弹塑性力学(专升本)地质大学期末开卷考试题库及答案

弹塑性力学(专升本)地质大学期末开卷考试题库及答案一、选择题1.以下哪种材料可近似看作理想弹塑性材料？（）A.木材B.普通低碳钢C.混凝土D.橡胶答案：B。普通低碳钢在屈服阶段应力基本保持不变，可近似看作理想弹塑性材料。木材、混凝土的力学性能较为复杂，不符合理想弹塑性特征；橡胶一般表现为超弹性，并非理想弹塑性。2.弹塑性力学中，应力张量有几个独立的分量？（）A.3B.6C.9D.12答案：B。在三维空间中，应力张量是二阶张量，共有9个分量，但由于剪应力互等定理，即$\tau_{ij}=\tau_{ji}$，所以独立分量为6个。3.以下关于弹性力学基本假设的说法，错误的是（）A.连续性假设认为物体内部充满了物质，没有任何空隙B.均匀性假设认为物体的力学性质在整个物体内是完全相同的C.各向同性假设认为物体在各个方向上的力学性质不同D.小变形假设认为物体的变形远小于物体的原始尺寸答案：C。各向同性假设是指物体在各个方向上的力学性质相同，而不是不同。连续性、均匀性和小变形假设的描述都是正确的。4.平面应力问题和平面应变问题的主要区别在于（）A.应力状态不同B.应变状态不同C.材料性质不同D.受力情况不同答案：B。平面应力问题是指在一个方向上应力为零，而平面应变问题是指在一个方向上应变为零，二者主要区别在于应变状态不同。应力状态、材料性质和受力情况并非二者的本质区别。5.弹塑性力学中，塑性变形的特点是（）A.可恢复B.与加载路径无关C.不可恢复D.满足胡克定律答案：C。塑性变形是不可恢复的变形，卸载后不能回到原来的状态。它与加载路径有关，不满足胡克定律，而弹性变形是可恢复的且满足胡克定律。二、填空题1.弹性力学中的平衡微分方程反映了_________之间的关系。答案：应力分量与体力分量。平衡微分方程是根据微元体的力的平衡条件推导出来的，它描述了应力分量的变化与体力分量之间的关系。2.对于各向同性材料，广义胡克定律中独立的弹性常数有______个。答案：2。在各向同性材料的广义胡克定律中，通常用弹性模量$E$和泊松比$\mu$来表示，所以独立的弹性常数有2个。3.塑性力学中的屈服准则是判断材料是否发生________的条件。答案：塑性变形。屈服准则是根据材料的应力状态来判断材料是否开始进入塑性状态，即是否发生塑性变形。4.平面问题中，应力函数$\varphi$满足的双调和方程为__________。答案：$\nabla^{4}\varphi=0$，其中$\nabla^{4}=\nabla^{2}\nabla^{2}$，$\nabla^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partialx^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partialy^{2}}$。双调和方程是在平面问题中，通过应力与应力函数的关系以及平衡微分方程推导得到的。5.弹塑性力学中，残余应力是指物体在______后，内部仍然存在的应力。答案：外力去除。当物体受到外力作用发生弹塑性变形，在外力去除后，由于材料的塑性变形不能完全恢复，会导致物体内部仍然存在应力，即残余应力。三、简答题1.简述弹性力学与材料力学的主要区别。答：弹性力学和材料力学都是研究物体在受力作用下的力学响应，但它们有以下主要区别：-研究对象：材料力学主要研究杆状构件，如梁、柱、轴等；而弹性力学的研究对象更为广泛，可以是任何形状的物体，包括板、壳、实体等。-研究方法：材料力学在分析问题时通常采用一些简化假设，如平面假设、单向受力假设等，以简化计算；弹性力学则从微元体的平衡、几何和物理关系出发，建立严格的基本方程，求解时较少采用简化假设，理论上更为精确。-应力分析：材料力学一般只考虑杆状构件横截面上的正应力和剪应力；弹性力学则可以分析物体内任意一点的应力状态，包括正应力和剪应力的各个分量。-适用范围：材料力学适用于杆状构件在小变形、线弹性范围内的分析；弹性力学的适用范围更广，可用于解决复杂形状物体和非线性问题。2.解释什么是圣维南原理，并说明其在弹性力学中的重要性。答：圣维南原理指出：如果把物体表面一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢和主矩相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以忽略不计。圣维南原理在弹性力学中具有重要意义：-简化边界条件：在实际工程问题中，物体表面的面力分布往往比较复杂，难以精确确定。根据圣维南原理，可以将复杂的面力分布用静力等效的简单分布来代替，从而简化边界条件，使问题更容易求解。-扩大解的适用范围：对于一些无法精确求解的问题，可以通过局部变换面力分布，利用已知的简单解来近似描述物体的应力状态，扩大了解的适用范围。-忽略次要因素：在分析物体的应力和变形时，圣维南原理允许我们忽略一些次要的局部因素，将注意力集中在主要的受力区域，从而更有效地解决问题。3.简述屈服准则的概念和常见的屈服准则。答：屈服准则是判断材料在复杂应力状态下是否开始发生塑性变形的条件。在单向应力状态下，材料的屈服可以通过屈服极限来判断；但在复杂应力状态下，需要一个综合考虑各个应力分量的准则来判断材料是否屈服。常见的屈服准则有：-屈雷斯加（Tresca）屈服准则：该准则认为，当材料中的最大剪应力达到某一极限值时，材料开始屈服。其表达式为$\tau_{max}=\frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}=k$，其中$\sigma_{1}$、$\sigma_{3}$分别为最大和最小主应力，$k$为材料的剪切屈服极限。-米塞斯（Von-Mises）屈服准则：该准则认为，当材料中的畸变能达到某一极限值时，材料开始屈服。其表达式为$J_{2}'=k^{2}$，其中$J_{2}'$为应力偏张量的第二不变量。在工程中，米塞斯屈服准则更为常用，因为它与实验结果更为吻合。4.什么是应力集中现象？产生应力集中的原因有哪些？答：应力集中现象是指物体由于几何形状、外形尺寸发生突变而引起局部应力急剧增大的现象。产生应力集中的原因主要有以下几点：-几何形状突变：当物体的形状发生突然变化，如孔洞、缺口、台阶等，会导致应力线在这些部位发生密集和扭曲，从而使局部应力显著增大。例如，在带有圆孔的平板受拉时，圆孔边缘的应力会比远离圆孔处的应力大很多。-材料不均匀性：如果物体内部存在材料的不均匀性，如夹杂、裂纹等，也会引起应力集中。这些缺陷会破坏材料的连续性，使应力分布发生改变，在缺陷周围产生较高的应力。-加载方式：某些特殊的加载方式也可能导致应力集中。例如，集中载荷作用在物体表面时，会在加载点附近产生较大的应力。四、计算题1.已知平面应力状态下，某点的应力分量为$\sigma_{x}=100MPa$，$\sigma_{y}=50MPa$，$\tau_{xy}=30MPa$。试求该点的主应力和主方向。解：-首先，根据主应力的计算公式$\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}\pm\sqrt{(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2})^{2}+\tau_{xy}^{2}}$将$\sigma_{x}=100MPa$，$\sigma_{y}=50MPa$，$\tau_{xy}=30MPa$代入上式：$\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}=\frac{100+50}{2}=75MPa$$\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}=\frac{100-50}{2}=25MPa$$\sqrt{(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2})^{2}+\tau_{xy}^{2}}=\sqrt{25^{2}+30^{2}}=\sqrt{625+900}=\sqrt{1525}\approx39.05MPa$则主应力为：$\sigma_{1}=75+39.05=114.05MPa$$\sigma_{2}=75-39.05=35.95MPa$-然后，求主方向。主方向的正切值由公式$\tan2\alpha_{0}=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_{x}-\sigma_{y}}$确定。将$\sigma_{x}=100MPa$，$\sigma_{y}=50MPa$，$\tau_{xy}=30MPa$代入得：$\tan2\alpha_{0}=\frac{2\times30}{100-50}=\frac{60}{50}=1.2$$2\alpha_{0}=\arctan(1.2)\approx50.19^{\circ}$或$2\alpha_{0}=50.19^{\circ}+180^{\circ}=230.19^{\circ}$则$\alpha_{0}\approx25.1^{\circ}$或$\alpha_{0}\approx115.1^{\circ}$当$\alpha_{0}=25.1^{\circ}$时，对应的主应力为$\sigma_{1}$；当$\alpha_{0}=115.1^{\circ}$时，对应的主应力为$\sigma_{2}$。2.一矩形截面梁，宽度为$b$，高度为$h$，承受均布载荷$q$作用。试推导梁的正应力和剪应力计算公式。解：-正应力计算公式推导：-首先，根据梁的弯曲理论，假设梁的变形满足平面假设，即梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且垂直于梁的轴线。-从梁中取出一微段$dx$，设该微段梁的左右截面的弯矩分别为$M$和$M+dM$。-考虑微段梁内一层纤维的伸长或缩短，根据几何关系可得，距中性轴为$y$处的纤维的线应变$\varepsilon=\frac{y}{\rho}$，其中$\rho$为梁的中性层的曲率半径。-由胡克定律$\sigma=E\varepsilon$，可得$\sigma=E\frac{y}{\rho}$。-再根据微段梁的平衡条件，对中性轴取矩$\int_{A}\sigmaydA=M$，将$\sigma=E\frac{y}{\rho}$代入得：$\frac{E}{\rho}\int_{A}y^{2}dA=M$，令$I=\int_{A}y^{2}dA$为截面的惯性矩，则$\frac{1}{\rho}=\frac{M}{EI}$。-最后将$\frac{1}{\rho}=\frac{M}{EI}$代入$\sigma=E\frac{y}{\rho}$，得到梁的正应力计算公式$\sigma=\frac{My}{I}$。-剪应力计算公式推导：-从梁中取出一微段$dx$，再从该微段梁中取出一部分，设该部分的上边界距中性轴为$y_1$。-根据该部分的平衡条件，水平方向的合力为零，即$\int_{A_1}\sigma'dA-\int_{A_1}\sigmadA-\tau'bdx=0$，其中$\sigma'$和$\sigma$分别为左右截面的正应力，$\tau'$为所求的剪应力。-已知$\sigma=\frac{My}{I}$，$\sigma'=\frac{(M+dM)y}{I}$，代入上式并化简可得：$\tau'=\frac{dM}{dx}\frac{S^{}}{Ib}$，其中$S^{}=\int_{y_1}^{\frac{h}{2}}ydA$为所求剪应力作用点以上部分截面对于中性轴的静矩，又因为$\frac{dM}{dx}=Q$（剪力），所以梁的剪应力计算公式为$\tau=\frac{QS^{}}{Ib}$。3.已知某材料的屈服极限为$\sigma_{s}=240MPa$，在平面应力状态下，某点的应力分量为$\sigma_{x}=150MPa$，$\sigma_{y}=-50MPa$，$\tau_{xy}=80MPa$。试用屈雷斯加屈服准则和米塞斯屈服准则判断该点是否屈服。解：-屈雷斯加屈服准则：-首先求主应力。根据主应力计算公式$\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}\pm\sqrt{(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2})^{2}+\tau_{xy}^{2}}$$\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}=\frac{150-50}{2}=50MPa$$\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}=\frac{150+50}{2}=100MPa$$\sqrt{(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2})^{2}+\tau_{xy}^{2}}=\sqrt{100^{2}+80^{2}}=\sqrt{10000+6400}=\sqrt{16400}\approx128.06MPa$则$\sigma_{1}=50+128.06=178.06MPa$，$\sigma_{2}=50-128.06=-78.06MPa$-屈雷斯加屈服准则为$\tau_{max}=\frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}=k$，对于单向拉伸屈服极限为$\sigma_{s}$的材料，$k=\frac{\sigma_{s}}{2}$。$\tau_{max}=\frac{\sigma_{1}-\sigma_{2}}{2}=\frac{178.06-(-78.06)}{2}=\frac{256.12}{2}=128.06MPa$$\frac{\sigma_{s}}{2}=\frac{240}{2}=120MPa$因为$\tau_{max}>\frac{\sigma_{s}}{2}$，所以该点屈服。-米塞斯屈服准则：-先求应力偏张量的第二不变量$J_{2}'$。$J_{2}'=\frac{1}{6}[(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}+(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2}]$，这里$\sigma_{3}=0$（平面应力状态）$J_{2}'=\frac{1}{6}[(178.06+78.06)^{2}+(-78.06-0)^{2}+(0-178.06)^{2}]$$=\frac{1}{6}[256.12^{2}+78.06^{2}+178.06^{2}]$$=\frac{1}{6}[65500.65+6093.68+31705.36]$$=\frac{1}{6}\times103299.69\approx17216.61$-米塞斯屈服准则为$J_{2}'=k^{2}$，对于单向拉伸屈服极限为$\sigma_{s}$的材料，$k^{2}=\frac{\sigma_{s}^{2}}{3}$$\frac{\sigma_{s}^{2}}{3}=\frac{240^{2}}{3}=\frac{57600}{3}=19200$因为$J_{2}'<\frac{\sigma_{s}^{2}}{3}$，所以该点未屈服。五、证明题1.证明在平面应力问题中，若体力为常量，则应力函数$\varphi$满足双调和方程$\nabla^{4}\varphi=0$。证明：-平面应力问题的平衡微分方程为：$\frac{\partial\sigma_{x}}{\partialx}+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partialy}+X=0$$\frac{\partial\sigma_{y}}{\partialy}+\frac{\partial\tau_{yx}}{\partialx}+Y=0$其中$X$和$Y$为体力分量，且为常量。-引入应力函数$\varphi$，使得$\sigma_{x}=\frac{\partial^{2}\varphi}{\partialy^{2}}$，$\sigma_{y}=\frac{\partial^{2}\varphi}{\partialx^{2}}$，$\tau_{xy}=-\frac{\partial^{2}\varphi}{\partialx\partialy}$将其代入平衡微分方程，由于$X$和$Y$为常量，平衡微分方程自动满足。-再根据几何方程和物理方程，对于平面应力问题，应变协调方程为：$\frac{\partial^{2}\varepsilon_{x}}{\partialy^{2}}+\frac{\partial^{2}\varepsilon_{y}}{\partialx^{2}}=\frac{\partial^{2}\gamma_{xy}}{\partialx\partialy}$-由胡克定律$\varepsilon_{x}=\frac{1}{E}(\sigma_{x}-\mu\sigma_{y})$，$\varepsilon_{y}=\frac{1}{E}(\sigma_{y}-\mu\sigma_{x})$，$\gamma_{xy}=\frac{2(1+\mu)}{E}\tau_{xy}$将应力与应力函数的关系代入应变表达式，再代入应变协调方程：$\frac{\partial^{2}}{\partialy^{2}}[\frac{1}{E}(\frac{\partial^{2}\varphi}{\partialy^{2}}-\mu\frac{\partial^{2}\varphi}{\partialx^{2}})]+\frac{\partial^{2}}{\partialx^{2}}[\frac{1}{E}(\frac{\partial^{2}\varphi}{\partialx^{2}}-\mu\frac{\partial^{2}\varphi}{\partialy^{2}})]=\frac{\partial^{2}}{\partialx\partialy}[\frac{2(1+\mu)}{E}(-\frac{\partial^{2}\varphi}{\partialx\partialy})]$-对上式进行化简：$\frac{1}{E}(\frac{\partial^{4}\varphi}{\partialy^{4}}-\mu\frac{\partial^{4}\varphi}{\partialx^{2}\partialy^{2}}+\frac{\partial^{4}\varphi}{\partialx^{4}}-\mu\frac{\partial^{4}\varphi}{\partialx^{2}\partialy^{2}})=-\frac{2(1+\mu)}{E}\frac{\partial^{4}\varphi}{\partialx^{2}\partialy^{2}}$$\frac{1}{E}(\frac{\partial^{4}\varphi}{\partialx^{4}}+2\frac{\partial^{4}\varphi}{\partialx^{2}\partialy^{2}}+\frac{\partial^{4}\varphi}{\partialy^{4}})=0$即$\nabla^{4}\varphi=\frac{\partial^{4}\varphi}{\part