寒假作业05 轴对称与垂直平分线（解析版）-2024年八年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：40min完成时间:一月一日天气:

寒假作业05轴对称与垂直平分线

1.轴对称图形与轴对称的概念

轴对称图形：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁部分折叠后能够完全重合，这个图形就是轴对称图形,

这条直线就是它的对称轴.

2.轴对称图形的性质

(1)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

(2)轴对称图形上对应线段相等、对应角相等.

(3)画一个与已知图形关于对称轴对称图形的步骤：①描出图形关键点；②过关键点画对称轴垂线，并截

取对应长度线段，端点为对应点；③按上述步骤确定所有关键点的对应点；④连线.

3.线段的垂直平分线的性质和判定

(1)垂直平分线(中垂线)：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线.

(2)垂直平分线(中垂线)的画法：尺规作图.

(3)垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

(4)垂直平分线的判定：到一条直线两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

(5)三角形的外心：三角形三边的垂直平分线的交点；外心性质：外心到该三角形三顶点的距离相等.

4.对称点的坐标特征已知点P(x,y).

①点P关于x轴(直线y=0)的对称点为Q\(尤，-y)；②点P关于〉轴(直线x=0)的对称点为Q(-x,y)；

③点P关于直线尤=："的对称点为Qi(2w-x,y)；④点尸关于直线y=〃的对称点为。2(无，2”-y).

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i.在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列

大学的校徽图案是轴对称图形的是()

【答案】C

【解析】A,B,D选项中的图形都不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够互相重合;

C选项中的图形能找到这样的一条直线，所以是轴对称图形.故选C.

2.如图，AABC和△A'B'C关于直线/对称，连接A4'、BB\CC,其中A4,与直线/交于点。，点。为

直线/上一点，且不与点。重合，连接AD、AD.下列说法错误的是（）

A.ZACB=ZA'C'B'B,线段BB、CC被直线/垂直平分

C.为等腰三角形D.线段AC、AC所在直线的交点不一定在直线/上

【答案】D

【解析】A、；AABC和AA'3'C'关于直线/对称，

AABC^AB'C,：.ZACB=ZACB',正确，不符合题意；

B、：AABC和AA'3'C'关于直线I对称，

线段A4*BB\CC被直线/垂直平分，正确，不符合题意；

C、•••△ABC和AAB'C'关于直线/对称，.•./是线段A4,的垂直平分线，

为等腰三角形，正确，不符合题意；

D、,；和AAB'C'关于直线/对称，

...线段AC、A'C'所在直线的交点一定在直线/上，原说法错误，符合题意.故选D.

3.如图为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）

【答案】D

【解析】如图,

一共有5条对称轴.故选D.

4.如图，在八45。中，直线肱V为线段3C的垂直平分线，交AC于点D,连接班）.若AZ）=3cm,AC=10cm,

则3D的长为（）

N

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

【答案】B

【解析］：A£>=3cm,AC=K）cm,C£>=AC—AD=7cm,

;直线MN为线段3C的垂直平分线，，8。=CD=7cm.故选B.

5.在AWC中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于刀的长为半径作弧，两弧相交于点〃和

N.作直线交AC于点。，交BC于点、E,连接AE.则下列结论不一定正确的是（）

A.AB=AEB.AD=CDD.ZADE=ZCDE

【答案】A

【解析】由作图可知，垂直平分线段AC,

AD=DC,EA=EC,ZADE=ZCDE=90°,故选项B,C,D正确，故选A.

6.如图，AABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于£,连接8E,AB+BC=16cm,则ABCE的

周长是cm.

A

【答案】16

【解析】•••。£是48的垂直平分线，，隹=3万,

A3CE的周长为班故答案为：16.

7.尺规作图：如图，某地有两个小区A,8和两条相交的供水管道0C,0。.现计划在S区域内修建一个

蓄水池，要求到两个小区的距离相等，到两条公路的距离也相等，请确定蓄水池的位置.(保留作图痕迹,

不写作法)

【解析】如图所示，点尸即为所求.

8.如图，在平面直角坐标系中，ZkABC的三个顶点坐标分别为40,4),5(-3,3),C(-3,l).

(1)在图中画出/XABC关于y轴对称的图形△ABC，并写出顶点4的坐标.

(2)若以4G所在直线为对称轴，请在图中画出△A瓦G关于直线B,c,对称的图形△ABzG,并写出顶点人的

坐标;

(3)观察△ABC与△4坊。2的位置关系，思考：若点P(〃?，〃)为△ABC内部的任意一点，它在△A与G的

内部的对应点为鸟，则鸟的坐标为.(用含切和"的式子表示)

【解析】(1)/XABC关于，轴对称的图形为与G，则△ABC各点到y轴的距离等于△A与G各点到y

轴的距离，如图，即为所求图形.

•••△ABC关于y轴对称的图形为△aqG，4(0,4),4(0,4),故答案为：(0.4).

(2)△AB|G关于直线与G对称的图形为△4鸟C?,则△?14G各点到与G的距离等于各点到BG的

距离，如图，•,.△4&G即为所求图形.

•/5(-3,3),C(-3,l),4(3,3),G(3,l),

•••4G所在直线是X=3,则点4到x=3的距离是3,

；•点4到x=3的距离是3,4(6,4),故答案为：(6,4).

(3)由上述计算可得，4(0,4),4(6,4),即点A向右平移6个单位长度，

•••△ABC内部的点尸(微小向右平移6个单位长度得巴，.•.『(利+6,〃),故答案为：(祇+6㈤.

9.如图①、图②、图③都是3x3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.A,B,C均为格点.在

给定的网格中，按下列要求画图.

(1)在图①中，画一条不与AB重合的线段MN,使与A3关于某条直线对称，且“，N为格点.

图①图②图③

（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ,使PQ与AC关于某条直线对称，且P,。为格点.

（3）在图③中，画一个AD£F,使AZ）跖与AABC关于某条直线对称，且。，E,尸为格点.

【解析】（1）如图①，3义3的正方形网格的对称轴/,描出点42关于直线/的对称点N,连接即

为所求.

（2）如图②，同理（1）可得，P。即为所求.

（3）如图③，同理（1）可得，AD砂即为所求.

10.如图，NBAC的角平分线与线段BC的垂直平分线DG交于点。，DE±AB,DF±AC,垂足分别为点

E、F.

⑴求证：BE=CF；

⑵求证：AB-AC=2BE.

【解析】（1）如图，连接C£）,

A

DG垂直平分8C,，3D=CD,

•.•AD平分-54C,DE±AB,DFrAC,：.DE=DF,

在RtABDE和RtACDF中，〈，

[DE=DF

：.RtZkBDE之RtACDF(HL),;.BE=CF.

(2)在RtZvWE和RUAZW中，

f

|RtAADE&RtAAPF(HL),:,AE=AF.

[DE=DF'7

\'AE=AB-BE,AF=AC+CF,:.AB-BE=AC+CF,:,AB-AC=2BE.

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11.如图，直线AB,CO相交于点O,P为这两条直线外一点，连接OP.点P关于直线AB,CO的对称

点分别是点匕，P2.若8=3.5,则点片，鸟之间的距离可能是（）

A.0B.5C.7D.9

【答案】B

【解析】如图,连接oqoR/A，

:点尸关于直线A3,。的对称点分别是点4，P2,MOP=3.5,：.O^=OP=3.5,OP2^OP=3.5,

在△qog中，o《-og<4£<o《+o鸟，：.0<ptp2<y,故选B.

12.如图，在平面直角坐标系中.(每个方格表示一个单位长度)

⑴画出ZkABC关于y轴对称的△AB£；

(2)在y轴上找一点P,使R4+PC最小，请画出点P；

⑶若"8与△ABC全等，请直接写出点。的坐标.

【解析】(1)如图所示，即为所求；

(2)如图所示，点尸即为所求,mi)；

(3)如图所示，点。的坐标为(1,-3)或(1,5)或(-3,5).

13.如图，在八钻。中，ZBAC>90°,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点E,F,AC的垂直平分线

分别交AC,8C于点N,直线E厂，即V交于点尸.

(1)求证：点尸在线段3c的垂直平分线上；

(2)连接AP,求证：AP平分NE4N；

(3)设NE4N=(z,其他条件不变时，求ZFPN的度数.(用含a的式子表示)

A

E.'M

【解析】（1）如图，连接用，PC,

：PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,...上4=尸3,PA=PC,

,PB=PC,.•.点P在线段3c的垂直平分线上；

(2)由(1)知，PB=PC,：.ZPBF=ZPCN,

垂直平分AB,/.PA=PB,FA=FB,AZPAB=ZPBA,ZFAB=ZFBA,

ZPAF=ZPBF,同理/B47V=/PCN,AZPAF=ZPAN,即AP平分/E4N.

(3)「PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,二R4=FB,NA=NC,ZAEP=ZAMP=90°,

设ZABC=x,ZACB=y,：.ZABC=x=ZBAF,^ACB=y=ZCAN,

在AABC中，ZABC+ZACB+ZCAB=1SO°,4FAN=a,

x+y+尤+y+a=180°,即然。？々=x+y,

在四边形AEPM中，ZAEP+ZAMP+ZEAM+ZFPN=360°,

/.ZFPN=360°-90°-90-(x+y+a)=180°-+«V笑一-.

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14.如图的四个图案中，具有一个共有的性质，那么在下列各数中也满足上述性质的是（）

A.212B.444C.535D.808

【答案】D

【解析】•••五角星是轴对称图形，三圆两两相切图形是轴对称图形,

心形是轴对称图形，箭头是轴对称图形，.♦•他们的共有性质是轴对称,

在四个选项中只有D是轴对称图形.故选D.

15.定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”.若点4(1,2),幸福直线是x=-2,

则点A关于这条幸福直线的对称点8的坐标是()

A.(-5,2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(-1,-2)

【答案】A

【解析】由题意知,3(-2x2-1,2),即网-5,2),故选A.

16.在平面直角坐标系xQy中，已知点我们将经过点(a,0)且垂直于x轴的直线记为直线x=a,

将经过点(0,6)且垂直于y轴的直线记为直线y=b.

对于点尸给出如下定义，将点P关于直线x=a对称得到点P',再将点P'关于直线y=b对称得到点Q,称

点Q为点P关于〃的“对应点”.

对于图形G给出如下定义，将图形G关于直线％。对称得到图形G',再将图形G'关于直线y=b对称得到

图形W,称图形W为图形G关于M的“对应图形”.

已知AABC的顶点坐标为A(2,0),3(4,0),C(3,-3).

⑴如图1,若点”(1,1).

①由定义知，将点A关于直线x=l对称得到点(0,0),再将点(。,0)关于直线y=l对称，得到点(0,2),则点

A关于M的对应点为(0,2).那么，点3(4,0)关于"的对应点为，点C关于"的对应点为.

②已知点《(-1,n)和点P.(-1,〃+1),若线段4鸟关于M的对应线段QQ2位于AABC的内部(不含三角形的

边)，求”的取值范围.

(2)若y轴上存在点O,使得点。关于M的对应点恰好落在ZkABC的边上，直接写出M点横坐标。的取值

范围.

【解析】(1)①将点3(4,0)关于直线％=1对称得到点(-2,0),

再将点(-2,0)关于直线y=1对称得到点(-2,2),则点3(4,0)关于M的“对应点”为(-2,2),

将点C(3,-3)关于直线x=l对称得到点(T-3),再将点(一.3)关于直线y=1对称得到点(-1,5),

则点C(3,-3)关于M的“对应点”为故答案为：(-2,2),(-1,5)；

②由上述可得点A（-1,n）关于M的“对应点”0i为（3,2-〃），

点旦+关于M的“对应点为（3』-明

如图，线段在44BC的内部，此时只需2在X轴下方，Q在C（3,-3）的上方,

I2—n<0

即〈解得2〈几<4,・•・〃的取值范围是：2<n<4.

（2）设点。（O,d）,.•.点。关于M的对应点D（2a,%—d）,

丁点。关于M的对应点恰好落在AABC的边上，

则2W2aW4,：.l<a<2,即。的取值范围是1WaW2.

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17.（2023•江苏・中考真题）剪纸是中国优秀的传统文化.下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（）

【答案】B

【解析】选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图

形；

选项B能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形.故选B.

18.（2023・山东聊城中考真题）如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为&（-2,1）,B（-l,3）,

C（T,4）.先作人钻。关于X轴成轴对称的44月G，再把44月G平移后得到△为与Q.若巴（2,1）,则

点人坐标为（）

A.（1,5）B.（1,3）C.（5,3）D.（5,5）

【答案】B

【解析】•••三点4（-2,1）,B（-l,3）,C（T,4）关于x轴对称的坐标分别为A（-2,-l）,^（-1,-3）,C（T,T）,

结合不（2,1）,.♦.得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，故&的坐标为（1,3）.故选B.

19.（2023•吉林长春•中考真题）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点8与点E重合，折痕为展

开后，再将纸片折叠，使边A3落在线段AM上，点8的对应点为点8,折痕为AP,则NAF3'的大小为

度.

【答案】45

【解析】:.正五边形的每一个内角为gx（5-2卜180。=108。，

.•.将正五边形纸片折叠，使点5与点E重合，折痕为AM,贝ij/BAM=1/瓦/=（、108。=54。，

22

:将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点8的对应点为点e，折痕为AF,

ZFAB'=-ZBAM=-x54°=27°,ZAB'F=N3=108°,

22

在VAFB'中，ZAFB=180°-ZAB'F-ZFAB'=180°-108°-27°=45°,故答案为：45.

20.（2023•山东枣庄•中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，

图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的

两个共同特征：___________

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