广东省广州市三校2024-2025学年高二年级下册期末联考数学试卷（含解析）

广东省广州市三校（广大附中、铁一中学、广州外国语）2024-2025学年高

二下学期期末联考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设等差数列｛%｝的前〃项和为S”，若的=7,'=90,则%=（）

A.20B.18C.16D.15

2.已知函数/（x）=£,曲线y=/（x）在点（1J⑴）处的切线与直线2x—=0平行，则实数。的值为（）

11cl

A.—B.—C.-D.1

242

3.下列说法不正确的是（）

A.对具有线性相关关系的变量无，y,且回归方程为V=0.3x-m,若样本点的中心为（-4,%）,则实数

m的值是-0.6

B.若随机变量X服从正态分布N（1Q2）,且尸（XV2）=0.7,则P（l<X42）=0.2

C.若线性相关系数卜|越接近1,则两个变量的线性相关程度越高

D.一组数据10,10,11,12,12,14,16,19,21.21的第80百分位数为19

4.已知A48C是边长为1的正三角形，E为BC中点,且丽=2方心，则五济7方=（）

3333

A.—B.-C.—D.一

2244

5.牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.如果物体的初

t_

始温度为”,则经过一定时间f分钟后的温度T满足T一其中方是环境温度，〃为常数.

现有一个105℃的物体，放在室温15℃的环境中，该物体温度降至75℃大约用时1分钟，那么再经过加分

钟后，该物体的温度降至30℃,则％的值约为（）（参考数据：坨2Q0.3010,lg3=0.4771）

A.2.9B.3.4C.3.9D.4.4

6.在三棱锥尸中，V48c和△P8C均是边长为的等边三角形，若PB,则三棱锥P-48c

的体积为（）

A.2A/3B.4C.2^5D.2网

22

7.已知双曲线C：♦-a=1（。>0）>0）的左、右焦点分别为4，F2,直线/经过耳，且与C交于/,B

两点，若丽=g项，丽•正=0,则C的离心率为（）

A.—B.V5C.V3D.V2

2

8.甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第

一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（）

31r11-21r23

A.B.■C.—D.—

96326464

二、多选题

9.已知。>0,6>0,且=4,贝!］（）

A.a2+b2>^B.2a+26>8

149

C.loga+logb>2D.—+

22ab4

10.口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，对其编号红球1,2,白球3,4,从中不放回的依次取

出两个球，事件/="第一次取出的是红球“，事件2="第二次取出的是红球“，事件C="取出的两球同色”,

事件"取出的两球不同色"，贝I］（）

A.A与8互斥B.。与。互为对立事件

C.A与C相互独立D.尸（D|2）=g

H.已知尤=-1是函数/3=1+。产，的极大值点，则（）

A.函数/（x）的极小值为0

B.若-l<x<0,则

C.若0<7M<P，则了=/（x）-机有3个相异的零点

D.若/（再）=/卜2）（其中则再+马<0

三、填空题

12.若5吊［口+弓）=；,则$也［2£-己）=

13.为弘扬志愿者精神，某校举行“乐于助人”服务活动，现安排甲，乙等4人到三个不同地方参加活动，每

个地方至少1人，若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有种.

14.2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分

壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数

学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条

边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程

若第1个图中的三角形的周长为1,则第"个图形的周长为；若第1个图中的三角形的面积为

1,则第〃个图形的面积为.

四、解答题

15.S"为数歹式。“｝的前n项和，已知an>0,a；+an=2Sn+2.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)设〃=」一，求数列也｝的前〃项和小

anan+\

16.已知函数f(x)=5-4x+alnx(aeR)有两个极值点.

(1)求实数。的取值范围；

(2)记两个极值点分别为毛，x2,证明：/(xj+/(x2)+l0>lna.

2

17.甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为1,乙获胜的

概率为;.

(1)若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；

(2)如果比赛采用五局三胜制(当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束)进行比赛，求比赛的局数X

的分布列和期望；

(3)如果每局比赛甲获胜的概率为M。<。<1)，乙获胜的概率为q(q=1-P),比赛的赛制有五局三胜制和三

局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由，由此你能得

出什么结论.

18.已知椭圆C：W+/=l(a>6>0)的短轴长为2,离心率为等.

⑴求C的方程；

(2)若4，4分别是c的左、右顶点，不与无轴垂直的动直线/与c交于尸，。两点(不同于4,4)，且直

线4尸的斜率等于直线4。的斜率的2倍，求证：直线/经过定点.

19.如图，在平面四边形48CD中，V48c为等腰直角三角形，A/CZ)为正三角形，ZABC=，AB=2,

现将△D/C沿/C翻折至ASNC,形成三棱锥S-/8C,其中S为动点.

(1)证明：AC1SB；

(2)若SCJ_3C,三棱锥S-/3C的各个顶点都在球。的球面上，求球心。到平面S/C的距离;

(3)求平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值.

广东省广州市三校(广大附中、铁一中学、广州外国语)2024-2025学年高二下学期期末联考数学试题

参考答案

题号12345678910

答案CADDBDACABDBC

题号11

答案ACD

1.C

【详解】因为｛%｝是等差数列，由等差数列通项公式和前n项和公式可得,

%=+3d=7

解得力=—2,d=3,

S9=9%+36d=90

所以%=4+6d=—2+18=16.

故选：C

2.A

—(x+«)-lnx1+--Inx

【详解】由〃x)=*可得/，卜)=x_x

(X+Q)(X+Q)

J1+。1

则〜(1)=「不

1+a

因为曲线>=〃x)在点处的切线与直线2x-y=0平行，

且直线2x-y=0的斜率为2,即」-=2,解得〃

1+a2

故选：A

3.D

【详解】对于选项A,线性相关的回归方程对应的直线过点(-4,⑼，即机=0.3x(-4)-机，解得加=_0.6,

选项A正确；

对于选项B,根据正态分布的性质，尸(X>l)=0.5,尸(X>2)=1-尸(XW2)=1-0.7=0.3,贝I]

P(l<JT<2)=0.5-0.3=0.2,选项B正确；

对于选项C,相关系数的绝对值6越接近1,则两个变量的线性相关程度越高，选项C正确；

对于选项D,共有10个按从小到大排列的数据，10x0.8=8,根据定义第80百分位数为第8项和第9项的平

均数更了=20,选项D错误.

2

故答案为：D

4.D

【详解】由£为5。中点，为正三角形，所以/、_L5C,如图所示:

由图可知彳方二近+历，

所以而而=而（赤+而）=1可+0=1珂.

因为边长AB=l,BE=g,所以根据勾股定理可得AE-Q=叵.

2\42

------------------I-------►|23

所以工尸40=|回=-.

故选：D.

5.B

1

，一

【详解】由75-15=(105-15)>有2

I一3

mm,、阳

又30.15=（北（75一15），有出V，喧]

则机lg,=1g；,解得"?=]/g；a=i:

34Ig2-lg3Ig3-lg2

故选：B.

6.D

【详解】取BC中点。，连接尸O,/。，如图

由VABC和APBC均是边长为2g的等边三角形,

可知尸。=/。=2*26=3,

2

由尸8J_48可知，PA=yjPB1+AB2=V12+12=276)

在等腰三角形尸N。中，

S.。=冽04吟]=；义2屈义g=3门,

因为尸01BC,AO1BC,POC\AO=O,PO,AOu平面POA,

所以8C_L平面尸QN,

所以VP-ABC=^BC-4"。=；xx30=2遍，

故选：D

7.A

【详解】由题意知44，4乙，3|/局二叵同，且4,5都在双曲线的右支上.

设|，周二工,贝!耳|=2a+x,|7^B|=3x,|7*]S|=2a+3x.

在Rt△片45中，(3x+2a)2=0x)2+(x+2tz)2,得x=〃，

则I，勾=Q,M片|=3Q.

在Rt△/心中，国与「小『+»『，

即4c2=(3/+/,得°,=叵.

v7a2

所以双曲线。的离心率为巫.

2

故选：A.

8.C

【详解】设事件4=”第〃次球在甲手中”，纥="第〃次球在乙手中”，第〃次球在丙手中”,

那么由题意可知可知：="(纥)+*(c.),又尸(4)+尸(4)+尸(G)=i,

所以P(4+J=；-；P(4)，构造等比数列尸=尸(4)-：=-；,愿卜「，

因为第一次由甲传球，可认为第o次传球在甲，即尸(4)=1，

所以，尸(4)-1是以P(4)-g=|为首项，公比为-;的等比数列，

故尸==>F(A)=l+tHJ)

因为第一次由甲传球，之后都是等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，所以乙、丙地位对称，

1o1

即尸(4)=尸0,所以经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为尸(线)=夕1-尸⑷)=已.

故选：C.

9.ABD

【详解】对于A选项：因为。〉0,b>0,a+b=4,则/+6222"，

即/+/之比互=£=8，当且仅当。=b=2时等号成立，所以A选项正确；

22

对于B选项：因为2°>0,26>0,则2"+2〃22,2隈2〃=2""=2万=8,

当且仅当“=6=2时等号成立，所以B选项正确；

对于C选项：当。=1且6=3时，log2a+log2b=log21+log23=log23<log24=2,

所以C选项错误；

3工c日币141(14\,xba5、、Iba59

对于D选项：—+—=—x—+—\(a+b\=—+—+—>2,——x—,

ab4yab)4〃64N4ab44

当且仅当3=f，即6=2a时等号成立，所以D选项正确，

4ab

故选：ABD.

10.BC

【详解】基本事件有12,13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43,共12种，

事件4=“12,13,14,21,23,24“；事件8=“12,21,31,41,32,42”；

事件C="12,21,34,43"；事件C="13,14,23,24,31,41,32,42”.

•••/n8w0,；.A与3不是互斥事件，故A错误；

CUO=。，Cn£)=0,与。互为对立事件，故B正确；

事件ZC="12,21"，.•/")=《=；,P(C)=?；,P(/C)*=：,事/C)=P(4)尸(C),；.A与C

相互独立，故C正确;

事件BD="31,41,32,42“，尸(m)=:’尸(叫可=j

故D错误.

故选：BC.

11.ACD

【详解】对于A中，由函数/卜)=卜2+°卜2，，可得八

因为x=-l是/(x)的极大值点，所以/(-1)=0,解得0=0,

所以/(x)=x2e2x,可得/(x)=2x(x+1)卢,

当x<7时，r(x)>0,/(X)单调递增；当-l<x<0时，/'(x)<0J(x)单调递减；

当x>0时，/'(x)>0,/(x)单调递增，

所以函数/卜)的极大值点为-1,极小值点为0,所以A正确；

对于B中，当一l<x<0时，X-J?<0,贝!］一1<》</<0,

因为/'(x)在区间(-1,0)上单调递减，所以/(/)</(x),所以B错误；

对于C中，由/(x)20,且当X--8时，/(x)f0,当Xf+8时，/(可一+8,

可得;'(X)的图象，如图所示，

当0<加<看时，v=/(。-加有3个相异零点，所以C正确；

对于D中，因为-1<玉<0<^，要证西+/<0,只需证明/<-网,

由/(无)在(0,+功上单调递增，需证明/仁人八-玉)，

即当一1<占<0时，证明

构造函数g(x)=/(x)-/(-x)(其中-1<X<O),

则8，卜)=/'卜)+/'(-口=(2/+2关,2'+(2*_2为卜3=2无卜2%_片2')+2/卜2工+片2,

当-l<x<0时，g,(x)>0,则g(x)在(TO)上单调递增,

所以g(x)=/(x)-/(f)<g(O)=O,即当-1<西<0时，/(xj)</(-%!),

所以/'(工2)</(-玉)，所以X?<-再,无।+赴<。，所以D正确.

故选：ACD.

12-4

【详解】sin2”.=sin2a+-\-兀

l62

=-cos2r+?

l-2sin2fcr+—

、,7

故答案为：-三.

o

13.30

【详解】安排甲，乙等4人到三个不同地方参加活动，每个地方至少1人,

则将4人按2,1,1分组，

若不考虑限制条件，

1「1

则此时不同的安排方式有•A；=36种,

当甲和乙去同一个地方时，有A；=6种不同的安排方式，

所以若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有36-6=30种.

故答案为：30

【详解】记第〃个图形为月，三角形边长为4,边数6",周长为4,面积为S“

耳有4条边，边长4；6有％=4々条边，边长的=；%;乙有4=42。条边，边长生=，］%；L

分析可知即％=（；］%；",=4b…即6.=*4'T

当第1个图中的三角形的周长为1时，即6=1,4=3

所以4=m=1：x3x4"T=f

由图形可知P„是在匕-每条边上生成一个小三角形，即Sn=S“T+“TX日a；

即S?-S〃T=RxaA/3271Q。一62A

Xab9S=Xa

〃2也.1,Sn_x-Sn_2=-n-\'n-2'S：>.~1~2

~S\=乎(%2.%+

利用累加法可得an-\42+…+I.@

数列｛%｝是以;为公比的等比数列，数列抄“｝是以4为公比的等比数列,故是以g为公比的等比

数列，

当第1个图中的三角形的面积为1时，鸟=1,即必1=1,此时需=迪，a,2=述，々有。=3条边,

4''3'27

则a„-bn-\+an-\•»-2+…+%2./[4«Ri)J

「一5

9

3{⑷F

所以1--|,所以

〃55⑼

痂型安％(4Y-183<4Y-1

故答案为：-，----x—

⑴55⑺

15.(1)。〃=〃+1

n

(2)7；=--

2〃+4

【详角军】(1)由a；+%=2S〃+2,①

可得3+i+。〃+1=为用+2.②

由②—①得。3一片=%+1+%.

,4+1一凡=L

又当〃=1时，得a；+a[=2S]+2.

解得％=2吗=-1（舍去）

可得数列｛%｝是首项为2,公差为1的等差数列

BPan=〃+1,及£N*.

(2)由(1)知”=；—J--

(n+1)(〃+2)

可得，=白——

77+1n+2

---1--------------=-----=----

2334〃+1〃+22n+22〃+4

可得＜=士

2〃+4

16.(1)(0,4)；

（2）证明见解析.

【详解】（1）由题意得，/（无）=》-4+3=.一.+。,xe（O,+e）.

XX

因为「（X）有两个极值点，所以方程f-4x+a=0有两个不相等的正根,

所以;A=（T）-4“>0,解得K

xxx2=a>0

检验：当0<。<4时，由/'（x）=。得x=2->4-/或x=2+j4-a.

所以/（x）在（0,2-上单调递增，在（2-14-a,2+：4-a）上单调递减,

在（2++8）上单调递增，满足题意.

所以实数Q的取值范围为（0,4）.

（2）证明：由（1）知项+%2=4,再入2=。，

所以/(xj+/(%2)=g(x；+x2)+6/ln(XjX2)=alna-a-8,

所以/(xj+/(x2)+10-lnd!=(Q_1)1IIQ_Q+2.

令且（工）=（工_1）欣_工+2（0<%<4）,则g[x）=血」,

令〃(x)=g'(x)=lux-L则=工+[>0,

所以g'(x)在(0,4)上单调递增.

因为g")=T<0，g，(2)=ln2-1>0,

所以函数g'(无)存在唯一零点尤°e。,2),即1。=工，

且当xe(O,x())时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当无«演),4)时,g,(x)>0,g(x)单调递增,

所以当x=/时，g(x)存在最小值，即g(xo)=(xo-l)lnxo-％+2=3-卜o+J

因为玉€(1,2),所以2<%+工<"|,所以>0,

所以/1(xj+yazHi。>111。.

"•噌

⑵分布列见解析，充107

(3)答案见解析

【详解】⑴设事件/="比赛采用三局两胜制甲胜“，则//)=[)+c；C[I=|^.

(2)比赛的局数为X的所有可能取值为3,4,5,

可得尸('=3)=卓+用$[I]卜啸[l=^7

?(X=4)=C；

3

8

p(X=5)=C；

27

所以随机变量X的分布列为:

X345

]_108

p

32727

所以期望为£(X)=3044+5*=*

(3)采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率/5)="+C>2(1一m=/(3-2。),

采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率：g(P)=p3+C；p\l-p)+Clp3(l-pf=p\6/-15p+l。.

令g（P”〃。）=3/（24-5/+4。一[=3P2（。一1）2（2。一I,

因为o<p<l,所以302（?-1）2>0.

当p=I■时，g(。)=/(p);

当0<〃<；时，g(p)</(p)；

当g<p<1时，g(p)>f(p).

所以当O<P<；时，选择三局两胜制对甲有利；当;<p<l时，选择五局三胜对甲有利;

当P=；时，选择五局三胜制和三局两胜制对甲没有影响.

由此可以得出，比赛局数越多，对实力较强者越有利.

18.(1)^+/=1；

(2)证明见解析.

【详解】(1)由题意得：2b=2nb=l=>〃2—°2=i,

-=^^c2=-«2,所以解得/=4]=3,

a24

2

即椭圆方程。:r土+/=1；

4

(2)

设直线/方程为)=履+加，与椭圆一+/=1联立,消V得:

4

（4左2+1）、2+8左冽%+4加2-4=0,

其中A=16(4左2+1—加2)〉004尸+1〉加2,

-8km4m2-4

设尸(再，％)，。(々，歹2)，

则再+工2=FT"多二而百

由m知徂%2%二%％2/（句+"7）（侯+根）4-/

出口划付：占+2一%—2x2~再+2-2（尤2-2）'

X]+2%2—2再l++2%X22—-22再+2

再化简得：（2左2+1）西马+（2km+2）（玉++2m?+4=C,

代入得：（2k2+1）4m2~4+（2km+2）~^m+2m2+4=0,

\>4A:2+1',4尸+1

整理得：（2左一3加）（2左一加）=0,

因为直线/不经过点4卜2,0）,所以2发--0,

2

即2左—3m=0=>m=—k,

3

所以直线/的方程为片6+$=后1+:],

因此直线/经过定点

19.（1）证明见解析

V3

V3

3)

【详解】（1）取NC的中点E,连接SE,BE,

因为48=8C,S4=SC,且NC的中点E,所以S£_L/C,BELAC

又SEcBE=E,SE,BEu平面SBE,故/C_L平面S8E,

由于S3u平面S8£,故NC_LS8,

（2）当SC_LBC时，由ACBS="