直线与圆圆与圆位置关系-

直线与圆圆与圆位置关系知识精讲知识点一直线与圆的位置关系知识精讲1．直线与圆有三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点2．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rd＝rd＞r代数法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,x－a2＋y－b2＝r2))消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜03．圆的切线及切线方程(1)自一点引圆的切线的条数：①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.①求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.②重要结论：.4．圆的弦长问题(1)几何法(2)代数法①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.知识点二圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为相离、外切、相交、内切、内含．2．圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，联立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含3．两圆的公切线(1)两圆公切线的定义两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.(2)两圆的公切线位置的5种情况①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；③相交时，有2条公切线，都是外公切线；④内切时，有1条公切线；⑤内含时，无公切线.判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。(3)求两圆公切线方程的方法求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.4．两圆的公共弦问题(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.(2)求两圆公共弦长的方法①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长.典型习题典型习题1、直线mx2ym+1=0与圆x2+y24x2y+1=0的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定解：由题意得：已知圆的方程可化为x−22+y−12圆心(2,1)到直线mx−2y−m+1=0的距离为d=当d<2时，即m−1m2+4<2，则m−12当d≥2时，即m−1m故直线mx2ym+1=0与圆x2+y24x2y+1=0的位置关系是相交；故选：A.2、已知直线l:x−y+2=0与圆C:x2+y2A．−∞,0 C．−∞,−1【解题思路】由圆心到直线的距离大于半径即可求解.【解答过程】由x2+y∵直线l:x−y+2=0与圆C:x∴2m+1>0,0−1+22>∴实数m的取值范围是−13、过点M(3,1)作圆x2+y2−2x−6y+2=0的切线lA．x+y−4=0 B．x+y−4=0或x=3C．x−y−2=0 D．x+y−2=0或x=3【解题思路】根据题意，设圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C，分析可得点M在圆上，求出直线MC的斜率，即可得切线的斜率k，由直线的点斜式方程分析可得答案．【解答过程】解：根据题意，设圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C，圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0，即x−12+y−32=8又由点M的坐标为（3，1），有3−12+1−3则kMC=1−33−1=−1则切线的方程为y﹣1＝（x﹣3），即x﹣y﹣2＝0；故选：C．A．0 B．1 C．2 D．4所求直线与圆相交所得弦长为，半径为2，弦心距为．A．1条 B．2条 C．3条 D．4条可得圆与圆相交，所以两圆公共切线的条数为2条.故选：B.8、已知圆C1:x2+A．内切 B．相交 C．外切 D．外离【解答过程】由题意，知圆C1的圆心C1(0,0)圆C2的方程可化为x−522+因为两圆的圆心距C1C29、已知圆C1(x−2)2+(y+2)2=r2(r>0)与圆A．7 B．3 C．3或7 D．5【解答过程】C1因为圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，所以圆C1所以r−2=5或r+2=5，所以r=7或r=3，故选：C．10、下列方程中，圆C1:x2−2x+A．x+3y+3=0 C．3x+y+3=0 D．【解答过程】根据题意可知C1:x−1如图，设公切线l与圆C1，圆C2分别相切于第一象限的A，B两点，与x轴相交于点由几何关系可知C1A=1，OB=3所以OP=3，P3,0，sin∠OPB=12，∠OPB=则l的方程为y=−33x−3根据对称可得出另一条公切线方程为x−315、直线y＝x＋b与曲线x＝eq\r(1－y2)有且仅有一个公共点，则b的取值范围是解析：将曲线x＝eq\r(1－y2)变为x2＋y2＝1(x≥0)．画出直线y＝x＋b与曲线x＝eq\r(1－y2)，如图．当直线y＝x＋b与曲线x2＋y2＝1相切时，满足eq\f(|0－0＋b|,\r(2))＝1，则|b|＝eq\r(2).观察图像可得当b＝－eq\r(2)或－1<b≤1时，直线y＝x＋b与曲线x＝eq\r(1－y2)有且仅有一个公共点．17、直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间距离的最小值为________．解：过点O作OC⊥AB于C，因为△AOB为等腰直角三角形，所以C为弦AB的中点，又|OA|＝|OB|＝1，根据勾股定理得|AB|＝，∴|OC|＝|AB|＝.即2a2＋b2＝2，即a2＝－b2＋1≥0.∴－≤b≤.则点P(a，b)与点(0,1)之间距离＝.设f(b)＝b2－2b＋2＝(b－2)2，此函数为对称轴为x＝2的开口向上的抛物线，∴当－≤b≤<2时，函数为减函数．（2）求证：直线与轴交于一个定点，并求定点坐标.19、已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1过定点A(1，0)．(1)若l1与圆相切，求l1的方程；(2)若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，求证：AM·AN为定值．解析：(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即eq\f(|3k－4－k|,\r(k2＋1))＝2，解之得k＝eq\f(3,4).所求直线方程是x＝1或3x－4y－3＝0.(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋2＝0，,kx－y－k＝0))得Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k－2,2k＋1)，－\f(3k,2k＋1))).又直线CM与l1垂直，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－k，,y－4＝－\f(1,k)（x－3）))得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k2＋4k＋3,1＋k2