立体图形的直观图（含解析）-2025人教A版高一数学下册

期末热点.重难点立体图形的直观图

选择题（共5小题）

1.（2025•秦皇岛一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

脩视国

A.44B.32C.10+6V17D.22+6V17

2.（2024秋•达州期末）如图所示，梯形4夕。。是平面图形42。。用斜二测画法得到的直观图，A'D'=2B'C'

=2,A'B,^1,则平面图形ABC。的面积为（）

3.（2024秋•上海校级期中）水平放置的△ABC的直观图如图，其中3‘0'=0,C=2,A'0'=百,

C.三边中只有两边相等的等腰三角形

D.三边互不相等的三角形

4.（2024春•越秀区校级期末）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图）.ZABC=45°,

AB=AD=1,DC±BC,则这个平面图形的面积为（)

B.2+孝1V2

A.-+一C.-+—D.-+V2

44422

5.（2024春•惠阳区校级期中）如图直角△OZE是某一平面图形的直观图，斜边09=2,则这个平面图

A.—B.1C.V2D.2V2

2

多选题（共4小题）

（多选）6.（2025•福州模拟）如图，四边形A8CD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A8CO,已知Ab

)

B.四边形ABC。的周长为4+2/+2百

C.A'D'=2V2

D.四边形ABC。的面积为6位

（多选）7.（2024春•济阳区校级期中）下列命题正确的是（）

A.已知q,e2是两个不共线的向量，a=e1+2e2，b=2et-e2,贝！Ja与6可以作为平面向量的一组基

B.在△ABC中，b=\\,«=20,8=30°,则这样的三角形有两个

V6

C.已知△A8C是边长为2的正三角形，其直观图的面积为二

4

D.已知a=（3,-4）,b=（k,3）,若a与a+2b的夹角为钝角，则上的取值范围为（—8,-

（多选）8.（2024春•禄劝县校级期中）下列结论正确的是（）

A.在棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行

B.用斜二测画法画水平放置的边长为1的正三角形，它的直观图的面积是匚

4

C.正方体48CD-4B1C1D1中，直线与B1C是异面直线

D.正方体ABCO-ALBICIDI中，M,N分别为BC,AB的中点，尸是线段A1D1（不含端点）上的动点，

过M,N,尸点的平面截该正方体所得的截面为六边形

（多选）9.（2024秋•广东月考）已知水平放置的正方形的边长为2鱼，利用斜二测画法绘制该正方形在

水平平面内的直观图四边形A8CD,则（）

A.的最小值小于15°

B.的最大值小于90°

C.|AC|的最小值大于2

D.的最大值大于4

三.填空题（共3小题）

10.（2024秋•上海校级期末）如图，一个水平放置的平面图形0ABe的斜二测直观图是直角梯形O'A'B'C,

其中O'A'//B'C,ZO'A'B'=90°,0'A'=2B'C=4,A'B'=2,则平面图形0ABe的面积

11.（2024秋•上海校级期末）若三棱锥尸-4BC的侧棱长B4=P8=PC,则点尸在底面的射影。是AABC

的心.

12.（2024秋•浦东新区期末）如图，若平行四边形A'B1C1D1是用斜二测画法画出的水平放置的平面

图形A3CZ）的直观图，已知A'B1=4cm,ZD1A1B1=45°,平行四边形A'B'CD'的面积为

8cm2,则原平面图形ABC。中A。的长度为.

13.（2024春•文安县校级期中）已知长方体的长、宽、高分别是3aw,2cm,1.5cm,用斜二测画法画出它

的直观图.

14.(2024春•临汾期中)一个竖直放置的几何体的三视图如图所示，其俯视图是等边三角形.

(1)根据三视图，求其表面积和体积；

3

(2)若该容器内盛有其体积一的水，当该容器的一个侧面水平放置时，求容器内水面的高度.(容器壁

4

的厚度忽略不计)

正视图侧视图

俯视图

15.(2023春•涪城区校级月考)如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算:

(1)求奖杯的体积；(尺寸如图，单位：cm,n取3)

(2)求下部四棱台的侧面积.

期末热点.重难点立体图形的直观图

参考答案与试题解析

一.选择题（共5小题）

1.（2025•秦皇岛一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

6

俯视图

A.44B.32C.10+6V17D.22+6V17

【考点】由三视图求面积、体积.

【专题】数形结合；分割补形法；立体几何.

【答案】D

【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为矩形四棱锥，结合图中数据求出它的表面积.

【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为矩形四棱锥；

且矩形的长为6,宽为2,四棱锥的高为4,如图所示：

所以该四棱锥的表面积为

S=S矩形ABCQ+2S△必B+2S△尸5c

11______

=6X2+2x5x6xV42+l2+2x*x2xV42+32

=22+6717.

故选：D.

【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目.

2.（2024秋•达州期末）如图所示，梯形A8CO是平面图形用斜二测画法得到的直观图，AU=2BC

=2,则平面图形ABC。的面积为（）

A.3V2B.2C.3D.2企

【考点】斜二测法画直观图.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解.

【答案】C

【分析】根据题意，求出直观图梯形ABC。的面积，由直观图与原图的关系分析可得答案.

【解答】解：根据题意，四边形A'8'C。是梯形，其中AO=28C=2,=

其高B'Xsin45°=孝，

竽

九

X-

则其面积S'=(AzD'+B'2-

则平面图形ABCD的面积S=2&S'=3；

故选：C.

【点评】本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题.

3.（2024秋•上海校级期中）水平放置的△ABC的直观图如图，其中B0'=0,C=2,A'0'=依,

B.等边三角形

C.三边中只有两边相等的等腰三角形

D.三边互不相等的三角形

【考点】由斜二测直观图还原图形；平面图形的直观图.

【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何；运算求解.

【答案】B

【分析】由图形和40'=百通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边8c=8,C,AO±BC,且

AO=2V3,故三角形为等边三角形，即可得答案.

【解答】解：根据题意，在原△ABC中，AO±BC,

因为40'=V3,则4。=2V3,

因为8‘O'=O'C=2,贝!J3C=4,

而AO_L8C,AB=AC=4,故AB=AC=8C,即原△ABC是一个等边三角形.

故选：B.

【点评】本题考查平面图形的直观图，注意斜二测画法，属于基础题.

4.（2024春•越秀区校级期末）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图）.ZABC=45",

AB=AD=1,DCLBC,则这个平面图形的面积为（）

1V21

C.-+—D.-+

422

【考点】平面图形的直观图.

【专题】计算题；空间位置关系与距离.

【答案】B

【分析】先确定直观图中的线段长，再确定平面图形中的线段长，即可求得图形的面积.

【解答】解：在直观图中，•.•/ABC=45°,AB=AD=l,DCLBC

；.AD=1,BC=1+孝，

原来的平面图形上底长为1,下底为1+孝，高为2,

1+1+—6

・•・平面图形的面积为一Lx2=2+华.

故选：B.

【点评】本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的面积的比例关系的应用，考查计算能力.

5.（2024春•惠阳区校级期中）如图直角△OA9是某一平面图形的直观图，斜边08=2,则这个平面图

形的面积是（）

▼，

y

A

/45。\

0/Br_

V2LL

A.—B.1C.V2D.2V2

2

【考点】斜二测法画直观图；平面图形的直观图.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解.

【答案】D

【分析】根据题意，求出直观图的直角边的边长，进而可得其面积，根据平面图形的面积是

直观图的2或倍，计算得到结果.

【解答】解：根据题意，比△ONE是一平面图形的直观图，且斜边。8=2,

则RtZ\OAb的直角边长是鱼,其面积S'=1xV2xV2=1；

则这个平面图形的面积S=2&S'=2或.

故选：D.

【点评】本题考查平面图形的直观图，涉及直观图与平面图形的面积之间的关系，属于基础题.

二.多选题（共4小题）

（多选）6.（2025•福州模拟）如图，四边形A2C£）的斜二测画法的直观图为等腰梯形已知AE

=4,CD'^2,则下列说法正确的是（）

A.AB=4

B.四边形ABC。的周长为4+2企+2旧

C.ND'=2五

D.四边形ABC。的面积为6企

【考点】平面图形的直观图；斜二测法画直观图.

【专题】对应思想；定义法；立体几何；逻辑思维.

【答案】AD

【分析】根据斜二测画法的直观图，判断选项中的命题是否正确即可.

【解答】解：根据斜二测画法的直观图，知A8=Ab=4,选项A正确;

CD=CD'=2,AD=2A'D'=2V12+12=2鱼，BC=J(2V2)2+22=2V3,

所以四边形ABC。的周长为6+2应+2遍，选项8错误；

A,D'=V2,选项C错误；

1

四边形ABCD的面积为5X(2+4)X2V2=6V2,选项。正确.

【点评】本题考查了斜二测画法的直观图应用问题，是基础题.

(多选)7.(2024春•济阳区校级期中)下列命题正确的是()

A.已知e「e?是两个不共线的向量，a=q+2e2，b=2er—e2,贝！Ja与6可以作为平面向量的一组基

£

B.在△ABC中，b=\\,a=20,8=30°,则这样的三角形有两个

V6

C.已知AABC是边长为2的正三角形，其直观图的面积为一

4

D.已知会=(3,-4),%=(k,3),若石与2+的夹角为钝角，则上的取值范围为(—8,-1)

【考点】平面图形的直观图；平面向量的基本定理；正弦定理.

【专题】整体思想；综合法；解三角形；平面向量及应用；运算求解.

【答案】ABC

【分析】利用基底的定义可判断A;利用正弦定理可判断8；利用原图形面积与直观图面积的比值可判

断C；利用向量坐标的线性运算求出2+2b,再根据夹角为钝角，可得之•区+26)V0且之与(五+26)

不平行，求出左的范围可判断D

【解答】解：对于A,设房是两个不共线的向量，3=[+2扇，b=2er-e2y

设a=kb,（%为常数），即马+2G=2/cei—Zee2，则｛：[二：，故左不存在，

T—

则Q与力不平行，可作为平面向量的一组基底，A正确；

对于8,在△ABC中，Z?=ll,tz=20,3=30°,

abasinB10

因为=~.—可得sniA=­T—=77，

sinAsinB011

因为〃>b,故A>3,这样的三角形有两个，故5正确；

对于C,边长为2的正三角形的面积为乎x22=V3,

原图面积：直观图面积=2a,

芯

故直观图的面积为下，。正确；

4

TTT7

对于。，a=（3,-4）,b=（k,3）,故a+2b=（2k+3,2）,

若石与3+2%的夹角为钝角，

则展・G+2b）V0且:与（五+2b）不平行，

即6>1<0且3X2#-4（2A-+3）,

解得kV—当且k4—故Z）错误.

64

故选：ABC.

【点评】本题主要考查了基底的定义，考查了利用正弦定理判断三角形个数，以及平面图形的直观图面

积，向量夹角问题，属于中档题.

（多选）8.（2024春•禄劝县校级期中）下列结论正确的是（）

A.在棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行

B.用斜二测画法画水平放置的边长为1的正三角形，它的直观图的面积是匚

4

C.正方体A8CQ-ALBICLDI中，直线BD1与B1C是异面直线

D.正方体A8CO-A181C1O1中，M,N分别为8c,45的中点，尸是线段4D（不含端点）上的动点，

过M,N,尸点的平面截该正方体所得的截面为六边形

【考点】斜二测法画直观图；平面的基本性质及推论；异面直线的判定；命题的真假判断与应用；棱柱

的结构特征.

【专题】对应思想；数形结合法；立体几何；运算求解.

【答案】ACD

【分析】根据棱柱的性质即可判断A,根据斜二测画法的性质即可求解2,由异面直线的定义即可判断

C,根据平面基本性质即可作出截面判断D

【解答】解：对于A,由棱柱的性质可知：棱柱的上下底面互相平行，故A正确，

对于8,根据斜二测画法的规则可知：直观图中，高4D'=xs讥45。=4x字，

1V2V3V6

所以直观图的面积是-x1x（JxJ）=故8错误，

24216

对于C,由于在正方体ABC。-AiBiCiOi中，直线8。与81c既不平行也不相交，所以是异面直线,

对于。，延长MN,D4相交于E,连接PE交A41于点凡同理延长MN,OC交于点H,

由于M,N是中点，所以MN〃AC,AC//AiCi^>AiCi//MN,

故在平面ALBCLDI中，作尸。〃4C1交边C1D于。连接。“交CC1于G,

因此六边形MNEPQG即为所求截面六边形，故。正确，

故选：ACD.

【点评】本题考查斜二测画法相关知识，属于中档题.

（多选）9.（2024秋•广东月考）已知水平放置的正方形的边长为2/，利用斜二测画法绘制该正方形在

水平平面内的直观图四边形A8CD,则（）

A.ZABD的最小值小于15°

B.NBOC的最大值小于90°

C.|AC|的最小值大于2

D.的最大值大于4

【考点】斜二测法画直观图.

【专题】转化思想；数形结合法；立体几何；运算求解.

【答案】AD

【分析】根据题意，由斜二测画法的性质，画出直观图，然后对选项逐一判断，即可得到结果.

【解答】解：正方形的一条边与尤'轴重合时，由斜二测画法的性质，

另一条边与<轴重合，如图所示：

坛

DZL__

7CBx'

由于对称性与旋转可换性，图中NACB与NBDC均等价为所求角，

由斜二测画法图形性质知，AB=CD=V2,BC=AD=2近,ZCAB+ZACB=01=45°,

即NACB<15°,故NAB。的最小值小于15°,选项A正确；

过。作的垂线，易有。2=45°,

S.tand3=2彳二1=2V2-1>1=tan45°,

故03>45°,则N2DC>90°,NMC的最大值大于90°,选项2错误;

设图形绕C点逆时针旋转a,

则=(4cosa+yflsina,yjlsina),

即|C/1=J(4cosa+Vasina)2+(Vasina)2

=716cos2a+8y/2sinacosa+4sin2cr

=J10+2y/17sin(2a+(/?),

其中tan,=竽，则最小值为J10-2旧<2,

最大值为J10+2g>4,选项C错误，选项。正确.

故选：AD.

【点评】本题考查了斜二测画法应用问题，是中档题.

三.填空题（共3小题）

10.（2024秋•上海校级期末）如图，一个水平放置的平面图形048c的斜二测直观图是直角梯形0,A'B'C,

其中。川〃B'C,ZO'A'B'=90°,O'A=28'C'=4,A'B'=2,则平面图形。ABC的面积为12A/2.

O'AX

【考点】平面图形的直观图.

【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解.

【答案】12V2.

【分析】根据给定条件，求出O'C,再作出水平放置的原平面图形作答.

【解答】解：在直角梯形。'A'B'C中，O'A'//B'C,O'A'=28'C=4,A'B'=2,

显然〃°,C'=450,于是°'C'=^^=蔡=2日

直角梯形O'A'B'C'对应的原平面图形为如图中直角梯形。ABC,

BC//OA,OCLOA,OA=2BC=4,OC=2O'C=4也

所以该平面图形的高为4夜，

1

故平面图形。42c的面积为：-x（2+4）X4V2=1272.

故答案为：12夜.

【点评】本题考查了直观图的画法与应用问题，是基础题.

11.（2024秋•上海校级期末）若三棱锥P-ABC的侧棱长PA=PB=PC,则点P在底面的射影OMAABC

的夕卜心.

【考点】平行投影及平行投影作图法.

【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据从一点出发的斜线段，如果斜线段长相等，那么它们的射影长也相等得到，点P在底面

的射影O到三角形三个顶点的距离相等，从而即可选出答案.

【解答】解：如图，由题意得:

耿=PB=PC,

：.OA=OB=OC,

即0点是三角形ABC的外心,

【点评】本题主要考查了三角形的外心，三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接

圆的圆心，即外心.外心到三顶点的距离相等.

12.（2024秋•浦东新区期末）如图，若平行四边形A'B'CD'是用斜二测画法画出的水平放置的平面

图形ABC。的直观图，已知A'B'=4a”，AD'A'B'=45°,平行四边形A'B'CD'的面积为

8c7/，则原平面图形ABCD中AD的长度为4V2cm.

【考点】由斜二测直观图还原图形.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解.

【答案】4V2cm.

【分析】根据题意，分析可得直观图中A'D'的长度，结合斜二测画法分析可得答案.

【解答】解：根据题意，平行四边形A'B'CD'中，A'B'=4cm,ZD'NB'=45。，其面积为

8cm,

/,

则有5=4B'XAD'XsinZD'AB'=8c%2,解可得人，D'=24夜cm,

在原图中，ZDAB=90°,AD=2.A'D'=4•cm；

故答案为：4V2cm.

【点评】本题考查斜二测画法的应用，注意斜二测画法中的长度关系，属于基础题.

四.解答题（共3小题）

13.(2024春•文安县校级期中)已知长方体的长、宽、高分别是3c7九，2cm,1.5cm,用斜二测画法画出它

的直观图.

【考点】空间几何体的直观图；斜二测法画直观图.

【专题】对应思想；综合法；空间位置关系与距离；直观想象.

【答案】见解答.

【分析】画棱柱的直观图，通常将其底面水平放置，利用斜二测画法画出底面，再画出侧棱，就可以得

到棱柱的直观图，长方体是一种特殊的棱柱，为画图简便，可取经过长方体的三条棱所在直线为x轴,

y轴，z轴.

【解答】解：(1)画轴，如图，画无轴，y轴，z轴，三轴相交于点。(A),使/x°y=45°,ZxOz=

90°.

(2)画底面，在x轴正半轴上取线段A2,使A2=3cm,在y轴正半轴上取线段AD使AO=lcm,

过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C,

则长方形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.

过2,C,。各点分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5a〃长的线段,CC,DD'.

(4)成图，顺次连接4,，夕，C',，工加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线),

就得到长方体的直观图.

【点评】本题考查空间几何体的直观图的画法，考查斜二测画法的规则，是中档题.

14.(2024春•临汾期中)一个竖直放置的几何体的三视图如图所示，其俯视图是等边三角形.

(1)根据三视图，求其表面积和体积；

3

(2)若该容器内盛有其体积二的水，当该容器的一个侧面水平放置时，求容器内水面的高度.(容器壁

4

的厚度忽略不计)

正视图侧视图

俯视图

【考点】由三视图求面积、体积.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；直观想象；运算求解.

【答案】(1)表面积24+2国，体积4百.

V3

(2)—