2017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案第一章1.11.1.1相似三角形判定定理

_1.1相似三角形1．1.1相似三角形判定定理eq\a\vs4\al([对应学生用书P1])[读教材·填要点]1．相似三角形的定义及相关概念如果在两个三角形中，对应角相等、对应边成比例，则这两个三角形叫做相似三角形．设相似三角形对应边的比值为k，则k叫做相似比(或相似系数)．2．相似三角形判定定理(1)判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似．(2)判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似．(3)判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．[小问题·大思维]1．两个三角形“相似”与两个三角形“全等”之间有什么关系？提示：两个三角形全等是两个三角形相似的一种特殊情况．相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，当两个相似三角形的相似比为1时，两个三角形全等．2．如果两个三角形的两边对应成比例，且有一角相等，那么这两个三角形相似吗？提示：不一定．只有当这个角是对应成比例的两边的夹角时，这两个三角形才相似．eq\a\vs4\al([对应学生用书P1])相似三角形的判定[例1]如图，若O是△ABC内任一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的靠近O的三等分点．求证：△DEF∽△ABC.[思路点拨]本题考查相似三角形判定定理2的应用．解答此题需要根据已知条件，寻找三角形相似的条件．利用三等分点找出对应边成比例即可．[精解详析]∵D，E，F分别是OA，OB，OC靠近点O的三等分点，∴DE＝eq\f(1,3)AB，EF＝eq\f(1,3)BC，FD＝eq\f(1,3)CA.∴eq\f(DE,AB)＝eq\f(EF,BC)＝eq\f(FD,CA)＝eq\f(1,3).由三角形相似的判定定理得△DEF∽△ABC.在相似三角形的判定中，应用最多的是判定定理1，因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2、3则常见于连续两次证明相似时，在第二次使用的情况较多．1．已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.证明：(1)∵BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，∴∠BFC＝∠CEB.又∵∠CPF＝∠BPE，∴△CPF∽△BPE.(2)由(1)得△CPF∽△BPE，∴eq\f(EP,BP)＝eq\f(FP,CP).又∵∠EPF＝∠BPC，∴△EFP∽△BCP.[例2]如图所示，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b，求当BD与a，b之间满足怎样的关系时，△ABC与△CDB相似？[思路点拨]由于△ABC与△CDB相似且都是直角三角形，因此，只要对应边成比例即可．而斜边肯定是三角形的最大边，所以AC一定与BC对应，这里要注意分类讨论的运用．[精解详析]∵∠ABC＝∠CDB＝90°，斜边AC与BC为对应边，以下分两种情况讨论．①当eq\f(AC,BC)＝eq\f(BC,BD)时，△ABC∽△CDB，即eq\f(a,b)＝eq\f(b,BD).∴BD＝eq\f(b2,a)时，△ABC∽△CDB.②当eq\f(AC,BC)＝eq\f(AB,BD)时，△ABC∽△BDC，即eq\f(a,b)＝eq\f(\r(a2－b2),BD).∴当BD＝eq\f(b\r(a2－b2),a)时，△ABC∽△BDC.故当BD＝eq\f(b2,a)或BD＝eq\f(b\r(a2－b2),a)时，△ABC与△CDB相似．(1)在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的应用．(2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．2．如图，BD、CE是△ABC的高．求证：△ADE∽△ABC.证明：∵BD、CE是△ABC的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.又∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△ADB.∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC).又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.相似三角形的应用[例3]如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于点P，交AC于点E.求证：BP2＝PE·PF.[思路点拨]本题考查相似三角形的判定及其应用，解答本题需要注意AD是等腰△ABC底边上的高，所以PB＝PC，从而将所求证的结论转化为PC2＝PE·PF.进而可以证明△PCE∽△PFC来解决问题．[精解详析]连接PC，在△ABC中，因为AB＝AC，D为BC中点，所以AD垂直平分BC.所以PB＝PC，∠1＝∠2.因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，所以∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4.因为CF∥AB，所以∠3＝∠F，所以∠4＝∠F.又因为∠EPC＝∠CPF，所以△PCE∽△PFC，所以eq\f(PC,PE)＝eq\f(PF,PC)，所以PC2＝PE·PF.因为PC＝PB，所以PB2＝PE·PF.(1)有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．(2)要说明线段的乘积式ab＝cd，或平方式a2＝bc，一般都是证明比例式eq\f(a,c)＝eq\f(d,b)或eq\f(b,a)＝eq\f(a,c)，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．3．如图所示，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，当△ADP与△QCP相似时，求BQ的值．解：由题知∠D＝∠C＝90°，①当△ADP∽△PCQ时，eq\f(AD,PC)＝eq\f(DP,CQ)，∴eq\f(1,\f(1,2))＝eq\f(\f(1,2),CQ)，∴CQ＝eq\f(1,4)，∴BQ＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).②当△ADP∽△QCP时，eq\f(AD,QC)＝eq\f(DP,CP)，∴eq\f(1,QC)＝eq\f(\f(1,2),\f(1,2))，∴CQ＝1，∴BQ＝0.综上可知，当△ADP与△QCP相似时，BQ＝0或eq\f(3,4).eq\a\vs4\al([对应学生用书P3])一、选择题1．如图，锐角三角形ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴△ODB，△ABE，△ADC，△OCE都是直角三角形．又∵∠DBO＝∠EBA，∠A＝∠A，∠DOB＝∠EOC，∴△ODB∽△AEB∽△ADC，△ODB∽△OEC.∴与△ODB相似的三角形有3个．答案：C2．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，图形中共有x个三角形与△ABC相似，则x的值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：由题意知，△ACD与△CBD与△ABC相似，故x＝2.答案：B3．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形解析：等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似．答案：D4．如图所示，∠AOD＝90°，OA＝OB＝BC＝CD，则下列结论正确的是()A．△DAB∽△OCAB．△OAB∽△ODAC．△BAC∽△BDAD．△OAC∽△ABD解析：设OA＝OB＝BC＝CD＝a，则AB＝eq\r(2)a，BD＝2a.∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(BC,AB)＝eq\f(a,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2).∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(BC,AB)，且∠ABC＝∠DBA.∴△BAC∽△BDA.答案：C二、填空题5．如图，已知△ABC，△DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上，与△DBE相似的三角形的个数为________．解析：在△DBE与△ECH中，∵∠B＝∠C＝60°，∠BDE＋∠BED＝120°，∠BED＋∠CEH＝120°，∴∠BDE＝∠CEH.∴△DBE∽△ECH.同理可证△ADG和△FHG也都和△BED相似．答案：36．如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC＝8，BC＝16，那么CD＝________.解析：先根据已知条件和隐含条件证明△ABC∽△DAC.再根据相似建立比例式，根据给出的线段易求出未知线段．答案：47．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.解析：∵∠ACD＝∠AEB＝90°，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(AE,AC).又AC＝4，AD＝12，AB＝6，∴AE＝eq\f(AB·AC,AD)＝eq\f(6×4,12)＝2.答案：28．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为________．解析：∵DE∥BC，EF∥CD，∴∠FDE＝∠DBC，∠DFE＝∠BDC.∴△FDE∽△DBC∴eq\f(FD,DB)＝eq\f(DE,BC)，即BD＝eq\f(3,2).由eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(2,3)，得eq\f(AE,EC)＝2＝eq\f(AF,FD).∴AF＝2，AB＝eq\f(9,2).答案：eq\f(9,2)三、解答题9．如图，已知：D是△ABC内的一点，在△ABC外取一点E，使∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD.求证：△ABC∽△DBE.证明：∵∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，∴△ABD∽△CBE，∠ABC＝∠DBE.∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(BD,BE)，即eq\f(AB,BD)＝eq\f(BC,BE)，∴△ABC∽△DBE.10．如图，已知▱ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和BC于E，F两点．证明：AF·AD＝AG·BF.证明：因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥DC，AD∥BC.所以△ABF∽△GCF，△GCF∽△GDA.所以△ABF∽△GDA.从而有eq\f(AF,AG)＝eq\f(BF,AD)，即AF·AD＝AG·BF.11．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α.且DM交AC于F，ME交BC于G，(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；(2)连接FG，如果α＝45°，AB＝4eq\r(2)，AF＝3，求FG的长．解：(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM.以下证明：△AMF∽△BGM.∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM.(2)当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC.∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝2eq\r(