函数的对称性与周期性问题【18类题型】（解析版）-2025届高考数学热点题型归纳与重难点突破（新高考专用）

重难点专题1-1函数对称性周期性问题

近4年考情

考题示例考点分析关联考点

2023年新高考2卷，第6题对称性与函数交点个数问题函数对称性的识别

导函与原函数数对称性问

2022年新高考1卷，第12题函数对称性与周期性题的转换，由平移关系得出

对称性

函数轴对称与中心对称的

2022年全国乙卷，第12题函数对称性与周期性抽象表示式，由对称性得出

周期

由平移关系得出对称性，再

2021年新高考2卷，第8题函数对称性与周期性

由对称性得出周期

由平移关系得出对称性，由

2021年甲卷（理），第12题函数对称性与周期性

对称性得出周期

函数轴对称与中心对称的

2021年甲卷（文），第12题函数对称性与周期性抽象表示式，由对称性得出

周期

模块一卜热点题型解读（目录r

【题型1】识别对称轴，对称中心.................................................2

【题型2】由对称求解析式........................................................3

【题型3】由平移前后关系得出原函数对称性.......................................4

【题型4】与对称性有关的材料题.................................................5

【题型5】通过周期性求值或解析式...............................................8

【题型6】由对称性进而得出周期.................................................11

【题型7】类周期函数与倍增函数................................................20

【题型8】由中心对称求出函数中间值...........................................25

【题型9]由对称性求交点坐标的和..............................................28

【题型10]由解析式看出对称性.................................................34

【题型11】由对称性解函数不等式...............................................40

【题型12］由解析式看出对称中心再解函数不等式................................42

【题型13］由解析式看出对称轴再解函数不等式...................................44

【题型14］配凑后得出新函数的对称性...........................................47

【题型15】已知一个对称轴（中心）和周期.......................................48

【题型16】涉及导函数对称性问题...............................................53

【题型17】两个函数混合型......................................................65

【题型18】两个函数混合且涉及导数.............................................69

模块二核心题型•举一反三（讲与练）

【题型1】识别对称轴，对称中心

核心•技巧

若/（加+X）=/（"-此，且竺之=〃/（X）关于x对称

2

f（m+x）+f（n-x）=2b,且=a/（x）关于（a,对称

1.设是定义域为R的奇函数，且=若/I)

511

A.B.——C.

333

【答案】C

【详解】由题意可得：

而情寸

【巩固练习1】（多选题）已知函数“X）的定义域为R,/+为奇函数，且对于任意XGR,都

有J(2-3x)=〃3x),则(

A.y(x+i)=/(x)

C."x+2)为偶函数

【答案】BCD

【解析】由/(2—3x)=〃3x),得〃2—x)寸(x).

由/(x+3是奇函数，得/1+，=一(一。£|,即〃£)=一〃1一x),

所以〃2-x)=—〃lr),即〃x+l)=-〃x),所以〃x+2)=〃x),故选项A错误；

由〃X)=一/(1T),得U=°,由/(x+l)=-〃x),得一J，所以/［一£|=0,故

选项B正确；

由〃x+2)=〃x),f(2-x)=f(x),得〃2—x)=〃2+x),即"x+2)为偶函数，故选项C正确；

由〃同=―/(1_力，〃x+2)=/(x),得=贝什［-；)=一/1/£|,

即/(x-g)为奇函数，故选项D正确.

【巩固练习2】已知函数/(x)=£匕的图象关于点(1,f。))对称，则。=()

2

A.1B.2C.eD.e

【答案】C

【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得a=e.

【详解】由对称中心性质可知函数〃元)满足〃无)+/(2-%)=2/⑴,

0112

即-----H—T：-----=-----,

ex+ae+ae+a

整理可得e3T+ex+1+2ae=2e2+aex+ae2T,即e(e2T+e'_2e)=a(e*+e2T-2e),

解得〃=e.

【题型2】由对称求解析式

「法心•技巧7

一、把/(X)的图像关于x=a对称，对称后的函数为g(x),贝ug(x)=/(2a—x)

证明：设对称后的点为(x,y),则点(2a-x,y)在/(x)上，i^y=f(2a-x),即g(x)=/(2a—x)

二、把/(x)的图像关于(a,6)对称，对称后的函数为g(x),贝4g(x)=26—/(2a—x)

证明：设对称后的点为(元,y),则点(2a-x,2Z?-y)在/'(龙)上，代入可得2Z?-y=/(2a-x),则有,

y=2b-f(2a—x)即g(x)=2b-f(2a-x)

2.(2024・四川成都•三模)函数y=32,与y=3「2'的图象()

A.关于x=2对称B.关于x=l对称

|1

C.关于尤=彳对称D.关于x对称

24

【答案】D

【分析】首先得到曲线y=3?”关于x=a的对称曲线为y=32(2“r),再对比系数得到方程求出。，即

可得解.

【详解】因为曲线＞=32,关于X=a的对称曲线为y=3"2ar),即y=

4a2x

y=3-与y=3「2X对比系数可知4a=1,解得a=；,

所以函数y=与y=的图象关于尤=；对称.

故选：D

【巩固练习1】若函数y=g(x)的图象与y=lnx的图象关于直线尤=2对称，则g(x)=.

【答案】In(4一x)

【分析】利用对称的定义求解即可.

【详解】在函数y=g(x)的图象上任取一点(%,y),则点Cx,y)关于直线x=2对称的点为(4

—x,y),且点(4—x,y)在函数y=lnx的图象上，所以y=ln(4—x),

即g(x)=ln(4-x),

故答案为：ln(4-x)

【题型3】由平移前后关系得出原函数对称性

核心•技巧

若已知/(如+3+。是奇(偶)函数求了。)对称性

/(〃u:+a)+b是偶函数/(%)关于％=a对称，/(如+。)+6是奇函数/(%)关于(。乃)对称

举个例子：

若/(2%+1)+3是奇函数

证：设/(无)关于x=a对称，通过函数图像的平移和伸缩变换求出a,b的值

f(x+l)f(2x+l)/(2x+l)+3

对称中心(a,。)(ci—l1ci=l

I2)[b=-3

2024•江苏高邮•统考

3.定义在R上的函数v=/(x)和y=g(x)的图象关于y轴对称，且函数y=/(x-2)+l是奇函数，则

函数y=g(尤)图象的对称中心为()

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(-2,1)D.(2,-1)

【答案】D

【分析】利用奇函数的性质结合函数的对称性求解即可.

【详解】由题意得函数y=/(x-2)+l是奇函数，则y=/(x)关于对称，

另知函数y=/(X)和y=g(x)的图象关于y轴对称，故y=g(x)关于(2,-1)对称

【巩固练习】已知函数〃x)的定义域为R,/(l-2x)为偶函数，/(x-1)为奇函数，则()

A./(O)=OB./(-2)=0

C./(-3)=0D./(-5)=0

【答案】D

【详解】函数Ax)的定义域为R,由洋1-2为是偶函数,得/(l+2x)=/(l—2x),即〃2—x)=/(x),

由/(x-1)为奇函数，得/(T-1)—,即〃-2-x)=-/(x),显然〃-1)=0,

因此〃2—无)=一/(一2—幻，即/(4+x)=-/(x),有/•(€))=/(2)=—/(一2),

/(-3)=-/(1),/(-5)=-/(-1)=0,而〃0)"⑴的值都不确定，ABC错误，D正确

【题型4】与对称性有关的材料题

核心•技巧

结合材料得出结论，再解决问题

4.(多选)在学习了函数的奇偶性后,小明同学发现：函数y=/(x)为奇函数的充要条件是y=/(x)

的图象关于坐标原点成中心对称，可以引申为：函数y=f(尤+。)-6为奇函数的充要条件是

>=/(力的图象关于点尸(。，3成中心对称.己知函数/(尤)=丁+小2+2依-4的图象关于(2,0)

成中心对称，则下列结论正确的是（）

A.f（2）=lB."4）=4

C.m+n=—1D./（2+无）+/（2—x）=0

【答案】BCD

【分析】函数/（x）的图象关于（2,0）成中心对称，可得所以/（x+2）的图象关于原点对称，令x=0,

可求得加+〃=-1,故A错误,C正确；又/（2+x）+/（2-x）=0,故D正确，令此式中x=2,可求得

”4）,判断出选项B.

【详解】函数“X）的图象关于（2,0）成中心对称，且由函数可得定义域为R,

所以〃x+2）的图象关于原点对称，

则/（0+2）=42）=8+4祖+4〃-4=0,

所以m+〃=—1,故A错误,C正确；

所以对任意xeR,都有了（2+x）+/（2-x）=0,故D正确；

在/（2+x）+/（2—尤）=0中令尤=2得

/（4）+/（0）=0,且/'⑼一，

所以〃4）=4,故B正确

【巩固练习1】（多选）已知函数y=/（x）的图象关于p（a,6）成中心对称图形的充要条件是

y=/（尤+。）-人是奇函数，函数y=f（x）的图象关于x=a成轴对称图形的充要条件是y=/（x+a）是

偶函数.则下列说法正确的是（）

A./。）=尤3-3,的对称中心为（1,-2）

B./（x）=尤4-4尤3+6x2-4x关于x=l对称

C.〃%）=上?的对称中心为（1,-2）

x-1

x—2

D./«=2、u的图象关于（-2,0）对称

x-4%+5

【答案】AB

【分析】根据已知条件，结合函数的奇偶性、对称性对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，/（X）=X3-3X2,设g（%）=/（x+l）+2="+l）3—3（x+l）2+2

=d+3/+3%+1-3（炉+2x+1）+2=丁—3%,

g（-x）=（一%）3-3（-x）=-x3+3x=—g（x）为奇函数，

所以/（x）=x3-3必的对称中心为（1,-2）,所以A选项正确.

B选项，/（%）=-4x3+6x2-4x,

设g（x）=/（x+l）=（x+l）4-4（x+l）3+6（x+l）2-4（x+l）

=x"++612+4x+1—4（%，+312+3x+1）+6（x?+2x+1）—4x—4=%4—],

g(T)=f_l=g(x)为偶函数，

所以f(x)=x4-4.x3+6尤2-4x关于X=1对称，所以B选项正确.

C选项，〃上设g(x)"(x+l)+2=¥l-2%+3_4%+3

+2=-------+2=---------

XX

-4x+34x-3

g(-x)=x-g⑺，所以g(x)不是奇函数，所以C选项错误.

—xX

x-2—2x-4

x—2,设g(x)=〃x-2)=

D选项,fM=2

x2-4x+5(x-2)-4(x-2)+5尤2-8x+17'

_Y_/I

g(-x)=—....-----1。-且⑺，所以g(x)不是奇函数，所以D选项错误

x+8x+17

【巩固练习2】(2023上•湖南长沙•高一长沙一中校考)我们知道，函数y=/(x)的图象关于坐标原

点成中心对称图形的充要条件是函数y=/(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为：函数y=/(x)

的图象关于点尸(。,6)成中心对称图形的充要条件是函数丁=，(*+4)-6为奇函数.

(1)请你利用这个结论求得函数了(力=丁+39的对称中心为

_丫।O

(2)已知函数8(犬)=”不-尤3_3彳2与一次函数,=%0+1)-3有两个交点

则占+%+%+%

【答案】(—1,2)-8

【分析】(1)将函数对称中心设出来，利用条件列方程组，解方程组可以得到对称中心坐标.

(2)利用结论进行分析，得到g(x)的对称中心为(-1,-3),再根据丁=左(九+1)-3恒过点(-1,-3),

得到点(T,-3)为两个函数图像交点的中点,利用中点坐标公式计算推出%+%+%+%的值.

【详解】(1)设点(。⑷为函数=+3无2图象的对称中心，

4"^(x)=/(x+^)-Z?=(x+<2)3+3(x+«)2-b,贝"g(x)为奇函数，

户斤以g(一九)——g(九)，艮口(一x++3(—x+a)_b——(x+a)_3(X+Q)+人，

可得，3(ti+l)x2+〃3+3储-Z?=0,

tz+1=0a=­l

所以/+3i。,解得

b=2

所以函数/'(x)=v+3d的对称中心为(-1,2).

故答案为：(-1,2)

(2)若函数y=/(x)的图象关于点P(a,6)成中心对称图形则函数，=〃彳+。)一6为奇函数，所以

f(-x+o)-Z?=-f^x+ci)+b,即/(t+a)+"x+a)=劝，

所以函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件可转化为

/(-x+a)+/(x+<7)=2b,

因为―3土工

(-1+x)3-3(-l+x)2=----x3+3x-2,

g(_]一%)=(1~~+-(-1-x)3-3(-l-x)2=3+%+j_3%_2,

—1—x+1—x

所以g(T+x)+g(T-x)=-6,

_Io

即g(X)=上r*—d—3X2对称中心为(-1,-3),

因为函数y=%(x+l)—3的图像是恒过点(-1,-3)的直线，

所以交点用(人,％),N®，力)的中点为(T-3),

所以土土=-1,让&=_3,即％+M+/+%=_2_6=_8

22

【题型5】通过周期性求值或解析式

核心•技巧

(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据周期定义，从而求出函数的周期.

(2)利用函数的周期性，可以解决区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题.

周期函数的常见条件

一、若/(无)+/(无+a)=C(c为常数)，则/(x)周期为2a.

证明：令龙=x+a=>/(x+a)+/(x+2a)=c,两式相减得了(无+2。)一/(%)=0

即/(x+2a)=/(%),故7=2同

二、若，(％+。)=7厂二，则7=2同(相对少见)

/(X)

]

证明：由y(x+a)=二7T得f(x+2a)==f(x)^T=2\a\

/(x)f(x+a)

三、其它周期条件

设函数y=/(x),xeR,a>0,a1b.

(1)若/(尤+a)=/(尤-<7),则函数的周期为2a;

(2)若/(x+a)=—/(x),则函数/(尤)的周期为2a；

若〃尤+

(3)右,4)=——〃-尤-)，则函数〃x)的周期为2a;

(4)若/(/+〃)=--(-r则函数/(%)的周期为2a;

(5)若/(%+〃)=/(九+6),则函数/(%)的周期为一小

(6)若函数/(%)的图象关于直线x=〃与x=b对称，则函数/(%)的周期为2。一4；

(7)若函数f(x)的图象既关于点(a,0)对称,又关于点传,0)对称，则函数〃尤)的周期为2弧-4；

(8)若函数“X)的图象既关于直线％=。对称，又关于点。,0)对称，则函数“无)的周期为4|6-4；

(9)若函数/(尤)是偶函数，且其图象关于直线x对称，则/(*)的周期为2a;

(10)若函数是奇函数，且其图象关于直线x对称，则“X)的周期为4a.

三、周期与对称性的区分

1.若+a)=+/(%+1),则f(,X)具有周期性；

2.若f(x+a)=+f(b-x),则f(x)具有对称性：

口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性“

5.(2024•陕西西安•二模)已知定义域为R的函数/(X)满足/(x+2)=-/(x),且当0cx<2时，

f(x)=r-\nx,则/(2H)=.

【答案】-3

【解析】由已知可得〃x+2)+/(x)=0,所以〃x+4)+/(x+2)=0,

所以/(x+4)=/(x),即T=4是函数/(x)的一个周期，

所以"211)="3)=-"1)=-(3-nl)=-3.

【巩固练习I】(多选)已知UJ)是定义在口上的函数，且对于任意实数口恒有口3+2)=-0(□).当

□e[0,2]时，口(口)=一匚2+2口.贝!]()

A.口(口)为奇函数

B.□(口)在口G[2,4]上的解析式为口(口)=L2-6L+8

C.□(□)的值域为[0,/]

D.口⑺+口(2)+口(3)+…+口(2022)=1

【答案】ABD

【分析】根据题意，分析可得区间[-2,0)上，□(□)的解析式，再分析函数□(口)的周期性，可得口(口)

的图象关于原点对称，由此分析选项是否正确，即可得答案.

【详解】根据题意,□€[-2⑼时，□+26[0,2],因为□e[o,2]时，□(□)=一口2+2口，

所以□(口+2)=-(□+2>+2(口+2)=-口2—2口，

又由□(□+2)=-0(□),则□(□)=-□(□+2)=U2+20,

即口(口)=口2+2口，□e[-2,0],

若□e[—2,0],则一口6[。2],□(一口)=一口2-2口=一(口2+2口)=一□(□),

若口6[0,2],则一□6[—2,0],=D2-2n=-(-02+20)=-□(□),

故在区间[—2,2]上□(一口)=-□(□),所以□(口)关于原点对称，

又由□(□+2)=—则□(□+4)=—□(□+2)=□(□),即函数□(□)是周期为4的周期函数，

故□(□)的图象关于原点对称，

由此分析选项：

对于A,□(口)的图象关于原点对称，口(□)为奇函数，故A正确；

对于B,当口€[2,4]时，则则-4)=(□-4)2+2(□—4)=口？-6口+8,

函数□(□)是周期为4的周期函数，则□(□)=□(口-4)=口2-6口+8,故B正确；

对于C,在区间[—2,0]上，口(□)=口2+2口=(口+1)2—/,则B(—/)=一/,0(-2)=0(0)=0,

所以一/<□(□)<0,故□(口)的值域一定不是[0,1],故C错误；

对于D,因为口6[。2]时，□(□)=-口2+2口，所以□(/)=/,口(2)=0,

又□(□+2)=-□(□),则口(□+2)+□('□)=0,

贝”有□(1)+口(3)=0,口⑵+□(4)=0,故□(1)+口(2)+口(3)+□«)=0,

所以□(/)+□⑵+口G)+…+口(2022)

=[□(1)+□(2)+口(3)+口⑷]X505+0(2021)+0(2022)

=0(2021)+0(2022)

=□(/)+口(2)=1,故D正确

【巩固练习2】设□(□)是定义在□上的周期为2的偶函数，已知口6[2,3]时，口(口)=_，则□6[-2,0]

时，口(口)的解析式为□(□)=()

A.□+4B.2-U

C.3—|匚+/|D.2—|U+71

【答案】C

【分析】根据已知函数的奇偶性和周期性，结合口e[2,3]时，口(口)=口,分别讨论口e[-2,-4和

□e[-]⑼的两种情况下对应的解析式，综合可得答案.

【详解】•­•□(□)是定义在□上的周期为2的偶函数，口e[2,3]时，□(□)=□,

2,—/)时，(2+□)G[0,1),(4+□)€[2,3),

此时口(口)=口(4+口)=4+口,

当口；€[一/,0]时,(-□)e[0,1],(2-□)e[2,3],

此时=□(-□)=0(2-□)=2-□,

4+n=3-\D+1\,-2<D<-1

所以□(口)=

,2-□=3-!□+7|,-7<□<0'

综上可得：口6[-2,0]时，口(□)=3-|口+1|

【题型6】由对称性进而得出周期

*心«SisJ

一、若/(九)关于x=。和(Z?,c)对称，则7=小-4(类比三角函数)

证明：由对称轴可得/(x)=/(2a-x),

由对称中心可得/(%)+f(2b-x)=2c=>/(%)=2c-f(2b-x)

则有f(2a-x)=2c-f(2b-x),

令x=2a-x,则有/(x)=2c-f(2b-2a+x)^>f(x)+f(2b-2a+x)=2c,

ikT=2\2a-2.b\=4\a-b\

三、若/(x)关于(a,c)和(b,c)对称，则T=2|a-6](类比三角函数)

)(一%)+/(九+2。)=2c

证明：由对称性可得《，则/(x+2a)=/(x+2b),故丁=|2。-

[f(-x)+f(x+2b)=2c

四、若/(X)关于。和x=b对称，则T=2|a-例

/(-X)=f(x-2d)

证明：由对称性可得〈二>/(x-2a)=/(X-2Z?),故T=|2a-26|

/(-x)=f(x-2Z?)

2021全国甲卷（文）12题——由对称性得出周期性求值

6.设〃x）是定义域为R的奇函数，且/'（l+xb/ex）.若/)

【答案】C

【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得了（g1的值.

故选：c.

2021新高考2卷第8题由对称性得出周期性求值

7.已知函数的定义域为R,/(x+2)为偶函数，〃2x+l)为奇函数，则()

A.=0B.〃-1)=0C."2)=0D.44)=0

【答案】B

【分析】推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出/。)=0,结合已知条件可得

出结论.

【详解】因为函数/(X+2)为偶函数，则〃2+x)=/(2-x),可得/(x+3)=/(l-X),

因为函数/(2x+l)为奇函数，则f(l—2x)=-y(2x+l),所以，/(l-x)=-/(^+l),

所以，/(x+3)=-f(x+l)=f(x-1),即〃x)=〃x+4),

故函数〃x)是以4为周期的周期函数，

因为函数R(x)=f(2无+1)为奇函数，则/(0)=/(1)=0,

故/'(—1)=—/。)=0,其它三个选项未知.

2024•广东省一模

8.(多选)已知偶函数/(x)的定义域为R,/［gx+1］为奇函数，且Ax)在［0』上单调递增，则下

列结论正确的是()

A.B.心>。C."3)<oD.从誓］>0

【答案】BD

【分析】根据奇函数、偶函数的性质，首先推出函数为周期函数，再根据函数的单调性，判断函数

的符号，可得有关的结论.

【详解】因为/(%)为偶函数，所以/(一4)=/(1)；

因为+是R上的奇函数，所以/(1)=0,

且于［9)的图象是由/(3)的图象向左平移2个单位得到的，所以的图象关于(2,0)点对称,

进一步得了(X)的图象关于点(1,0)中心对称，即/(1+力=一八1一%).

所以/(尤+2)=/(1+(1+尤))=一了(1一(1+x))=—〃一尤)=一〃耳，所以/(x+4)=—/(x+2)=/(力.

所以函数/(%)是周期函数，且周期为4;

又/■(%)在［0,1］上单调递增，所以在［0,1］上，有〃x)<0.

所以函数的草图如下：

黑)=/(674+\=/(4><168+2+||=《2+\>0,故D对.

2024•安徽芜湖•二模

2024

9.已知函数的定义域为R,且/印+2)-2为奇函数,/(3x+l)为偶函数，/⑴=0,则£/四)

t=i

A.4036B.4040C.4044D.4048

【答案】D

【分析】根据题中/(x+2)-2为奇函数，/(3x+l)为偶函数，从而可得出了(无)为周期为4的函数，

从而可求解.

【详解】由题意得/(x+2)—2为奇函数，所以〃龙+2)-2+/(—尤+2)—2=0,即

〃x+2)+〃-x+2)=4,所以函数〃尤)关于点(2,2)中心对称，

由〃3x+l)为偶函数，所以可得〃x+l)为偶函数，则/(x+l)=/(-x+l),所以函数关于直

线x=l对称，

所以/(x+2)=/(—x)=-/(—x+2),从而得〃x)=/(x+4),所以函数/(x)为周期为4的函数，

因为"1)=0,所以/。)+〃3)=4,则”3)=4,

因为关于直线x=l对称，所以〃3)=〃-1)=4,

又因为〃x)关于点(2,2)对称，所以"2)=2,

又因为/(4)=/(-2)=-/(0)，又因为/(-2)=/(-2+4)=/(2)=2,所以

〃1)+〃2)+/(3)+〃4)=8,

20249074

所以=卜⑴+〃2)+/⑶+/(4)]=4048,故D正确.

k=\4

10.已知函数〃力的定义域为R,4X-2)为偶函数，/(x-3)+/(-x+l)=0,当尤e[T0]时，

19

/(x)=x+l,则£/优)=()

k=l

A.19B.0C.1D.-1

【答案】D

【分析】推导出函数是周期为4的周期函数，计算出“1)、〃2)、“3)、了(4)的值，结合

19

函数的周期性可求得2/伏)的值.

k=\

【详解】因为〃x-2)是偶函数，所以〃x—2)=/(—x—2),

将x换为x+2，得=①(即对称轴x=-2),

又因为〃x—3)+/(—x+l)=。,所以/(%-3)=-/(-x+1),

将x换为x+3得/(x)=-/(-X—2)②(即对称中心(-1,0)).

由①②得/(Yr)=—“T—2),

令/=-工一2,则T—x=/—2,所以/(/-2)=-/«),

将f换x得/@-2)=-〃力③，

招^换为为x-2得/(x-4)=-/(x—2)④.

由③④得/(x-4)=/(x),将x换为x+4得〃x)=f(x+4)⑤

所以函数/'(x)是周期为4的周期函数(由对称中心和对称轴也可直接得到周期为4),

当xe[-l叫时，/(x)=x+l,贝厅(。)=1,〃T)=0,

由③得/(-2)=-/(0)=-1,由④得/(-3)=-/(-1)=0,

根据周期性⑤得：

/(1)=/(-3)=0,/(2)=/(-2)=-1,/(3)=/(-1)=0,/(4)=/(0)=1,

所以/(1)+〃2)+〃3)+〃4)=0—1+0+1=0,

又因为19=4*4+3,故

19

^/(/:)=4[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(l)+/(2)+/(3)=4x0+0-l+0=-l.

k=l

2024•山东济宁•一模

11.设函数"X)定义域为R,7(2X-1)为奇函数,F(x-2)为偶函数,当xe[0,l]时,/(x)=x2-l,

则了(2023)-”2024)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】由/(2元T)为奇函数得到函数的对称中心，由/(x-2)为偶函数得到函数的对称轴，进一步

求得函数的周期，然后将了(2023)与/(2024)转化到已知区间求解即可.

【详解】因为函数Ax)定义域为R,"2尤-1)为奇函数，所以『(2》-1)=一/(一2工一1),所以函数/(x)

关于点(—1,0)中心对称，且/(-1)=0,

因为/'(x-2)为偶函数，所以/•(x-2)=/•(-无一2),所以函数/(X)关于直线*=_2轴对称，

又因为/(x)=-/(-2-x)=-/(-2+x)=-[-/(-4+x)],所以函数/(X)的周期为4,

因为当xe[0,l]时，f(x)=x2-l,

所以/（2023）=/（4x506-l）=f（-l）=0,/（2024）=f（4x506）=/（0）=-1,

所以7（2023）-/（2024）=1.

12.（多选）已知函数的定义域为R,若〃2XT+"3-2X）=2,且〃x-2）为偶函数，/（2）=2,

则（）

A.〃x+4）=/（x）B./（2024）=0

25

c./（3）+/（9）=2D.£/（/）=25

i=l

【答案】BCD

【分析】首先根据函数既是中心对称又是轴对称，求得函数的周期，判断A,再根据函数周期和对

称性求值，并求函数值，判断BCD.

【详解】：/（2X_1）+/（3_2X）=2,.../（%）关于（1,1）对称

•.•/1（%-2）为偶函数，，〃%）关于工=-2对称

•••/（力的周期7=4[1-（-2）]=12,故A错；

f（2024）=/（-4）（•."（X）的周期为12）

/（T）=/（0）（.."⑺关于尤=一2对称）

〃0）=2-42）=0（•."（%）关于（1,1）对称）,故B正确；

/（9）=/（-3）（•••〃尤）的周期为12）

）（—3）=/（—1）（•."（X）关于％=-2对称）

/（—1）=2—"3）关于（1,1）对称）

/（-1）+/（3）=2,即〃9）+〃3）=2,故C正确；

•.•/（X）的周期为12

.•./（2）+/（3）+-+/（13）=/（14）+/（15）+-+/（25）,

/（3）+/（-1）=2,又=所以/（3）+/。1）=2,

同理/（4）+〃10）=2,/（5）+/（9）=2,/（6）+/（8）=2,

/（7）+/（-5）=2,又。（一5）=〃7）,所以2〃7）=2,即/⑺=1,

由/（2xT）+/（3-2x）=2,令x=l,得2/（1）=2,"1）=1,

f（12）=/（O）=O,

所以7•⑴+52）+/（3）+…+/（12）=12,所以〃13）+〃14）+...+"24）=12,

/（25）=/（1）=1,

25

Z〃i）=24+1=25,故D正确.

i=l

故选：BCD

2024•浙江•Z20第二次联考

13.函数〃力是定义在口上的奇函数，满足〃1-力=〃1+月,〃1)=-1,以下结论正确的是()

A./(3)=0B.44)=0

20232023

c.£m=oD.£_i)=o

k=lk-1

【答案】BC

【分析】首先由抽象函数的形状判断函数的周期，并求/(2),/(3),/(4)的值，即可求解.

【详解】由条件〃l-x)=/(l+x),可知〃2+x)=〃r)=—/(x),

所以〃x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以函数/(X)是周期为4的函数，

/(3)=/(-1)=-/(1)=1,故A错误；/(4)=/(0)=0,故B正确；

由条件〃lr)=〃l+x),可知/⑵=〃0)=0,所以〃1)+〃2)+/(3)+/(4)=。

2023

^f(k)=505[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+f(2021)+f(2022)+“2023)=/⑴+/⑵+”3)=0,故

k=l

C正确；

由函数的周期为4,且〃1)=一1,/(3)=1,

2023

所以>(21)=/⑴+"3)+”5)+/⑺+…+”2021)+/(2023)=0+/(2023)=/(3)=1,故D

k=l

错误.

2024•河北张家口•一模

14.己知定义在R上的函数“X)满足：f(x)+/(2-x)=2,/(x)-/(4-x)=0,且/⑼=2.若

2024

ieN*,则Z/(i)=()

i=l

A.506B.1012C.2024D.4048

【答案】C

【分析】根据条件得到函数是周期为4的函数，再根据条件得出“1)，”2),“3),/(4),即

可求出结果.

【详解】•.-/(x)+/(2-x)=2,①

.-./(l+x)+/(2-(l+x))=2,

即〃l+x)+〃l—x)=2,所以〃l+x)-1=一(/(1一x)-1),

所以函数“X)的图象关于(1,1)对称，

令x=l,则/(1)+/(1)=2,所以『(1)=1,

令x=2,/(2)+/(0)=2,又〃0)=2,所以"2)=0,

又,."(力―〃4一力=。，.../(2-x)=/(4-(2-x))=/(2+x),②

即函数“尤)的图象关于直线x=2对称，/(3)=f(l)=l

且由①和②，得/(x)+/(2+x)=2=/(2+x)+/(4+x)=2,

所以/(尤)=)(4+x),则函数/(x)的一个周期为4,

2024

贝“/(4)=/(0)=2,所以£/(/')=506[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]=506x(1+0+1+2)=2024.

4=1

【巩固练习1】(2024•湖南长沙•二模)已知定义在R上的函数/(尤)是奇函数，对任意都有

/(%+1)=/(l-x),当/(—3)=—2时，贝叶(2023)等于()

A.2B.-2C.0D.-4

【解题思路】根据函数的奇偶性和对称性推得函数/(x)的周期为4,利用周期性和奇函数特征即可

求得/'(2023)的值.

【解答过程】定义在R上的函数/(x)是奇函数，且对任意X6R都有/(X+1)

故函数/(%)的图象关于直线x=1对称，.,./(x)—/(2—x),故/(—x)=/(2+x)=—/(x),

.,./(%)=一/(2+x)=/(4+x),.•./■(%)是周期为4的周期函数.

则/(2023)=/(505x4+3)=/(3)=-/(-3)=2.

【巩固练习2】(2024・高三.辽宁营口・期末)设函数的定义域为R,〃x+l)-3为奇函数，f(x+2)

为偶函数，当xe[l,2]时，/(X)=OX2+/7.若〃-1)+/(0)=1,则(第卜()

【答案】B

【解析】/(彳+1)-3为奇函数，/(—x+l)+/(x+l)=6,所以关于(1,3)对称，所以

/(x)=6-/(2-x)®,且〃1)=3,

又〃x+2)为偶函数，〃一尤+2)=/(尤+2),贝"(x)关于x=2对称，所以〃x)=〃4-x)②,

由①②可得〃4一力=6-〃2-力，即〃力=6-〃x+2),所以〃x+2)=6-十+4),

于是可得〃x)=/(x+4),所以/⑺的周期7=4,

则/(X)=6-〃2-X)=6-/(2+X)=/(-X),所以/(x)为偶函数

则〃T)+/(O)=/(l)+/(O)=l,所以/(0)=-2,所以〃2)=6_〃0)=8

_5

f(l]—a+b—33ri,.5,4

所以1〃2)=4»=8,解得。4,所以当141，2]时，/(%)=§%+§

[~3

【巩固练习3]2021全国甲卷(理)12题

设函数“X)的定义域为R,/(X+1)为奇函数，“X+2)为偶函数，当xe[l,2]时，/(x)=4+b.若

9

〃0)+〃3)=6,则/()

2

AB.D

-42c7