第十八章《分式》单元总结导学案-2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十八章分式单元总结导学案

本单元围绕分式展开，涵盖分式的性质、运算及分式方程等重要内容。此导学案旨在

帮助学生系统梳理知识，强化重难点，提升对分式相关知识的综合运用能力。

一、学习目标（简写版）

1.全面掌握分式的概念、基本性质，熟练运用分式的性质进行变形、约分与通分。

2.熟练运用分式的加、减、乘、除及乘方运算法则准确进行计算，明晰各运算中的易

错点。

3.深入理解分式方程的解法，能准确识别增根，灵活运用分式方程解决实际问题。

二、学习重难点

重点：

•分式的基本性质，以及依据此性质进行的约分和通分运算。

•分式的四则运算及乘方运算的法则与计算。

­分式方程的解法步骤和实际应用，包括找等量关系列方程。

难点：

•分式运算中复杂多项式的因式分解、最简公分母的确定，以及避免运算错误。

•理解分式方程增根产生的原因，在实际问题中准确分析数量关系建立分式方程模

型。

三、知识点自主预习填空

1.一般地，如果4B（B70）表示两个整式，且B中含有那么式子就叫

D

做分式。

2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个的整式，分式的值

______。用式子表示为?=簧，?=言（BKO,CHO）。

DD-CDD—C

3.分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即卜5=

ba

();分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即

(bH0,cW0,dW0)o

4.同分母分式相加减，分母_____分子________即士士纹(________);异分母分

CC

式相加减，先______变为同分母的分式，再加减，即_______"WO,d丰

ba

0)o

5.分母里含有的方程叫做分式方程，解分式方程的基本思路是将其化为

方程，最后必须进行O

四、知识点详细讲解与要点讲解

知识点1:分式的概念

详细内容：

分式的定义为：若4B(8K0)表示两个整式，且B中含有字母，那么式子2就是分

式。判断一个式子是否为分式，关键看分母是否含有字母，且分母不能为0。例如

平是分式，当X=O时，该分式无意义；而|分母为常数，不是分式。

常考易错点：

•忽略分母不能为0的条件，在确定分式有意义的取值范围时出错。

•对“字母”的理解不准确，如把工误认为是分式，实际上兀是常数，该式不是分式。

71

经典例题1：在式子：，手，二中，分式有()

X5TCX—k

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

答案：B

解析：2分母含有字母》,是分式；千分母为常数3,不是分式；-

X371

中兀是常数，不是分式；宁分母含有字母久，是分式。所以分式有2个，选B。

x—1

变式题1：当X取何值时，分式三|有意义？

x+2

答案：久力一2

解析：要使分式有意义，则分母不能为0,即％+2H0,解得久H-2。

知识点2：分式的基本性质

详细内容：

分式的基本性质是分式变形的核心，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于

0的整式，分式的值不变。它可用于约分和通分：

•约分是把分式分子分母的公因式约去，化为最简分式。如怒=鬻葛=金

9比y43xy-3y3y

•通分是将异分母分式化为同分母分式，先确定最简公分母，再根据性质变形。如以

与看，最简公分母是6/,表=景=彘，枭=悬=去

常考易错点：

•运用性质时，忽略所乘（或除以）整式不为o的条件。

•约分不彻底或错误约去非公因式；通分找不准最简公分母。

经典例题2:下列变形正确的是（）

Xx+1

AA.-=-----

yy+1

=⑦为整式）

C.-=4

yy2

XX,CL/c\

D-=—(aW0)

y旷以

答案：D

解析：A选项不符合分式基本性质；B选项未说明a70,当a=0时不成立；C选项

不符合性质；D选项符合分式基本性质，所以选D。

变式题2:将分式急的分子分母同时乘以(a-b)后，得到的分式是

佐型.2a(。一匕)

口荣-(a+b)(a-b)

解析：根据分式基本性质，分子分母同乘(a-b),可得2：『)

\CL-rD)^(1—D)

知识点3：分式的运算

详细内容：

•乘法与除法：分式乘法是分子相乘作分子，分母相乘作分母；除法是将除式分子分

母颠倒后与被除式相乘。如千与=蜜=*==2以

3xy3x-yyxx2

•加法与减法：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式先通分再加

咸。如装？+口=工，1+亥=豆+豆=豆。

•乘方：(铲=第(b于0,九为整数),如(|)3=1|='

常考易错点：

•运算顺序错误，在混合运算中未遵循先乘方，再乘除，最后加减的顺序。

■计算过程中符号出错，尤其是在减法和负指数骞运算时。

•对运算法则记忆不准确，如分式除法忘记将除式颠倒。

经典例题3:计算比也

X+1

答案：1

解析：

先对分子分母因式分解：久2一1=(久+1)(%-1),%2+2%+1=(%+I)2；

(%+1)(%-1)

原式变为x+1

(x+1)2

约分可得1O

变式题3:计算三-二

答案：言

解析：根据同分母分式减法法则，三-芸=T。

知识点4:分式方程

详细内容：

分母含有未知数的方程是分式方程，解分式方程一般步骤为：

1.去分母，方程两边同乘各分母最简公分母化为整式方程。

2.解整式方程。

3.检验，将整式方程的解代入最简公分母，若不为0,是原方程的解；若为0,是增

根，原方程无解。

如解方程」；=4两边同乘x(x-1)得x=2(x-1),解得x=2,检验：当x=2时，

-1)=2X(2-1)=2。0,所以X=2是原方程的解。

常考易错点：

,去分母漏乘不含分母的项。

•忘记检验，导致增根未被排除。

•在实际问题中，找不准等量关系列错方程。

经典例题4：解方程三=二,

%+1x-1

答案：x=5

解析：

方程两边同乘(x+1)(x-1)得:3(x-1)=2(x+1);

展开括号：3x-3=2x+2;

移项：3x-2x=2+3,解得x=5；

检验：当x=5时，(%+1)(%-1)=(5+1)x(5—1)=2470,所以x=5是原方程

的解。

变式题4:若关于x的分式方程啖-2=会有增根，则m的值为。

答案：3

解析：方程两边同乘x-3得x-2(x-3)=m,因为方程有增根，所以x-3=0,即乂=

3,把x=3代入x-2(x-3)=m,得3—2x(3—3)=m,解得m=3。

五、效果检测（判断题）

1.式子2T一定是分式。（）

2.分式岛中，x可以取任意实数。（）

3.由分式基本性质可得户言（c为整式）。（）

4.分式占1约分后为x-1。（）

x—1

六、课后作业

一、单选题

1.下列各式中是分式的是（）

2.对于分式心下列说法正确的是（）

x+3

A.当x=0时，分式无意义B.当*=-3时，分式有意义

C.当x=±3时，分式的值为零D.当x=3时，分式的值为零

3.下列各式中，不论x取何值分式都有意义的是（）

1111

A.-B.-----c.-；—

X1-xx+1x2-l

3?

4.计算（-苏「二的结果是（）

m

A.-2m4B.2m4C.-2m5D.2m5

r-j,i+12d5+36/、

5.若Q=—3,则2=()

a+6a

A.—3B.-1C.3D.6

2

6.计算二+工的结果等于（）

a2-la+\

111

A.——B.-----c.—D.1

a-1〃+11—a

7.剪纸是我国优秀的民间传统文化艺术之一，传承了中华民族深邃的传统思想和古老文

化，具有独特的美术价值和人文价值.剪纸纸张的厚度通常可以达到0Q00107m甚至更

细，将数据0000107用科学记数法表示为（）

A.0.107x10-3B.1.07x10^C.1.07xlO^5D.1.07xlO4

8.对于非零实数。，b,规定。一，若(2%-1)02=1,则尤的值为(

)

ab

二、填空题

—2

9.若分式X=的值为0,则x的值是

X

11.计算：2《=__.

ab

12.如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是

三、解答题

13.计算

x2-lx—2

⑴

+(D?2

/-4无+4X+X

14•计算：卜2|一一3-1+(6-2)

15.计算：-3+(-2025)°+I

23

16.解方程一-=

x+1x

七、答案与解析

（-）知识点自主预习填空答案

1.字母

2.不等于0；不变

ac.ad

bd1be

4.不变；相加减；理；通分；曙

cba

5.未知数；整式；检验

（二）效果检测答案与解析

1.答案：＜

解析：式子士分母含有字母x,符合分式定义，所以是分式，该说法正确。

X+1

2.答案：x

解析：要使分式会有意义，则/-170,即％力士1,所以X不能取任意实数，该说法错

xz—1

、口

铁。

3.答案：x

解析：根据分式基本性质，三=詈（。^。且^:为整式）,缺少C70条件，该说法错误。

uu-C

4.答案：x、

（三）课后作业答案与解析

题号12345678

答案ADCCBABA

1.A

【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，判断一个代数式是否分式

的关键是：看分母中是否含有字母.

根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式.逐一判断各选项分母是否含有字母.

【详解】解：A.-：分母为字母°,符合分式定义，故此选项符合题意；

a

b

B.分母为2%，其中r是常数，不含字母，属于整式，故此选项不符合题意；

2万7

C.审：分母为常数2,属于整式，故此选项不符合题意；

D.|xy：分母为常数2,属于整式，故此选项不符合题意；

故选：A.

2.D

【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式值为零的条件，根据分式有意义要求分母不为零，

分式的值为零要求分子为零且分母不为零，逐项分析判断，即可求解.

【详解】解：选项A：当尤=0时，分母工+3=0+3=3w0,分式有意义，故A错误.

选项B：当兀二-3时，分母1+3=-3+3=0,分式无意义，故B错误.

选项C：分式值为零需满足分子闪-3=0且分母X+3W0.

由|%|=3得％=3或x=-3.

当尤=3时，分母3+3=6w0,满足条件；

当产-3时，分母-3+3=0,分式无意义,故C错误.

选项D：当x=3时，分子|3|-3=0,分母3+3=6片0,分式值为零，故D正确.

故选：D.

3.C

【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据题意逐一分析各选项分母是否可能为零，若无论无取

何值分母均不为零，则符合题意，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键.

【详解】解：A、分母为无，当x=0时，分母为零，分式无意义，不符合题意；

B、分母为1-x,当x=l时，分母为零，分式无意义，不符合题意；

C、分母为Y+1,由于fzo,则V+121,无论x取何实数，分母始终大于零，分式恒有意义，

符合题意；

D、分母为/-1,当x=l或x=-l时，分母为零，不符合题意；

故选：C.

4.C

【分析】本题考查了哥的乘方，分式的乘法，正确掌握相关性质内容是解题的关键.先运算累的

乘方，再运算分式的乘法，即可作答.

2365

【详解】解：依题意，(-m)--=-m--=-2m,

x7mm

故选：C.

5.B

【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式化简后代入求值，即可求解.

【详解】解：/+产+36=（；+6）=a+6

a+6〃a[a+6）a

当a=-3时，原式=3+6=_]

-3

故选：B.

6.A

【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可.

21

【详解】解：原式="1）（〃+1）+二

2

=-----------H------a---1-----

+（Q一

2+（a-l）

（Q—1）（Q+1）

〃+1

（4—]）（〃+1）

1

~^1；

故选A.

7.B

【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为4X10"的形式，其中14时＜10,”为整

数，正确确定。、〃的值是解题的关键.将0.000107写成axlO,其中＜10,"为整数的形式即

可.

【详解】解：0.000107=1.07x10^.

故选B.

8.A

【分析】本题考查的是新定义运算的含义，根据定义的新运算，将（2x-l）02=l转化为分式方

程，解方程并检验即可.

【详解】解：根据题意，运算。＜8）8=工-。，

代入（2x-l）®2=l得：｛3rg=1，

113

移项得：^^=1+-=-,

2x-l22

2

两边取倒数：2x-l=-,

解得：2x=-2+l=|5,

解得：

0

552

检验：当％二—时，分母2%—1=21=—wO,

663

因此，x的值为3，

6

故选：A

9.2

【分析】本题考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进

而得出答案，熟知分式的值为0时要满足的条件是解题的关键.

【详解】解：...分式」的值为0,

X

%-2=0,

解得x=2,

故答案为：2.

10.--

a

【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘法计算，先计算乘方，再计算乘法即可得到答案.

【详解】解：.a2=-^-a2=--,

a)aa

A3

故答案为：-2.

a

1

11.-

b

【分析】本题考查分式的乘法，根据分式的乘法法则计算即可.

ba_ab