF=FC,ABF-=（8-JBF）-16,

：.BF=AH=3.

AE=AD—DE=5,EH=AE—AH=2,

\EF2=42+22=20,:.EF=245.

(3)如图，过点6作60，4£＞于M,

GE=DE=3,;.AE=5,AG=4,

11],11Q

-AGxGE=-AExGM,:.GM=—,S=-xGMxDE=­.

225GrFEDn25

考点五、勾股定理的证明方法

例题5：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑.在该书的第

2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论.

如图，在ZiABC中，ZC=90°,BC=a,AC=6,AB=c,以AB为直角边在AB的右侧作等腰直角△AB。,

其中钻=BD,ZABD=9Q°,过点D作DELCB,垂足为点E.

⑴求证：DE=a,BE=b；

(2)请你用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：/二片+好；

(3)若a+6=17,ab-60,求△ABC中A3边上的高

【解析】(1)证明：如图，・・・。石，C3,・・・/£=90。，

VZC=90°,:./E=/C,

;Z3=90°,，2+14=90。,

•・•在ABC中，ZC=90°,・•.N2+Nl=90。，；.Z1=Z4.

'/4=N1

在△BD石和-ABC中，＜ZE=ZC,ABDE^AABC(AAS),

BD=AB

DE=BC=a,BE=AC=b.

22

⑵证明：S^ACED=S^ABC+S^ABD+S^BDE=^ab+^c+^ab=ab+^c,

iii9

S梯形ACW=5(AC+。石).。石=59+1)(。+3=5(4+3,

]]21

abT—c~=—(a+Z?),ab—c2=+2ab+b2^,

22V'2

••2ab+c2=CL~+2ab+，••c?—a~+Z?~.

(3)c2=a2+b2=(^a+—2ab,a+b-11,ab-60,

：.c2=172-2x60=289-120=169.

,；c为边长，为正值，；.c=13,

—ch=S.„=—ab,—xl3/z=—x60,h=—.

2AAABCr22213

考点六、利用勾股定理的逆定理说明三角形是直角三角形

例题6：如图，在笔直的公路A8旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离AC=15km,

到公路上另一停靠站B的距离3c=20km,停靠站A8之间的距离为AB=25km,为方便运输货物，现要从

公路48上的。处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD，AB.

(1)请判断△ABC的形状，并说明理由;

(2)求修建的公路CD的长.

【解析】(1)MC是直角三角形.理由如下：

AC=15km,BC=20km,AB=25km,

/.AC2+BC2=152+202=252=AB2,

ABC是直角三角形.

11「八ACBC15x20

(2)CD1AB,.-.S=-ABCD=-ACBC,：.CD=------------=-----------=12,

ABC22AB25

即修建的公路CT)的长为12km.

考点七、用勾股定理构造图形解决问题

例题7：如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度为2.5米，当人体进入感应器

的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时

AB=2.5米，BE=CD=L6米,ED=BC=1.2^:,

\AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9（米）.

在RtAADE中，由勾股定理得到：AD=^AE2+DE1=A/O,92+1.22=1.5-

答：A9为L5米.

考点八、用勾股定理求最短路径问题

例题8：问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm,宽为50cm的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着

一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽AD,木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形，求一

只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程.

(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展

开图，并用实线连接AC；

（2）线段AC的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是

（3）问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程.

【解析】（1）如图所示，AC即为所求.

（2）线段AC的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短.

故答案为：两点之间线段最短.

（3）根据题意可得：展开图中的AB=80+20x2=120（cm）,BC=50cm.

在RtABC中，由勾股定理可得：AC=y/AB2+BC2=A/1202+502=130<cm）>

即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为130cm.

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一、选择题

1.以下四组数中，不是勾股数的是（）

A.3,4,5B.5,12,13C.4,5,6D.6,8,10

2.如图，在长方形A3CD中，AB=3,AD=9,将此长方形折叠，使点2与点。重合，折痕为E尸，则△BEF

的面积为（）

A.6B.7.5C.6.5D.12

3.如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作H和邑.若

AC=6,BC=8,则阴影部分的面积Si+S?是（）

A.9兀B.12.5KC.14D.24

4.如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边

上的高是（）

A

B

C

A.—>/10B.-72c.2V2D.1710

5.《九章算术》是中国古代的数学著作，书中记载：今有开门去闹（读ktn门槛的意思）一尺，不合二寸,

问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙CD=2寸，点C、点。与门槛A3的距离

CE=DF=[尺（1尺=10寸），则A3的长是（）

A.26寸B.5Q5寸D.101寸

二、填空题

6.AABC中,ZC=90°,a=®c=2,b=

7.如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是

8.勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”.即c=^/7生（a

为勾，6为股，c为弦）,若“勾”为6,“股”为8,则“弦”是

9.如图，点A是某景点所在的位置，游客可以在游客观光车站8或C处乘车前往，且AB=BC,因道路施

工，点C到点A段现暂时封闭，为方便出行，在2C这条路上的。处修建了一个临时车站，由。处亦可直达

A处，若AC=1km,AD=0.8km,CD=0.6km,则路线AB的长为km.

10.如果三角形有一条边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形是“美好三角形”，这条中线为

“美好中线”.如图，在八48。中，/C=90。，较短的一条直角边BC=3,且ZkABC是“美好三角形”，则

△ABC的“美好中线”的长为

三、解答题

11.在RtABC中，ZACB=90°,若AB=20,且BC:AC=3:4.

⑴求BC的长；

⑵过点C作CDLAB于。，求C。的长.

12.大丰施耐庵公园是许多青少年喜爱的场所.如图是公园内一个滑梯的示意图，左边是楼梯，中间是过

道，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度6C=3米，鹿=1米.

(1)要想求AC的长度，我们可以设AC为x米，则45=米；

(2)请求出滑梯AC的长度.

13.港珠澳大桥是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长55k