三角形有关的角-燕尾图形（专项练习）八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题三角形有关的角-燕尾模型（专项练习）如图：这样的图形称之为“燕尾模型”结论：∠BDC=∠A+∠B+∠C一、单选题1．如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（）A．50° B．118° C．100° D．90°2．如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（）A．24° B．25° C．30° D．36°二、填空题3．如右图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．4．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝__．5．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于__．6．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．7．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．8．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是__．9．如图，在中，，，平分，平分，则______.三、解答题10．如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、图(1)XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=__________°；②如图(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；（写出解答过程）③如图（4），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，则∠A的度数=__________°．11．如图，中，（1）若、的三等分线交于点、，请用表示、；（2）若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，.12．如图，是上一点，是上一点，，相交于点，，，，求的度数.13．如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数.14．如图，、分别平分和，若，，求的度数.15．如图，在中，与的平分线相交于点，试说明、之间的数量关系.16．如图，已知分别交的边、于、，交的延长线于，，，，求的度数.

参考答案1．B【分析】在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠C的度数，由折叠的性质，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，结合∠2的度数可求出∠CED的度数，在△CDE中利用三角形内角和定理可求出∠CDE的度数，再由∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE即可求出结论．解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．由折叠，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，∴∠CED＝＝99°，∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝31°，∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°．故选：B．【点拨】本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出∠CDE的度数是解题的关键．2．B【详解】∵∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∴∠D1BC+∠D1CB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)，∴∠=180°-(180°-∠A)=∠A+90°=100°，同理：∠=60°，∠=40°，∠=30°，∠=25°.故选B3．360°【分析】根据三角形的外角性质可得∠BNP＝∠A＋∠B，∠DPQ＝∠C＋∠D，∠FQM＝∠E＋∠F，∠HMN＝∠G＋∠H，再根据多边形的外角和定理即可求解．解：由图形可知：∠BNP＝∠A＋∠B，∠DPQ＝∠C＋∠D，∠FQM＝∠E＋∠F，∠HMN＝∠G＋∠H，∵∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°．故答案为：360°．【点拨】本题考查了三角形的外角性质和多边形外角和等于360度，将∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的和转化为∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN的和是解题的关键．4．180°【分析】先根据三角形外角的性质得出∠CFB＝∠A＋∠C，∠BGF＝∠D＋∠E，再由三角形内角和定理即可得出结论．解：∵∠CFB是△ACF的外角，∠BGF是△DEG的外角，∴∠CFB＝∠A＋∠C，∠BGF＝∠D＋∠E，∵∠B＋∠CFB＋∠BGF＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°．故答案为：180°．【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．5．180°【分析】根据三角形外角的性质可知∠B＋∠A＝∠1，∠D＋∠E＝∠2，再根据三角形内角和定理即可得出结论．解：如图，∵∠B＋∠A＝∠1，∠D＋∠E＝∠2，∵∠1＋∠2＋∠C＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°．故答案为：180°．【点拨】本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解答此题的关键．6．360°【分析】连接CF，根据三角形的外角得到由三角形外角的性质可得：∠2＝∠G＋∠H，∠3＝∠A＋∠B，∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，根据四边形的内角和为360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°．解：如图，连接FC，由三角形外角的性质可得：∠2＝∠G＋∠H，∠3＝∠A＋∠B，∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，根据四边形的内角和为360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°，故答案为360°．【点拨】本题考查了三角形的内角与外角，解决本题的关键是熟记三角形的外角的性质．7．720°【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠2与∠H、∠G的关系，∠1与∠2、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案．解：如图：由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠2＝∠H＋∠G，∠1＝∠2＋∠D，∠1＝∠H＋∠G＋∠D，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝∠A＋∠B＋∠C＋∠E＋∠F＋∠H＋∠G＋∠D＝180°×（6－2）＝270°．故答案为：720°．【点拨】本题考查了多边形的内角与外角，先求出∠1＝∠H＋∠G＋∠D，再求出多边形的内角和．8．180°【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠4＝∠A＋∠2，∠2＝∠D＋∠C，进而利用三角形的内角和定理求解．解：如图可知：∵∠4是三角形的外角，∴∠4＝∠A＋∠2，同理∠2也是三角形的外角，∴∠2＝∠D＋∠C，在△BEG中，∵∠B＋∠E＋∠4＝180°，∴∠B＋∠E＋∠A＋∠D＋∠C＝180°．故答案为：180°．【点拨】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．9．【分析】先根据角平分线的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解.解：∵平分，平分，∴，∴.【点拨】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.10．（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，详见解析；（2）①40；②∠DCE=90°；③70【分析】（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可证∠BDC=∠BDF+∠CDF；（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．③由②方法，进而可得答案．解：（1）连接AD并延长至点F，由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°．故答案是：40；②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，∴∠ADB+∠AEB＝80°；∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,∴∠ADC=∠ADB,∠AEC=∠AEB∴∠DCE＝(∠ADB+∠AEB)+∠A=40°+50°=90°；③由②知，∠BG1C＝(∠ABD+∠ACD)+∠A，∵∠BG1C＝77°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，∴(140﹣x)＋x＝77，∴14﹣x+x＝77，∴x＝70，∴∠A为70°．故答案是：70．【点拨】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．11．（1），；（2），.【分析】（1）根据三角形内角和可得，再根据、的三等分线交于点、，可得然后根据三角形内角和定理即可用含表示、；（2）根据（1）中所体现的规律解答即可.解：（1）∵，∴，∵、的三等分线交于点、，∴∴，；（2）由（1）可知，.【点拨】本题考查了三角形内角和定理及角的n等分线的性质.熟练应用三角形内角和定理求角的度数是解题的关键.12．.【分析】根据三角形的外角性质先求出的度数，再利用三角形内角和定理即可注出的度数.解：在△ADC中，，在在△BDF中，.【点拨】本题考查了三角形内角和定理及三角形外角的性质.熟练找出三角形内角与外角的关系是解题的关键.13．.【分析】根据三角形的外角的性质得出燕尾角的基本图形的结论得出∠BDC、∠BOC，在根据角平分线的性质即可得出解：由燕尾角的基本图形与结论可得，①②是的平分线，是的平分线，．①-②得，．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．14．.【分析】根据三角形内角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM-∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD-∠MCD，再根据角平分线的定义可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD，然后求出∠M与∠B、∠D关系，代入数据进行计算即可得解；解：根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，

∴∠BAM-∠BCM=∠M-∠B，

同理，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，

∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，

∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，

∴∠M-∠B=∠D-∠M，

∴∠M=（∠B+∠D）=（42°+54°）=48°；【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．15．，见解析.【分