复数的四则运算（含解析）-2025人教A版高一数学下册

期末热点.重难点复数的四则运算

选择题（共5小题）

1.（2025•江西模拟）若复数zi=（2-0（6+i）（b€R）为实数，则复数2=（67），的虚部为（）

A.-2B.2C.2iD.-2i

2.（2024秋•湛江校级期末）若l+2i=<2)(z-1),则z=二（)

A.1-fB.1+zC.2-iD.2+i

（秋•浙江期末）若二一

3.2024=1-i,则z=()

z+1

A.~1~iB.1+fC.1-iD.1+z

4.（2024秋•仓山区校级期末）若复数z满足(2-i)z=3+i,则z的共轨复数2=

A.1-fB.1+zC.2+iD.2-i

5.（2025•郑州模拟）若复数z满足（1+z）（z+i）=2,其中i为虚数单位，则z的虚部为（）

A.-1B.1C.-2D.2

二.多选题（共4小题）

（多选）6.（2024秋•无锡期末）已知复数zi,Z2,痣为zi的共辗复数，则下列结论中一定成立的是（）

A.Zi+/为实数B.㈤=氏|

C.若|Z1|=|Z2|,则Z1=±Z2D.\z2z^\=\z2zr\

（多选）7.（2025•浙江模拟）己知复数Z满足|z-l|=|z|=l,贝u（）

A.z£RB.|z|=1C.z+z=lD.I=1

z

（多选）8.（2024秋•抚顺期末）已知i为虚数单位，虚数z满足z2-3iz-l+3i=0,则（）

A.\z\=VToB.z+2=2C.-8-6iD.zz=3-i

(多选)9.(2024秋•昭通期末)已知复数=z2=3*+2i,贝!I()

A.|ZI+Z2|=5

B.Z]—z?=4+3i

C.ziz2的虚部为5

D.且在复平面内对应的点位于第三象限

Z1

三.填空题（共3小题）

10.（2025•上海）已知复数2=半，其中i为虚数单位，则|z|=.

11.（2025•肇庆一模）若复数z满足z・（l-2i）=l+i,则2=.

12.（2024秋•天津期末）复数z=法-2i（其中i为虚数单位），则z的虚部为

四.解答题（共3小题）

13.（2024秋•周口校级期末）对任意一个非零复数z,定义集合Mz={s|3=z2"T,nEN}.

（1）设a是方程x+g=/的一个根，试用列举法表示集合跖z；

（2）若复数36跖，求证

14.（2024秋•单县校级期中）已知复数zi=-2+4i,Z2=-1-3i.

（1）若z==,求团;

-»―>

（2）在复平面内，复数zi,Z2对应的向量分别是。力，OB,其中。是原点，求NA03的大小.

15.（2024秋•昭通校级期中）已知复数2=寻.

（1）求复数Z的模|z|；

(2)若az+5+b=7—bER),求匕的值.

期末热点.重难点复数的四则运算

参考答案与试题解析

选择题(共5小题)

1.(2025•江西模拟)若复数zi=(2-/)(6+i)(b€R)为实数，则复数2=(67)，的虚部为()

A.-2B.2C.2;D.-2z

【考点】复数的乘法及乘方运算；复数的实部与虚部.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】B

【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的概念，即可求解.

【解答】解：：zi=(2-0(Z?+z)=(26+1)+(2-6)iER,复数zi=(2-力(b+i)(加R)为实数,

.♦.2-2=0,解得b=2,

；.z=(2-i)i=l+2i,则复数z的虚部为2.

故选：B.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，是基础题.

2.(2024秋•湛江校级期末)若l+2i=(z-2)(z-1),贝!Iz=()

A.1-iB.1+zC.2-iD.2+z

【考点】复数的混合运算.

【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】A

【分析】由复数的四则运算化简可得复数z.

【解答】解：由l+2i=(z-2)(z-1),

zg[_l+2i_(1+2Q(—2—i)—_2—i_4i+2__5i_

行Z-1=可7=(-2+i)(-2-0=—匚P—=~=~1>

故z=1-i.

故选：A.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题.

3.(2024秋•浙江期末)若二一=1一i,则z=()

z+1

A.-1-;B.-l+(C.1-iD.1+i

【考点】复数的除法运算.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】A

【分析】根据复数的乘除法计算，即可求得答案.

【解答】解：由题意可得，z=(z+1)(1-z),

则z=k—7=-1-I.

II'l

故选：A.

【点评】本题主要考查复数的乘除法计算，属于基础题.

4.(2024秋•仓山区校级期末)若复数z满足(2-力z=3+i,则z的共朝复数2=(

A.1-zB.1+iC.2+zD.2-i

【考点】复数的除法运算；共辗复数.

【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】A

【分析】把己知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【解答】解：由(2-z)z=3+z,

z3+i(3+0(2+/)5+5i5+5/.,.

侍Hz=r=(2T)(2+i)=k=k=1+>

.*.z=1-i.

故选：A.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

5.(2025•郑州模拟)若复数z满足(1+0(z+i)=2,其中i为虚数单位，则z的虚部为()

A.-1B.1C.-2D.2

【考点】复数的除法运算.

【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】C

【分析】根据复数的运算法则化简求解.

【解答】解：由(1+z)(z+z)—2,

得2_2(1T)_2(1T)_2CLT)

-1l,

付z+z---1_.2-2

则z=l-2i,其虚部为-2.

故选：C.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

二.多选题(共4小题)

(多选)6.(2024秋•无锡期末)已知复数zi,Z2,无为zi的共辗复数，则下列结论中一定成立的是()

A.Zi+痣为实数B.㈤=氏|

|Z1|=|Z2|,Z1=±Z2

C.若则D.|Z2Z7|=\z2Zr\

【考点】复数的混合运算；共辗复数；复数的模.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】ABD

【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及共辗复数的定义，即可求解.

【解答】解：对于AB,设zi=a+6i(a,beR),

则有=ci—bi,

zr+'z[=abi+a—bi=2aER,故A正确；

l^il=lzil=Va2+b2,故B正确；

对于C,令Z1=1,Z2=i,满足|Z1|=|Z2|,但ziw土Z2,故。错误；

对于。，忆2司=LI㈤=|Z2||Z1|=|Z2Z1|,故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题主要考查复数模公式，以及共物复数的定义，属于基础题.

（多选）7.（2025•浙江模拟）已知复数z满足|z-l|=|z|=l,则（）

z

A.zGRB.\z\=1C.z+z=lD.二=1

z

【考点】复数的混合运算；共辗复数；复数的模.

【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】BC

【分析】设z=〃+。，，a,Z?eR,由复数z满足|z-l|=|z|=l,解得〃=4，b=号,从而z=4+成i,利

用复数的运算法则、共辗复数求解.

【解答】解：设z=〃+初，a,bER,

•.•复数z满足|z-l|=|z|=L

:.（4-1）2+b2,=a2+b2=l,

解得a=I，b=冬

：.z=l+^-i,不是整数，故A错误；

-1V3.

z=Q一丁

团=J（｝2+（一5）2=1,故B正确；

z+z=g+i+g-i=1,故C正确；

1,V3.（海炉-+^-i+-i2iJ3

Z2+Tl

4-2-，2"=-Z+故D错误•

,1V3...1遮.、-----lz22

22（5一万。5+三1）44

故选：BC.

【点评】本题考查复数的运算法则、共轨复数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

（多选）8.（2024秋•抚顺期末）已知i为虚数单位，虚数z满足z2-3iz-l+3i=0,则（）

A.\z\=V10B.z+z=2C./=-8-6zD.反=3-i

【考点】复数的混合运算.

【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】AC

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求出z,进而可求得答案.

【解答】解：由J-3iz-l+3i=(z+l_3z)(z-1)=0,得z=~l+3zz=1(舍去),

则|z|=’(-1)2+32=V10,z+z=-l+3i+(-1)-3i=-2,z2=-8-6i,iz=-3-i.

故选：AC.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

（多选）9.（2024秋•昭通期末）已知复数zi=l-产，z2=3*+2i,贝U（）

A.|ZI+Z2|=5

B.z-y—z?=4+3i

C.ziz2的虚部为5

D.包在复平面内对应的点位于第三象限

Z1

【考点】复数的混合运算；复数对应复平面中的点；共辗复数；复数的模.

【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】BCD

【分析】利用虚数单位i的性质化简，然后逐一判断四个选项得答案.

【解答】解：Vzi=l-f=l-i9z2=33°+2i=-3+23

22

.•.|Z1+Z2|=|1-i-3+2z|=|-2+i\=V(-2)+l=V5,故A错误；

zi-Z2=1-z+3-2i=4-3z,-z2=4+3i,故B正确；

ziz2=(1-0(-3+2i)=-3+2i+3i+2=-l+5z,则ziz2的虚部为5,故C正确;

551

z?-3+2i(—3+2i)(l+i)-i-

-----

222

Z]1-i(1—-i

则久在复平面内对应的点的坐标为（-擀，-J）,位于第三象限，故。正确.

Z122

故选：BCD.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意

义，是基础题.

三.填空题（共3小题）

10.（2025•上海）已知复数2=牛，其中i为虚数单位，则|z|=_V5_.

【考点】复数的除法运算；复数的模.

【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】V5.

【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可.

【解答】解：z=2+i=i（2+o=1_2Z,

Ii

故|z|=J12+（-2）2=V5.

故答案为：V5.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.

12

11.（2025•肇庆一模）若复数z满足z・（l-万）=1+工则z=-F+pi.

【考点】复数的除法运算.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】一耳+耳i.

【分析】利用复数的除法运算即可得解.

【解答】解：因为z・(l-2，)=1+，，

在1“1+i(l+i)(l+2i)-l+3i13.

所以z=匚万=(1—20(1+20==一耳+铲・

故答案为：

【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

12.(2024秋•天津期末)复数2=法-2i(其中i为虚数单位)，则z的虚部为-

1—1—

【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部.

【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】-4.

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可.

_2+i_(2+0(1+0

【解答】解:

一口—口—(1-0(1+0

则z的虚部为-

故答案为：一亍

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

四.解答题(共3小题)

13.(2024秋•周口校级期末)对任意一个非零复数Z,定义集合Mz={03=z2nT,neN}.

(1)设a是方程x+]=/的一个根，试用列举法表示集合Ma；

(2)若复数36跖，求证

【考点】复数的运算；集合的包含关系判断及应用.

【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)求解方程X+1=或得的=¥(1+i),=¥(1—i),再由有理指数累及i的运算性质

,i-1-i1V2V2V2V2一

可得也[={—，一，—，—}={—(1+i).-—(1-i),--(1+0^^(1-i)};同理求得

1al%2222

—i—1i1

Maz={—,­，—，—}=Mg.则Kz可求；

。2。2。2。2

(2)由coQWz,可知存在SEN,使得3=Z2〃L1,则对任意在N,有32"-i=zg”R⑵R,结合(2M

-1)(2/7-1)是正奇数，得川力厂至帙，即McoUMz.

【解答】(1)解：由x+g=&,得——>j2x+1=0,

：.ar=¥(l+i),

cz2=

2

当口]=¥(]+')时，ax=i,a产t=(01)=

ZQ]Cl]

i—1—i1V2V2V2V2

'Mai={「—/「1}={?(1+)一3(一)，-3(1+。，—(1-0)；

d12

当口2=¥(]—‘)时，..,的之二一。

-i-1I1

.."2={「『，丁，丁}="。「

口202口2仇2

,V2.V2V2V2

.»Ma={~(1+i).一万(1-1)，一万(1+1)，~(1-0)；

(2)证明：Va)GMz,

，存在mGN,使得a)=z2w-

于是对任意n£N,32"T=Z⑵L1>⑵一二

2/1-1

由于(2m-1)(2n-1)是正奇数，coeM2,

：.Ma,QMz.

【点评】本题考查了复数的周期性、指数嘉的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

14.(2024秋•单县校级期中)已知复数zi=-2+4i,z2=-1-3z.

(1)若z==,求团;

—>—>

(2)在复平面内，复数zi,Z2对应的向量分别是。力，OB,其中。是原点，求NAOB的大小.

【考点】复数的除法运算；复数对应复平面中的点；共辗复数.

【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】（1）V2；

3

（2）-71.

4

【分析】（1）根据共辗复数定义和复数的乘除运算法则化简求出z,再求其模长即得;

—>—>—>—>

（2）利用复数的几何意义求出。|。川和|。引，由两向量的夹角公式即可求得NA03.

【解答】解：（1）由复数zi=-2+4"Z2=-1-33

得_£1__2+4i_(_2+4Z)(_l_3i)_71

1可互―-l+3i-(