寒假作业14 相似三角形的基本模型（解析版）-2024年九年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：40min完成时间:一月一日天气:

寒假作业14相似三角形的基本模型

相似三角形是初中几何中的重要内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是

中考的常考题型.本课时就相似三角形的基本模型：（双）A字模型、（双）8（X）字模型、母子模型（共

边共角模型）、“手拉手”模型（旋转模型）、一线三等角（K字）模型、半角模型、对角互补模型等进行专项

训练，方便同学们熟练掌握.

wa巩固提升练

1.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A,B,C,。四个点均在格点上，AC与3。相交于点E,

连接AB,C£>,则ZWE与△CDE的周长比为（）

【答案】D

【解析】如图，由题意可知，DM=3,BC=3,；.DM=BC,而

:.四边形DCBM为平行四边形，AB〃DC,

ZBAE=ZDCE,ZABE=ZCDE,_ABEs_CDE,

2.如图，相交于点E,且AC〃EF〃。台，点在同一条直线上.已知AC=，EP=r,O3=q,

则。应/之间满足的数量关系式是（）

D

【答案】C

【解析】•/ACHEF//DB,Z\BEF^Z\BAC,^CEF^CDB,

EFBFEFCFEFEFBFCF,

**ACBC'BDBC"**ACBDBCBC'

rr111

*.*AC=p,EF=r,DB—q,/.—I—=1,即—I—,故选C.

pqpqr

3.如图，在/XABC中，ADLBC,垂足为O,AD=5,BC=10,四边形£FG”和四边形HGMW均为正方

形，且点E、F、G、H、N、M都在&ABC的边上，那么与四边形BCME的面积比为.

【答案】1:3

【解析】：四边形EFGH和四边形"GM0均为正方形，

?.设四边形EFGH和四边形HGNM的边长为x,

则EM=2x,EF=x,EF1BC,EM//BC,'：AD±BC,：.PD=EF=x,

VAD=5,：.AP^AD-PD^5-x,

APFJVfS—Y'Y

\'EM//BC,：.AEM^ABC,：.——=——，——=—,解得x=2.5,

ADBC510

：.AP=2.5,EM=5,：.s^.=-EM-AP=—>

1.2575

乂,^/\ABC~2BC.AD—25，・・S四边形5cME=S^ABC-S£\AEM=25——,

2575

••S/^AEM,S四边形c5ME=1=1・3，故答案为：1•3.

4.如图，点。是△ABD边AZ)上一点，且满足NCBD=NA.

⑴证明：BCDsABD；

(2)若5C:AB=3:5,AC=16f求3。的长.

B

【解析】(1)在△BCD与△ABD中，

NCBD=ZA,ZD=ZD,：.BCD^ABD.

BCCDBDnnCDBD3

(2)BCDsABD,：——,P»N———

ABBDADBDAD5

3333

ABD=-AD,CD=-BD,：CD=—x—AD,

5555

33

XVAD=AC+CD,AC=16,・・・CD=-x-x(16+CD),

3

解得8=9,：.AD=AC+CD=25,■-BD=-AD=15.

5.在RtaABC中，NB4c=90。，AD是斜边8C上的高.

⑴证明：△ABD^ZXCBA；

(2)若AB=6,BC=10,求8。的长.

【解析】(1)ZBAC=90SAD是斜边8C上的高,

AZADB=90°,ZB+ZC=90°,：.ZB+ZBAD=90°,：.ZBAD=ZC.

又,：ZB=ZB,，AABD^/XCBA.

/八,ABBD

(2).△ABEX^/XCBA,・・-----=------

CBABf

又AB=6,5c=10,ABD=^-=—=—

CB105

6.如图，C4，AO,ED，A。，点8是线段AD上的一点，且CF_LBE.已知A3=8,AC=6,DE=4.

⑴证明：AABCs^DEB.

(2)求线段3。的长.

C

【解析】(1)VAC±AD,ED±AD,：.ZA=ZD=90°,ZC+ZABC=90°,

VCB1BE,，ZABC+NEBD=90。，AZC=ZEBD,：.AABC^ADEB.

(2)•:AABCs/xDEB,：.一=一,

DEBD

VAB=8,AC=6,DE=4,解得30=3.

4BD

7.如图，点C为线段4?上一点，分别以AC,BC为等腰三角形的底边，在4?的同侧作等腰,ACD和等腰

BCE,且NA=NCBE.在线段EC上取一点尸，使EF=AD,连接BRDE.

春八

.4CBACB

mi图2

(1)如图1,求证：DE=BF；

(2汝口图2,若AD=2,班'的延长线恰好经过OE的中点G,求郎的长.

【解析】(1)由题知‘ACD和3CE均为等腰三角形，且AZ)=CD,EC=EB,ZA^ZDCA,

又：ZA=/CBE,:.NDCA=NCBE,：.CD//BE,:.NDCE=NBEF,

CD=EF

VEF=AD,：.EF=CD,在LDCE和.FEB中，＜/DCE=/FEB,

EC=EB

：.ADCE^AFEB(SAS),Z.DE=BF.

(2)如图，取CE的中点H,连接G”，

xA

ica

・・,点G是。石的中点，・・・GH是-ECD的中位线，

：.GH=-CD=-AD=\,GH//CD,^BE=a,贝ijCH=E"=’。石=,35=!〃，

22222

•：EF=AD=2,：.FH=-a-2-：CD//BE,J.GH//BE,:・AFGHs^FBE,

2f

•望F，即L二，整理得―=。，解得7+2攻(负值己舍)，

a2

经检验a=2+20是所列方程的解，且符合题意，.•.BE=2+2夜.

8.(1)【问题呈现】如图1,AABC和△ADE都是等边三角形，连接8。，CE.求证：BD=CE.

(2)【类比探究】如图2,AA8C和AAOE都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°.连接8。，CE.请直

接写出名的值.

CE

ADAJJ3

(3)【拓展提升】如图3,"5。和母4。石都是直角三角形，ZABC=ZADE=90°且====：.连接

9BCDE4

BD,CE.求也的值.

【解析】和AADE都是等边三角形，：.AD=AE,AB=AC,ZDAE=ZBAC=60°,

：.ZDAE-ZBAE=ZBAC-/BAE,

：.ZBAD^ZCAE,：.ABAD^/\CAE(SAS),:.BD=CE.

处=正理由如下：

CE2

AABC和LADE都是等腰直角三角形，

ADAB1

-=-7=,NDAE=ZBAC=45°,；.ZDAE-/BAE=ZBAC-ZBAE,

AEACJ2

AZBAD=ZCAE,.'.△BAD^ACAE,—=4==—-

CEAC62

(3)V—=—=ZABC=ZADE^90°,

BCDE4

ABAD3

ZkABCs△ADE",.,*/BAC=NDAE,-——,

ACAE5

NCAE=NBAD,△CA£"s△BAZ),-----=------=—.

CEAE5

9.如图，在等腰直角△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,过点。作射线CP〃A8,。为射线。尸上一点，E

在边BC上(不与8、。重合)且NDAE=45。，AC与。£交于点。

A

(1)求证：AADESAACB；

(2)如果。D=CE,求证：CD2=CO-CA.

【解析】(1)・・・Z\A3C是等腰直角三角形，・・・NB4C=N5=45。，

VZ£)AE=45°,：.ZDAE=ZBAC=45°,

AZDAC+ACAE=ABAE+ACAE,:・/DAC=/EAB,

9

：PC//ABf：.ZACD=ZBAC=ZB=45°,:,△ADCs^AEB,

4nAC

：.——=——,又:/DAE=/BAC=45。,AAADE^AACB.

AEAB

(2)VZACD=45°,ZACB=90°,：.ZCZ)E+ZCEZ)=180o-90o-45o=45o,

VCD=CE,：.ZCDE=ZCED=22.5°,VAADE^AACB,AZADE=ZACB=90°,

：.ZCAD=180°-AADE-ZCDE-ZACD=180°-90o-22.5o-45o=22.5°,ZCAD=ZCDE,

OCCD

又,：/OCD=/DCA,.•.△OCDSADCA,——=——,J.C^CO-CA,

CDCA

能力培优练

10.如图，在矩形ABC。中，AB=4,BC=8,点E,尸分别在BC,CD±..若BE=2,NE4尸=45。，则

。尸的长是.

【答案】|

【解析】如图，取AD，BC的中点M,N,连接MN,交AF于H,延长CB至G,使BG=MH,连接AG,

•・•点点N是AO,8C的中点，：.AM=MD=BN=NC=4,

•・•四边形ABC。为矩形，J四边形A3NM是正方形，:.MN=AB=BN=4,ZAMH=90°,

VAB=AM,ZABG=ZAMH=90°,BG=MH,

：.aABGQ■AMH(SAS),ZBAG=NMAH,AG=AH,

VZEAF=45°,ZMAH+ZBAE=45°,：.ZGAB+ZBAE=ZGAE=ZEAH=45°,

5i'：AG=AH,AE=AE,：.^AEG^^AEH(SAS),：.EH=EG,EH=BE+BG=BE+MH=2+MH,

4

22222

在RtHEN中,EH=NH-^NE9：.(2+MH)=(4-MH)+4,

AA/fMH4QQO

■:MN//CD,：..AHM^AFD,：.——=——，：.DF=-x-=-,故答案为：—.

sADDF3433

11.(1)如图1,在△ABC中，D,E,尸分别为AB,AC,BC上的点，DE〃BC,BF=CF,AF交DE于点、G,

求证：DG=EG.

DF

(2)如图2,在(1)的条件下，连接C0CG.^CG±DE,CD=6,AE=3,求学的值.

BC

(3)如图3,在，ABCD中，ZADC=45。,AC与8。交于点0,E为A0上一点,EG〃BD交AD于点G,EF±EG

交3C于点况若NEG尸=40。,尸G平分NEFC,尸G=10,求3F的长.

B-------------p--------------CBFc0FC

图1图2图3

【解析】(1)：少石〃^。，AADGAABF,AAEGAACF,

，吧=2跑=2吧=里:BF=CF,：.DG=EG.

BFAFCFAFBFCF

(2)由(1)得。0二届，VCG±DE,：.CE=CD=6.

t_AE_1

V=AAC=AE+CE=9.VDE//BC,：.ADEABC.A—

BC7"AC-3,

(3)如图，延长G£交AB于点M,连接月饮，作垂足为N.

AG一D

7

BNFC

在，/^。中，BO=DO,ZABC=ZADC=45°.

VEG//BD,.•.由（1）得ME=GE,

VEFl.EG,：.FM=FG=10,：.ZEFM=ZEFG.

VZEGF=40°,：,ZEMF=40°,：,ZEFG=50°.

,/PG平分NEFC,：.ZEFG=ZCFG=50°,

ZBFM=1800-ZEFM-ZEFG-ZCFG=30°.

：..在RfFMN中,MN=FMsin30°=5,FN=FMcos30°=573.

:NMBN=45。,MNLBN,：.BN=MN=5,

：.BF=BN+FN=5+5^.

12.【问题呈现】（1）如图1,在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，点A

为公共顶点，ZBAC=ZG^90°,若一ABC固定不动，将AFG绕点A旋转,边AF,AG与边BC分别交于

点、D,E（点。不与点8重合，点E不与点C重合），则结论3£CD=AB2是否成立______（填“成立”或“不

成立”）；

【类比引申】（2）如图2,在正方形ABCD中，ZE4尸为内的一个动角，两边分别与BD,BC交于

点E,F,且满足NE4产=NADB,求证：ADE^ACF；

【拓展延伸】（3）如图3,菱形ABCD的边长为12cm,ZBAD=120°,—E4广的两边分别与5D,BC相交

于点E,F,且满足NEAF=NADB,若3尸=9cm,则线段DE的长为cm.

【解析】（1）结论BECD=钻2成立.

理由：如图1,,/..ABC和..AFG都是等腰直角三角形，:.ZB=/C=ZFAG=45°.

A

图1

VZZMC=ZG4E+45°,ZA£B=ZC4E+45°,ZDAC=ZAEB.

BEAB

又•：/B=NC,：.ABEASACAD,

''~\C~~CD'

VAC=AB,：・BECD=AB2,故答案为：成立.

(2)如图2,・・,四边形ABCD是正方形,

AD

E

EM

8Fc

图2

：.ZCAD=ZACB=ZADB=45°f

•；ZEAF=ZADB,：.ZEAF=ZCAD=45°9

：.AFCA+ACAE=ZDAE+ACAE,：.ZCAF=ZDAEf

又,:?ACB?ADB,・・・一ADE^_ACF.

(3)线段DE的长为5j§cm.

理由：如图3,在DE上取一点M,使/M4Q=30。，过M作肱VLAD于N,

•・,四边形ABC。为菱形，且NBA。=120。，

ZCAD=ZACB=ZADC=60°,ZMDA=-ZADC=30°,

2

AZMAD=ZMDA=3G°,：.ZAME=60°,：.ZAME=ZACB=60°,

VZCAD=60°,ZMAD=30°,：.ZCAM=30°9

•；ZEAF=ZADB,：.ZEAF=ZCAM=30°,

：.ZCAF=ZMAE,：.AACFCOAAME,

MEAM

VAN=\AD,A?/=AMCOS30°=—AM,

22

・•・2AN=ADf2AN=y/3AM,：.MA=MD=—AD,

3

1•*AD=AC,AC=——=-777=^3，

MEAM

,/菱形ABCD的边长为12cm,3C=AD=12cm,

VBF=9cm,/.CF=^ME=3cm,:.ME=^cm,

4*12=4V3(cm),

VMD=—AD,/.MD

3

/.DE=ME+MD=^3+^=5V3(cm),...线段DE的长为5限m.故答案为5G.

W3拓展突破练

13.请阅读下列材料，并完成相应的任务.

梅涅劳斯是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍.梅涅劳斯发现,

若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条线段，三条不连续

线段的乘积等于剩下三条线段的乘积.该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理.

如图1,FB,

EA,EC,DC,DB,则这六条线段满足率=

下面是该定理的一部分证明过程:

证明：如图2,过点A作AP〃FD,交3C的延长线于点尸,

月APD

则有而=而（依据）,…

⑴上述过程中的依据指的是；（2）请将该定理的证明过程补充完整.

Ap

⑶在图1中’若点尸是神的中点，BC=2CD,则灰的值为

FA

(4)在图1中，若FE=mED,BC=nCD,则一的值为

FB

【解析】（1）上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例.

⑵该定理的证明过程补充完整如下：”〃皿

CEPDCD.FACE

.理=——，^FABDCE=FBCDAE.

"FBAE~BDDP".FBAEBD

(3).点/是A5的中点，•・FA=FB,

BC+CD=BD,BC=2CD,A2CD+CD=BD^3CD=BD,

AEFABD.AEBD3CD

FABDCE=FBCD.AE故答案为3.

CE~FBCDCE~CD~CD

(4)如图，过点。作OG〃钻交AC的延长线于点G,

EFBC

FE=mEDBC=nCD,「.---=m,——=〃，

EDCD

DG//AB,..ZEFA=NEDG,/EAF=/EGD,/.AEAF^AEGD,

EFAF

...—=—=m,:.AF=mDG,DG//AB,：.NCAB=/CGD,ZCBA=ZCDG

DEDGf

BeA5

ACABS£\CGD,—=——=n,AB=nDG.

CDDG

,、FAmDGm

FB=AB-FA=nDG-mDG=(n-m)DG,,=1-----、=----故答案为-----

\7FB[n—mjDCrn—mn-m

14.请阅读下列材料，并完成相应任务:

塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现.塞瓦是意大利伟大

的水利工程师，数学家.

定理内容：如图1,塞瓦定理是指在ABC内任取一点。，延长A。，BO,C。分别交对边于点。，E,F,

.BDCEAF,

贝n!|——x——x——=1.

DCEABF

数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三

线共点等问题的判定，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用.

A

任务解决：

（1）如图2,当点。，E分别为边8C,AC的中点时，求证：点厂为48的中点；

（2）若为等边三角形（图3）,AB=U,AE=4,点。是BC边的中点，求2尸的长，并直接写出，30匹

的面积.

【解析】（1）在一ABC中，：点。，E分别为边BC,AC的中点，5D=CD,CE=AE.

RDCFAFAF

由赛瓦定理可得：而而=1，•.•加=1，二爪斯，即点尸为的中点;

(2)ABC为等边二角形，AB=12,BC=AC=12.

;点。是BC边的中点，:.BD=DC=6,

AE=4,：.CE=8.由赛瓦定理可得：BF=8；如图，过点尸作尸G_LBC于G,

，BG=BFcos60°=4,FG=BF-sin60°=4石，/.CG=BC-BG=8,

'：AB=AC,BD=CD,C.ADLBC,：.AD//FG,：.CODCFG,

ODCDOD6「1l

•'­—=—，即a=QD=3G，S8cO=JBC-O£)=186,

rkjCCzoZ

BCF，•二6A/3.

,*,SQJr=TOBC•FG=24GDUrSBOFD=(^rSBCFoU—(^SBOC、=

wa仿真考场练

15.（2023・陕西•中考真题）如图，OE是"8。的中位线，点F在上，DF=2BF.连接所并延长,

与CB的延长线相交于点若3c=6,则线段CM的长为（）

A

【答案】C

【解析】DE是..ABC的中位线，.OE=（BC=Jx6=3,

nFnF9RFqic

:「DEFsBMF,—=—=——=2,;.BM=—,：.CM=BC+BM=—.故选C.

一BMBFBF22

16.（2023・四川宜宾•中考真题）如图，.ABC和.ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把.ADE以

A为中心顺时针旋转，点M为射线BD,CE的交点.若AB=6,AD=1.以下结论：

①BD=CE；②BDLCE；③当点E在54的延长线上时，MC=上^8；

2

④在旋转过程中，当线段M3最短时，MBC的面积为其中正确结论有（）

【答案】D

【解析】；ABC和AADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，

/.BA=CA,DA=EA,ABAC=ZDAE=90°,ZBAD=Z.CAE,:..BAI汪CAE,

：.ZABD=ZACE,BD=CE,故①正确；

T^ZABD=ZACE=a,：.ZDBC=45°-a,

：.ZEMB=Z.DBC+ZBCM=Z.DBC+ZBCA+ZACE=45°-a+45°+a=90°,

ABDLCE,故②正确；

当点E在胡的延长线上时，如图所示.

"?ZDCM=ZECA,ZDMC=ZEAC=90°,：.ZDCM^ZECA,：.—=—.

ACEC

=GAD=1.：.CD=AC-AD=y/3-l,CE^^AE1+AC1=2>

.MC也-1

：.MC=,故③正确;

2

④如图所示，以A为圆心，AD长为半径画圆,

VZBMC=90°,...当CE在，1A的下方且与（A相切时，MB的值最小，ZADM=Z.DAE=ZAEM=90°,

四边形AEMD是矩形，又=.•.四边形AEMD是正方形，

,->BD=EC=YJAC2-AE2=V2>MB=BD-MD=yf2-l^在RtMBC中，MCNBP-MB。，

MC—\lAB2+AC2—MB2=,3+3——1）=y/2+1,

•••SB“c=gM8xMC=；（近一1）（忘+l）=g,故④正确，故选D.

17.（2023海南•中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=8,点E在边AD上，且AD=4AE,点P为边

EF

A3上的动点，连接尸E,过点E作防，PE,交射线BC于点F贝.若点M是线段跳'的中点，

PE

则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为.

【答案】4；16

【解析】如图，过尸作FK_LAD交AD的延长线于点K,

则四边形ABm为矩形，NA=/K=90。，至=用=8由题意可得：AE=-AD=2,

4

,/EFLPE,：.ZAEP+ZKEF=ZPEF=90°,

EFFK

X^PEA+^APE=90°,:.ZAPE=NKEF,:.一AEP^_KFE,—=4.

过M作GHLAD交A。于点G,交BC于点、H,如图，

VAD//CB,GHLAD,：.GH±BC,

"NMGE=ZMHF

在,EGM和AFHM中，＜ZEMG=ZFMH,：.,EGM会“FHM（AAS）,：.MG=MH,

ME=MF

故点M的运动轨迹是一条平行于BC的线段，当点尸与点A重合时，BF、=AE=2,

当点尸与点8重合时，ZBEF2=ZF2+ZEBFt=90°,N庞4+N燃=90。，ZF2=ZBEF,,

BEEE28

•：/EFFLNERB=90。，：..EKBs.FEE,：.奈=昔,即不=寸，解得月乙=32,

EF、FK8

VM,,加2分别为E居的中点，.•.〃|知2是am月的中位线,

/.M.M,=1^=16,即点M运动的路径长为16.故答案为：4；16.

18.（2023・浙江湖州•中考真题）

【特例感知】（1）如图1,在正方形ABCD中，点尸在边A3的延长线上，连接PZ）,过点。作。似_LPD,

交BC的延长线于点M.求证：ADAP沿ADCM.

【变式求异】（2）如图2,在RtaABC中，ZABC=90°,点。在边AB上，过点。作。2，AB,交AC于

点。，点P在边A2的延长线上，连接PQ,过点。作QM^PQ,交射线BC于点已知2C=8,AC=10,

AD=2DB,求券■的值.

【拓展应用】（3）如图3,在Rt^ABC中，/&1C=9O。，点P在边A3的延长线上，点。在边AC上（不

与点A,C重合），连接PQ,以。为顶点作ZPQM=ZPBC,ZPQM的边。M交射线8c于点若AC=加45,

CQ=nAC（m,〃是常数），求空■的值（用含机，w的代数式表示）.

QM

【解析】(1)在正方形ABCD中，ZA=ZADC=ZBCD=90°,AD=DC,：.ZA=ZDCM=90°,

,：DM±PD,；.ZADP+NPDC=ZCDM+ZPDC=90°,

：.ZADP=ZCDM,,DAPgDCM(ASA).

(2)如图1,过点。作QVLBC于点N,如图所示：

VZABC=90°,DQLAB,四边形DBN。是矩形，；.ZDQN=90°,QN=DB,

•/QM±PQ,：.ZDQP+ZPQN=ZMQN+ZPQN=90°,/.ZDQP=ZMQN,

PQDQDO

VZQDP=ZQNM=90°,；.^DQP^NQM,二漏=肃=就，

VBC=8,AC=10,ZABC=90°,：.AB=yjAC2-BC2=6-

:AD=2DB,:.DB=2,：NADQ=NABC=90°,:.DQBC,

.DQAD216.PQ_=DQ=8

*BC-AB-3T,••西—丽―§；

(3)*.*AC=mAB,CQ=nAC,/.CQ=mnAB,/.AQ=AC-CQ=(m-mn)AB.

・・・/B4c=90。，・•.BC=dAB2+AC2=Jl+MAB，如图2,过点。作QV,5c于点N,

NMC